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11.某种商品每件的进价为120元,标价为195元.
为了增加销量,商店准备打折销售.若使利润率为30%,则商店应打
为了增加销量,商店准备打折销售.若使利润率为30%,则商店应打
八
折.答案
答案 八
解析 设商店应打 $x$ 折,由题意得 $195×\frac{x}{10}-120=120×30\%$,解得 $x=8$.故商店应打八折.
解析 设商店应打 $x$ 折,由题意得 $195×\frac{x}{10}-120=120×30\%$,解得 $x=8$.故商店应打八折.
解析
【分析】
解决这道打折销售应用题，首先要理清各数量间的关系：第一，打$x$折时，实际售价=标价×$\frac{x}{10}$；第二，利润有两种计算方式：①利润=实际售价-进价，②利润=进价×利润率，两个式子都表示利润，可作为等量关系列方程。我们可以先设折扣为$x$，再代入已知数据列方程求解即可。
【解析】
设商店应打$x$折，根据题意列方程：
$195×\frac{x}{10} - 120 = 120×30\%$
先计算等号右侧：$120×30\% = 36$
移项得：$195×\frac{x}{10} = 120 + 36 = 156$
两边同时乘10得：$195x = 1560$
解得：$x = 1560÷195 = 8$
即商店应打八折。
【答案】
八
【知识点】
一元一次方程应用；打折销售计算；利润率公式
【点评】
本题是销售类常见基础题型，解题核心是掌握售价、进价、利润、利润率、折扣之间的数量关系，准确找到等量关系列方程即可求解，是实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.8
解决这道打折销售应用题，首先要理清各数量间的关系：第一，打$x$折时，实际售价=标价×$\frac{x}{10}$；第二，利润有两种计算方式：①利润=实际售价-进价，②利润=进价×利润率，两个式子都表示利润，可作为等量关系列方程。我们可以先设折扣为$x$，再代入已知数据列方程求解即可。
【解析】
设商店应打$x$折，根据题意列方程：
$195×\frac{x}{10} - 120 = 120×30\%$
先计算等号右侧：$120×30\% = 36$
移项得：$195×\frac{x}{10} = 120 + 36 = 156$
两边同时乘10得：$195x = 1560$
解得：$x = 1560÷195 = 8$
即商店应打八折。
【答案】
八
【知识点】
一元一次方程应用；打折销售计算；利润率公式
【点评】
本题是销售类常见基础题型，解题核心是掌握售价、进价、利润、利润率、折扣之间的数量关系，准确找到等量关系列方程即可求解，是实际应用类的常考题型。
【难度系数】
0.8
12.「2026广东韶关期末」某区举办了校级足球赛，积分规则如下:胜一场得3分，平一场得1分，负一场得-1分.某校足球队进行了11场比赛，其中负2场，共得17分，那么该校足球队共胜了
5
场.答案
答案 5
解析 设该校足球队共胜了 $x$ 场,因为共比赛了11场,负2场,所以平的场次为 $11-2-x=(9-x)$场.根据积分规则可知,总得分=胜场得分+平场得分+负场得分,所以 $3x+(9-x)+2×(-1)=17$,解得 $x=5$.故该校足球队共胜了5场.
解析 设该校足球队共胜了 $x$ 场,因为共比赛了11场,负2场,所以平的场次为 $11-2-x=(9-x)$场.根据积分规则可知,总得分=胜场得分+平场得分+负场得分,所以 $3x+(9-x)+2×(-1)=17$,解得 $x=5$.故该校足球队共胜了5场.
