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1. 教材P120T1(1)变式 [2026蚌埠期末]若$3x=5y(y≠0)$，则下列各式成立的是（
A.$\frac{x}{3}=\frac{5}{y}$
B.$\frac{y}{3}=\frac{5}{x}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$
D.$\frac{x}{5}=\frac{y}{3}$
D
）A.$\frac{x}{3}=\frac{5}{y}$
B.$\frac{y}{3}=\frac{5}{x}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$
D.$\frac{x}{5}=\frac{y}{3}$
答案
1 D 根据比例的基本性质,四个选项的变形如表.
| A. $\frac{x}{3}=\frac{5}{y}$ | $xy=15$ |
| ---- | ---- |
| B. $\frac{y}{3}=\frac{5}{x}$ | $xy=15$ |
| C. $\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$ | $5x=3y$ |
| D. $\frac{x}{5}=\frac{y}{3}$ | $3x=5y$ |
| A. $\frac{x}{3}=\frac{5}{y}$ | $xy=15$ |
| ---- | ---- |
| B. $\frac{y}{3}=\frac{5}{x}$ | $xy=15$ |
| C. $\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$ | $5x=3y$ |
| D. $\frac{x}{5}=\frac{y}{3}$ | $3x=5y$ |
2. [2026安庆期末]若$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$，则$\frac{a}{b}$的值为 （
A.6
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
D
）A.6
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2 D 由$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$可得$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$.
3. [2026芜湖期末]已知点B在线段AC上$(AB＞BC)$，且$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}$。若$AC=1$，则AB的长为
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
。答案
3 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ $\because \frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC},BC = AC - AB,AC = 1,\therefore AB^{2}=(AC-AB)· AC,即AB^{2}=1 - AB,解得AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}或AB=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(负值舍去).
4. ▶一题多解 [2026合肥庐阳区期末] 若$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a+b}{b}$等于（
A.$\frac{5}{3}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
A
）A.$\frac{5}{3}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
答案
4 A [通解] $\because \frac{a}{b}=\frac{2}{3},\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$.
[另解一] $\because \frac{a}{b}=\frac{2}{3},\therefore$ 设 $a=2m$, 则 $b=3m$, 则 $\frac{a+b}{b}=\frac{2m+3m}{3m}=\frac{5}{3}$.
[另解二] $\because \frac{a}{b}=\frac{2}{3},\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{2+3}{3}=\frac{5}{3}$(合比性质).
[另解一] $\because \frac{a}{b}=\frac{2}{3},\therefore$ 设 $a=2m$, 则 $b=3m$, 则 $\frac{a+b}{b}=\frac{2m+3m}{3m}=\frac{5}{3}$.
[另解二] $\because \frac{a}{b}=\frac{2}{3},\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{2+3}{3}=\frac{5}{3}$(合比性质).
变式1 [2026 蚌埠一模] 若$\frac{a}{b}=\frac{7}{4}$，则$\frac{a-b}{b}$的值为（
A.$\frac{3}{7}$
B.$\frac{7}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
D
）A.$\frac{3}{7}$
B.$\frac{7}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
变式1 D $\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1=\frac{7}{4}-1=\frac{3}{4}$.
变式2 若$\frac{a - 2b}{3b} = \frac{5}{6}$，则$\frac{a}{b} =$
$\frac{9}{2}$
.答案
变式2 $\frac{9}{2}$ $\because \frac{a-2b}{3b}=\frac{5}{6},\therefore 6(a-2b)=15b,\therefore 6a-12b=15b,\therefore 6a=27b,\therefore \frac{a}{b}=\frac{9}{2}$.
5. [2026合肥期中]如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{5}{7}(b+d≠0)$，那么$\frac{a+c}{b+d}=$
$\frac{5}{7}$
.答案
5 $\frac{5}{7}$ $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{5}{7}$, 且 $b + d ≠ 0, \therefore$ 由等比性质, 得$\frac{a+c}{b+d}=\frac{5}{7}$.
6. ▶一题多解·教材P79T3变式 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$，且$b+d+f≠0$，若$a+c+e=12$，则$b+d+f=$
6
。答案
6 6 [通解] $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$, 且 $b + d + f ≠ 0, \therefore$ 由等比性质, 得$\frac{a+c+e}{b+d+f}=2$. 又$\because a + c + e = 12,\therefore b + d + f = 6$.
[另解] $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2,\therefore a=2b,c=2d,e=2f$.
又$\because a + c + e = 12,\therefore 2b + 2d + 2f = 12,\therefore b + d + f = 6$.
