1. [2026 六安金安区期中]大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金比. 如图，B为AC的黄金分割点$(AB ＞ BC)$，若$AC = 100 \mathrm{cm}$，则AB长为 ()

A.$(150 - 50\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(100\sqrt{5} - 100)\mathrm{cm}$
C.$(50\sqrt{5} - 50)\mathrm{cm}$
D.$(50\sqrt{5} + 50)\mathrm{cm}$

1 C 由题意,得 $AB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} × 100 = (50\sqrt{5} - 50)\mathrm{cm}.$

2. [2026宿州埇桥区期中]采用如下方法可以得到黄金分割点:如图,AB是已知线段,经过点B作$BD ⊥ AB$,使$BD=\frac{1}{2}AB$,连接DA,在DA上截取$DE=DB$;在AB上截取$AC=AE$,C就是线段AB的黄金分割点.若$AB=2$,则$BC=(\quad)$

A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}-2$

2 C 由题意,得 $AC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB = \sqrt{5} - 1,\therefore BC = AB - AC = 2 - (\sqrt{5} - 1) = 3 - \sqrt{5}.$

3. [2026合肥期中]人类既能欣赏美，又能创造美，即使是五角星，也蕴含着“黄金分割”，如图，C为线段AB的黄金分割点(AC ＞ BC)，则下列结论中正确的是 ()

A.$BC^2 + AC^2 = AB^2$
B.$\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
D.$\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

3 D $\because AB = AC + BC,\therefore AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2AC · BC,$故选项A不符合题意;$\because C$为线段AB的黄金分割点$(AC ＞ BC)$,$\therefore \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2},\therefore \frac{AC}{BC} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2},$故选项B,C不符合题意,选项D符合题意.

4. [2026合肥包河区期末]如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形ABCD为黄金矩形(AB ＜ AD)，点E,F分别在边BC,AD上，四边形ABEF为正方形，已知$DF=\sqrt{5}-1$，那么AB的值为。

4 2 设$AF = AB = x. \because AD = AF + DF,$且$DF = \sqrt{5} - 1,\therefore AD = x + \sqrt{5} - 1. \because$ 矩形ABCD为黄金矩形$(AB ＜ AD),\therefore \frac{AB}{AD} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2},\therefore \frac{x}{x + \sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2},$解得$x = 2.$ 经检验,$x = 2$是原方程的根,且符合题意,$\therefore AB = 2.$

5. 跨学科·音乐 [2026连云港海州区期末] 如图，乐器上的一根弦$AB=80\ \mathrm{cm}$，两个端点$A,B$固定在乐器面板上，支撑点$C$是靠近点$B$的黄金分割点，支撑点$D$是靠近点$A$的黄金分割点，则支撑点$C,D$之间的距离为$\mathrm{cm}.$（结果保留根号）

5 $(80\sqrt{5} - 160)$ $\because$ 点C是靠近点B的黄金分割点,$AB = 80 \mathrm{cm},\therefore AC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} × 80 = (40\sqrt{5} - 40)\mathrm{cm}. \because$ 点D是靠近点A的黄金分割点,$AB = 80 \mathrm{cm},\therefore DB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} × 80 = (40\sqrt{5} - 40)\mathrm{cm},\therefore CD = AC + BD - AB = (40\sqrt{5} - 40) × 2 - 80 = (80\sqrt{5} - 160)(\mathrm{cm}),\therefore$ 支撑点C,D之间的距离为$(80\sqrt{5} - 160)\mathrm{cm}.$

6. 教材P84“阅读与欣赏”变式 [2026淮北期中] 我们把顶角为$36°$的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 36°, AB = AC, BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$。若$BC = 2$,则$CD$的长为。

6 $\sqrt{5} - 1$ 解题思路:先判定$△ BDC$是“黄金三角形”,然后利用“黄金三角形”的性质进行计算即可.
$\because ∠ A = 36°,AB = AC,\therefore ∠ ABC = ∠ C = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 72°.$
$\because BD$平分$∠ ABC,\therefore ∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = 36°,\therefore ∠ BDC = 180° - ∠ DBC - ∠ C = 72°,\therefore ∠ C = ∠ BDC = 72°,\therefore BC = BD,$
$\therefore △ BDC$是“黄金三角形”,$\therefore \frac{DC}{BC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.$ 又$\because BC = 2,$
$\therefore DC = \sqrt{5} - 1.$

7. 》一题多解 [2025合肥瑶海区段考]在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示,以线段AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接BE,延长DA至点F,使得EF=BE,以AF为边作正方形AFGH,则点H即线段AB的黄金分割点.延长GH交DC于点I,若记正方形AFGH的面积为$S_1$,矩形BCIH的面积为$S_2$,则$S_1$$S_2$.(填“＞”“＜”或“=”)

7 = 通解 $\because H$是$AB$的黄金分割点,$\therefore AH^2 = BH · AB.$
又$\because S_1 = AH^2,S_2 = BH · BC = BH · AB,\therefore S_1 = S_2.$
另解 $\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$\therefore ∠ EAB = 90°.$ 设正方形$ABCD$的边长为$2a. \because E$为$AD$的中点,$\therefore AE = a.$ 在$\mathrm{Rt}△ EAB$中,由勾股定理得$BE = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{5}\ a. \because EF = BE,$
$\therefore EF = \sqrt{5}a,\therefore AH = AF = EF - AE = (\sqrt{5} - 1)a,\therefore S_1 = AF · AH = (\sqrt{5} - 1)a × (\sqrt{5} - 1)a = 6a^2 - 2\sqrt{5}a^2,S_2 = S_{\mathrm{正方形}ABCD} - S_{\mathrm{矩形}ADIH} = 2a × 2a - 2a × (\sqrt{5} - 1)a = 6a^2 - 2\sqrt{5}a^2,\therefore S_1 = S_2.$