解析
【分析】
这是一道典型的积分类一元一次方程应用题。解题时首先明确已知条件：总比赛场次11场，负2场，总得分17分，以及胜、平、负场各自的积分规则。解题思路为：第一步设胜场次数为未知数x，第二步用总场次减去负场和胜场的次数表示出平场的次数，第三步根据“总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总得分”的核心等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可得到胜场次数。
【解析】
解：设该校足球队共胜了$x$场。
已知总比赛11场，负2场，因此平的场次为$11-2-x=9-x$场。
根据积分规则和总得分17分列方程：
$3x + 1×(9-x) + (-1)×2 = 17$
化简得：$3x +9 -x -2 =17$
合并同类项得：$2x +7 =17$
移项计算得：$2x=10$
解得：$x=5$
【答案】
5
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 积分问题计算
【点评】
本题属于基础的实际应用题，核心考查用方程思想解决实际问题的能力，解题关键是找准总得分的等量关系，准确表示出胜、平、负场的得分后列方程求解，易错点是容易忽略负场得分为负数，忘记扣除负场对应的分数。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的积分类一元一次方程应用题。解题时首先明确已知条件：总比赛场次11场，负2场，总得分17分，以及胜、平、负场各自的积分规则。解题思路为：第一步设胜场次数为未知数x，第二步用总场次减去负场和胜场的次数表示出平场的次数，第三步根据“总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总得分”的核心等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可得到胜场次数。
【解析】
解：设该校足球队共胜了$x$场。
已知总比赛11场，负2场，因此平的场次为$11-2-x=9-x$场。
根据积分规则和总得分17分列方程：
$3x + 1×(9-x) + (-1)×2 = 17$
化简得：$3x +9 -x -2 =17$
合并同类项得：$2x +7 =17$
移项计算得：$2x=10$
解得：$x=5$
【答案】
5
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 积分问题计算
【点评】
本题属于基础的实际应用题，核心考查用方程思想解决实际问题的能力，解题关键是找准总得分的等量关系，准确表示出胜、平、负场的得分后列方程求解，易错点是容易忽略负场得分为负数，忘记扣除负场对应的分数。
【难度系数】
0.7
13.「2026北京海淀期末」某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品.现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品,若这两个工厂单独生产这批纪念品,则甲工厂比乙工厂多用5天完成.已知甲工厂每天生产240件,乙工厂每天生产360件.
(1)求这批纪念品共有多少件.
(2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品,则
(1)求这批纪念品共有多少件.
(2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品,则
6
天后完成,在纪念品生产过程中,该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11 000元,每天支付给乙工厂的费用是16 000元,且每天的其他支出费用均是1 000元,则该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和为168000
元.答案
(1)设这批纪念品共有 $x$ 件,
依题意得$\frac{x}{240}-\frac{x}{360}=5$,解得 $x=3\ 600$.
答:这批纪念品共有3 600件.
(2)设甲、乙工厂同时生产这批纪念品需要 $y$ 天完成,依题意得$(240+360)y=3\ 600$,解得 $y=6$,
故甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品需要6天完成.该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和是$(11\ 000+16\ 000+1\ 000)×6=168\ 000$(元).
故答案为6;168 000.
依题意得$\frac{x}{240}-\frac{x}{360}=5$,解得 $x=3\ 600$.
答:这批纪念品共有3 600件.
(2)设甲、乙工厂同时生产这批纪念品需要 $y$ 天完成,依题意得$(240+360)y=3\ 600$,解得 $y=6$,
故甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品需要6天完成.该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和是$(11\ 000+16\ 000+1\ 000)×6=168\ 000$(元).
故答案为6;168 000.
解析
【分析】
（1）第一问的核心等量关系为：甲工厂单独生产的天数 - 乙工厂单独生产的天数 = 5天。工程问题中，工作时间=工作总量÷工作效率，因此可设这批纪念品总件数为x，分别表示出甲、乙单独生产的时间，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
（2）第二问求合作生产天数：两厂同时生产时，总工作效率为两厂日产量之和，根据“总工作效率×合作时间=工作总量”列方程求解即可；求总支出时，先计算每天的总费用（甲厂日费用+乙厂日费用+每日其他支出），再乘以生产总天数即可得到总费用。