[另解] $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2,\therefore a=2b,c=2d,e=2f$.
又$\because a + c + e = 12,\therefore 2b + 2d + 2f = 12,\therefore b + d + f = 6$.
7. ▶一题多解 [2025亳州一模] 已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$，则$\frac{a+b}{c}$的值是
$\frac{5}{4}$
。答案
7 $\frac{5}{4}$ [通解] 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k,\therefore a=2k,b=3k,c=4k$,
$\therefore \frac{a+b}{c}=\frac{2k+3k}{4k}=\frac{5}{4}$.
[另解] $\because \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4},\therefore$ 由等比性质, 得$\frac{a+b}{2+3}=\frac{c}{4}$,
$\therefore \frac{a+b}{c}=\frac{5}{4}$.
$\therefore \frac{a+b}{c}=\frac{2k+3k}{4k}=\frac{5}{4}$.
[另解] $\because \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4},\therefore$ 由等比性质, 得$\frac{a+b}{2+3}=\frac{c}{4}$,
$\therefore \frac{a+b}{c}=\frac{5}{4}$.
8. [2025河北中考]“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片(
)。回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为（
A.2 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
)。回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为（C
）A.2 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
答案
8 C 设化石的实际长度为 x cm. 根据题意, 得$\frac{7}{4}=\frac{14}{x}$,
$\therefore x=8$. 经检验, $x=8$ 是原方程的根, 且符合题意, $\therefore$ 化石的实际长度为 8 cm.
$\therefore x=8$. 经检验, $x=8$ 是原方程的根, 且符合题意, $\therefore$ 化石的实际长度为 8 cm.
9. [2025 南充中考] 已知$\frac{a}{bc} = \frac{b}{ac} = \frac{c}{ab} = 2$，则$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}$的值是（
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$
D
）A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$
答案
9 D $\because \frac{a}{bc}=\frac{b}{ac}=\frac{c}{ab}=2,\therefore a=2bc,b=2ac,c=2ab,\therefore a^{2}=2abc,b^{2}=2abc,c^{2}=2abc,\therefore \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}=\frac{2abc+2abc+2abc}{abc}=\frac{6abc}{abc}=6$.
10. [2026 六安段考]若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{2}(a - 2c + 3e≠0)$，则$\frac{b - 2d + 3f}{a - 2c + 3e}$的值为
2
.答案
10 2 $\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{2},\therefore \frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{f}{e}=2,\therefore \frac{b}{a}=\frac{-2d}{-2c}=\frac{3f}{3e}=2.\because a-2c+3e≠0,\therefore \frac{b-2d+3f}{a-2c+3e}=2$.
11. [2026合肥期中]已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}≠0$.
(1)求$\frac{2a + b}{3c}$的值.
(2)若$△ ABC$的周长为91，求各边的长.
(1)求$\frac{2a + b}{3c}$的值.
(2)若$△ ABC$的周长为91，求各边的长.
答案
11 解:(1)已知a,b,c是△ABC的三边长,且$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}≠0$,
设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}=t(t≠0)$,
$\therefore a=3t,b=4t,c=6t$,
代入$\frac{2a+b}{3c}$,得$\frac{2a+b}{3c}=\frac{6t+4t}{18t}=\frac{10t}{18t}=\frac{5}{9}$.
(2)由题意,知$a+b+c=91$,
则$3t+4t+6t=91$,解得$t=7$,
$\therefore a=21,b=28,c=42$.
设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}=t(t≠0)$,
$\therefore a=3t,b=4t,c=6t$,
代入$\frac{2a+b}{3c}$,得$\frac{2a+b}{3c}=\frac{6t+4t}{18t}=\frac{10t}{18t}=\frac{5}{9}$.
(2)由题意,知$a+b+c=91$,
则$3t+4t+6t=91$,解得$t=7$,
$\therefore a=21,b=28,c=42$.
12. 推理能力 教材P83T3变式 [2026安庆期中]已知$a,b,c$为非零实数，且满足$\frac{b+c}{a}=\frac{a+b}{c}=\frac{a+c}{b}=k$，则一次函数$y=kx+(1+k)$的图象一定经过第
二
象限。答案
12 二 分情况讨论:当$a+b+c≠0$时,由等比性质,得$k=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$,此时直线$y=2x+3$经过第一、二、三象限;当$a+b+c=0$时,$a+b=-c$,则$k=-1$,此时直线$y=-x$过第二、四象限.综上所述,该直线一定经过第二象限.