【解析】
(1) 设这批纪念品共有 $x$ 件，
依题意得：$\frac{x}{240}-\frac{x}{360}=5$，
通分计算得$\frac{3x - 2x}{720}=5$，即$\frac{x}{720}=5$，
解得 $x=3\ 600$。
答：这批纪念品共有3600件。
(2) 设甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品需要 $y$ 天完成，
依题意得：$(240+360)y=3\ 600$，
即$600y=3600$，
解得 $y=6$。
生产期间每天总支出为：$11\ 000+16\ 000+1\ 000=28\ 000$（元），
总费用为：$28\ 000×6=168\ 000$（元）。
【答案】
(1) 3600件；(2) 6；168000
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，解题关键是找准题干中的等量关系，熟练运用工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系列方程求解，计算时注意不要漏算每日其他支出费用。
【难度系数】
0.7
（1）第一问的核心等量关系为：甲工厂单独生产的天数 - 乙工厂单独生产的天数 = 5天。工程问题中，工作时间=工作总量÷工作效率，因此可设这批纪念品总件数为x，分别表示出甲、乙单独生产的时间，代入等量关系列一元一次方程求解即可。
（2）第二问求合作生产天数：两厂同时生产时，总工作效率为两厂日产量之和，根据“总工作效率×合作时间=工作总量”列方程求解即可；求总支出时，先计算每天的总费用（甲厂日费用+乙厂日费用+每日其他支出），再乘以生产总天数即可得到总费用。
【解析】
(1) 设这批纪念品共有 $x$ 件，
依题意得：$\frac{x}{240}-\frac{x}{360}=5$，
通分计算得$\frac{3x - 2x}{720}=5$，即$\frac{x}{720}=5$，
解得 $x=3\ 600$。
答：这批纪念品共有3600件。
(2) 设甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品需要 $y$ 天完成，
依题意得：$(240+360)y=3\ 600$，
即$600y=3600$，
解得 $y=6$。
生产期间每天总支出为：$11\ 000+16\ 000+1\ 000=28\ 000$（元），
总费用为：$28\ 000×6=168\ 000$（元）。
【答案】
(1) 3600件；(2) 6；168000
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，解题关键是找准题干中的等量关系，熟练运用工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系列方程求解，计算时注意不要漏算每日其他支出费用。
【难度系数】
0.7
14.某市中心城区供水计价标准如下表：
设小明家的月用水量为$t\ \mathrm{m}^3$($t$为正整数),思考并解决如下问题:
(1)若月用水量在第一级,最大缴费金额是
(2)若小明家10月份的水费是68.05元,求小明家10月份的用水量.
(3)若小明家有两个月水费一共是169.67元,用水量一共是$64\ \mathrm{m}^3$(这两个月的用水量不相等),直接写出小明家这两个月的用水量.
设小明家的月用水量为$t\ \mathrm{m}^3$($t$为正整数),思考并解决如下问题:
(1)若月用水量在第一级,最大缴费金额是
61.75
元;若月用水量在第二级,用含$t$的式子表示水费是$(3.15t-17)$
元;若月用水量在第三级,用含$t$的式子表示水费是$(3.84t-39.77)$
元.(2)若小明家10月份的水费是68.05元,求小明家10月份的用水量.
(3)若小明家有两个月水费一共是169.67元,用水量一共是$64\ \mathrm{m}^3$(这两个月的用水量不相等),直接写出小明家这两个月的用水量.
答案
(1)根据题意得,若月用水量在第一级,最大缴费金额是$25×2.47=61.75$(元).
若月用水量在第二级,应缴水费 $25×2.47+(t-25)×3.15=(3.15t-17)$元.
若月用水量在第三级,应缴水费 $25×2.47+(33-25)×3.15+(t-33)×3.84=(3.84t-39.77)$元.
故答案为 61.75;$(3.15t-17)$;$(3.84t-39.77)$.
(2)$25×2.47+(33-25)×3.15=86.95$(元),
因为 $61.75＜68.05＜86.95$,
所以小明家10月份的用水量处于第二级.
设小明家10月份的用水量为 $n\ \mathrm{m}^3$,
根据题意,得 $3.15n-17=68.05$,解得 $n=27$.
答:小明家10月份的用水量为 $27\ \mathrm{m}^3$.
(3)小明家这两个月的用水量分别为 $28\ \mathrm{m}^3$,$36\ \mathrm{m}^3$.
详解:设用水量较少的月份用水量为 $x\ \mathrm{m}^3$,则用水量较多的月份用水量为$(64-x)\ \mathrm{m}^3$,
当 $0＜x≤25$ 时,$2.47x+3.84(64-x)-39.77=169.67$,
解得 $x=\frac{3\ 632}{137}$,不符合题意,舍去;
当 $25＜x＜31$ 时,$3.15x-17+3.84(64-x)-39.77=169.67$,
解得 $x=28$,此时 $64-x=64-28=36$;
当 $31≤x＜32$ 时,$3.15x-17+3.15(64-x)-17=167.6≠169.67$,不符合题意,舍去.
综上,小明家这两个月的用水量分别为 $28\ \mathrm{m}^3$,$36\ \mathrm{m}^3$.
若月用水量在第二级,应缴水费 $25×2.47+(t-25)×3.15=(3.15t-17)$元.
若月用水量在第三级,应缴水费 $25×2.47+(33-25)×3.15+(t-33)×3.84=(3.84t-39.77)$元.
故答案为 61.75;$(3.15t-17)$;$(3.84t-39.77)$.
(2)$25×2.47+(33-25)×3.15=86.95$(元),
因为 $61.75＜68.05＜86.95$,
所以小明家10月份的用水量处于第二级.
设小明家10月份的用水量为 $n\ \mathrm{m}^3$,
根据题意,得 $3.15n-17=68.05$,解得 $n=27$.
答:小明家10月份的用水量为 $27\ \mathrm{m}^3$.
(3)小明家这两个月的用水量分别为 $28\ \mathrm{m}^3$,$36\ \mathrm{m}^3$.
详解:设用水量较少的月份用水量为 $x\ \mathrm{m}^3$,则用水量较多的月份用水量为$(64-x)\ \mathrm{m}^3$,
当 $0＜x≤25$ 时,$2.47x+3.84(64-x)-39.77=169.67$,
解得 $x=\frac{3\ 632}{137}$,不符合题意,舍去;
当 $25＜x＜31$ 时,$3.15x-17+3.84(64-x)-39.77=169.67$,
解得 $x=28$,此时 $64-x=64-28=36$;
当 $31≤x＜32$ 时,$3.15x-17+3.15(64-x)-17=167.6≠169.67$,不符合题意,舍去.
综上,小明家这两个月的用水量分别为 $28\ \mathrm{m}^3$,$36\ \mathrm{m}^3$.
解析
【分析】
(1) 第一级最大用水量为25$\mathrm{m}^3$，直接用第一级单价乘最大用水量即可得到第一级最大缴费金额；第二级用水量t满足25＜t≤33，水费由两部分组成：25$\mathrm{m}^3$按第一级单价缴费，超出25$\mathrm{m}^3$的部分(t-25)按第二级单价缴费，合并化简即可得到第二级水费表达式；第三级用水量t＞33，水费由三部分组成：25$\mathrm{m}^3$按第一级单价缴费，25~33$\mathrm{m}^3$的8$\mathrm{m}^3$按第二级单价缴费，超出33$\mathrm{m}^3$的部分(t-33)按第三级单价缴费，合并化简即可得到第三级水费表达式。
(2) 先计算第二级的最大缴费金额，判断68.05元对应的缴费区间，再代入对应区间的水费公式列一元一次方程求解即可。
(3) 设用水量较少的月份用水量为x$\mathrm{m}^3$，则另一月份用水量为(64-x)$\mathrm{m}^3$，由两月用水量不相等可得x＜32，分三种情况讨论：①x≤25时，另一月用水量＞33，代入对应水费公式列方程，验证解是否符合取值范围；②25＜x＜31时，x在第二级，另一月用水量＞33，代入公式列方程求解并验证；③31≤x＜32时，两月均在第二级，计算总水费是否等于169.67，排除不符合的情况，最终得到正确解。
【解析】
(1) 第一级最大缴费金额：$25×2.47=61.75$（元）；
月用水量在第二级（$25＜t≤33$）时，水费$=25×2.47+3.15(t-25)=61.75+3.15t-78.75=(3.15t-17)$元；
月用水量在第三级（$t＞33$）时，水费$=25×2.47+3.15×(33-25)+3.84(t-33)=61.75+25.2+3.84t-126.72=(3.84t-39.77)$元。
(2) 第二级最大缴费金额：$25×2.47+(33-25)×3.15=86.95$（元），
$\because61.75＜68.05＜86.95$，$\therefore$小明家10月份用水量处于第二级，
设10月份用水量为$n\ \mathrm{m}^3$，列方程得：$3.15n-17=68.05$，
解得$n=27$。
(3) 设用水量较少的月份用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，则另一月用水量为$(64-x)\ \mathrm{m}^3$，且$x＜32$：
① 当$0＜x≤25$时，$64-x＞33$，总水费为$2.47x+3.84(64-x)-39.77=169.67$，解得$x=\frac{3632}{137}$，不符合取值范围，舍去；
② 当$25＜x＜31$时，$64-x＞33$，总水费为$(3.15x-17)+(3.84(64-x)-39.77)=169.67$，解得$x=28$，符合取值范围，此时$64-x=36$；
③ 当$31≤ x＜32$时，两月用水量均在第二级，总水费为$(3.15x-17)+(3.15(64-x)-17)=167.6≠169.67$，不符合题意，舍去。
综上可得两月用水量分别为28$\mathrm{m}^3$和36$\mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $\boxed{61.75}$；$\boxed{(3.15t-17)}$；$\boxed{(3.84t-39.77)}$
(2) $\boxed{27\ \mathrm{m}^3}$
(3) $\boxed{28\ \mathrm{m}^3}$和$\boxed{36\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的阶梯计费类应用题，需要先准确梳理各阶梯的计费规则，写出对应区间的费用表达式，再结合费用判断所属区间列方程求解，涉及多情况讨论时要注意验证解是否符合对应取值范围，对逻辑分析能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
(1) 第一级最大用水量为25$\mathrm{m}^3$，直接用第一级单价乘最大用水量即可得到第一级最大缴费金额；第二级用水量t满足25＜t≤33，水费由两部分组成：25$\mathrm{m}^3$按第一级单价缴费，超出25$\mathrm{m}^3$的部分(t-25)按第二级单价缴费，合并化简即可得到第二级水费表达式；第三级用水量t＞33，水费由三部分组成：25$\mathrm{m}^3$按第一级单价缴费，25~33$\mathrm{m}^3$的8$\mathrm{m}^3$按第二级单价缴费，超出33$\mathrm{m}^3$的部分(t-33)按第三级单价缴费，合并化简即可得到第三级水费表达式。
(2) 先计算第二级的最大缴费金额，判断68.05元对应的缴费区间，再代入对应区间的水费公式列一元一次方程求解即可。
(3) 设用水量较少的月份用水量为x$\mathrm{m}^3$，则另一月份用水量为(64-x)$\mathrm{m}^3$，由两月用水量不相等可得x＜32，分三种情况讨论：①x≤25时，另一月用水量＞33，代入对应水费公式列方程，验证解是否符合取值范围；②25＜x＜31时，x在第二级，另一月用水量＞33，代入公式列方程求解并验证；③31≤x＜32时，两月均在第二级，计算总水费是否等于169.67，排除不符合的情况，最终得到正确解。
【解析】
(1) 第一级最大缴费金额：$25×2.47=61.75$（元）；
月用水量在第二级（$25＜t≤33$）时，水费$=25×2.47+3.15(t-25)=61.75+3.15t-78.75=(3.15t-17)$元；
月用水量在第三级（$t＞33$）时，水费$=25×2.47+3.15×(33-25)+3.84(t-33)=61.75+25.2+3.84t-126.72=(3.84t-39.77)$元。
(2) 第二级最大缴费金额：$25×2.47+(33-25)×3.15=86.95$（元），
$\because61.75＜68.05＜86.95$，$\therefore$小明家10月份用水量处于第二级，
设10月份用水量为$n\ \mathrm{m}^3$，列方程得：$3.15n-17=68.05$，
解得$n=27$。
(3) 设用水量较少的月份用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，则另一月用水量为$(64-x)\ \mathrm{m}^3$，且$x＜32$：
① 当$0＜x≤25$时，$64-x＞33$，总水费为$2.47x+3.84(64-x)-39.77=169.67$，解得$x=\frac{3632}{137}$，不符合取值范围，舍去；
② 当$25＜x＜31$时，$64-x＞33$，总水费为$(3.15x-17)+(3.84(64-x)-39.77)=169.67$，解得$x=28$，符合取值范围，此时$64-x=36$；
③ 当$31≤ x＜32$时，两月用水量均在第二级，总水费为$(3.15x-17)+(3.15(64-x)-17)=167.6≠169.67$，不符合题意，舍去。
综上可得两月用水量分别为28$\mathrm{m}^3$和36$\mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $\boxed{61.75}$；$\boxed{(3.15t-17)}$；$\boxed{(3.84t-39.77)}$
(2) $\boxed{27\ \mathrm{m}^3}$
(3) $\boxed{28\ \mathrm{m}^3}$和$\boxed{36\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的阶梯计费类应用题，需要先准确梳理各阶梯的计费规则，写出对应区间的费用表达式，再结合费用判断所属区间列方程求解，涉及多情况讨论时要注意验证解是否符合对应取值范围，对逻辑分析能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
