登录
三、解答题（共60分）
13.（6分）（1）计算：$|2 - \sqrt{2}| - (-2)^{-2} + (2026 - \sqrt{2})^0$；
（2）化简：$(x + 2 - \dfrac{5}{x - 2}) ÷ \dfrac{x^2 - 6x + 9}{x - 2}$。
13.（6分）（1）计算：$|2 - \sqrt{2}| - (-2)^{-2} + (2026 - \sqrt{2})^0$；
（2）化简：$(x + 2 - \dfrac{5}{x - 2}) ÷ \dfrac{x^2 - 6x + 9}{x - 2}$。
答案
(1)原式=$2-\sqrt{2}-\frac{1}{4}+1=2\frac{3}{4}-\sqrt{2}$.
(2)原式=$\frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2}·\frac{x-2}{x^2-6x+9}=\frac{x^2-9}{x-2}·\frac{x-2}{(x-3)^2}=\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}·\frac{x-2}{(x-3)^2}=\frac{x+3}{x-3}$.
(2)原式=$\frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2}·\frac{x-2}{x^2-6x+9}=\frac{x^2-9}{x-2}·\frac{x-2}{(x-3)^2}=\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}·\frac{x-2}{(x-3)^2}=\frac{x+3}{x-3}$.
14. (6分)[2025南昌期末]已知多项式$A=mx-3$，$B=2x+n$，$A$与$B$的乘积中不含有$x$项，常数项是$-3$，
(1)求$m,n$的值；
(2)求$A· B - B^2$的值。
(1)求$m,n$的值；
(2)求$A· B - B^2$的值。
答案
(1)
∵$A=mx-3$，$B=2x+n$，
∴$A·B=(mx-3)(2x+n)$
$=2mx^2+mnx-6x-3n$
$=2mx^2+(mn-6)x-3n$.
∵A与B的乘积中不含有x项，常数项是−3，
∴$mn-6=0$，$-3n=-3$，
∴$n=1$.
把$n=1$代入$mn-6=0$，解得$m=6$，
∴$m=6,n=1$.
(2)根据(1)可知，$A=6x-3$，$B=2x+1$，
∴$A·B-B^2$
$=(6x-3)(2x+1)-(2x+1)^2$
$=12x^2+6x-6x-3-(4x^2+4x+1)$
$=12x^2-3-4x^2-4x-1$
$=8x^2-4x-4$.
∵$A=mx-3$，$B=2x+n$，
∴$A·B=(mx-3)(2x+n)$
$=2mx^2+mnx-6x-3n$
$=2mx^2+(mn-6)x-3n$.
∵A与B的乘积中不含有x项，常数项是−3，
∴$mn-6=0$，$-3n=-3$，
∴$n=1$.
把$n=1$代入$mn-6=0$，解得$m=6$，
∴$m=6,n=1$.
(2)根据(1)可知，$A=6x-3$，$B=2x+1$，
∴$A·B-B^2$
$=(6x-3)(2x+1)-(2x+1)^2$
$=12x^2+6x-6x-3-(4x^2+4x+1)$
$=12x^2-3-4x^2-4x-1$
$=8x^2-4x-4$.
15. (6分)甲、乙两名同学分解因式$x^2+ax+b$时，甲看错了$b$，分解结果为$(x+2)(x+4)$，乙看错了$a$，分解结果为$(x-1)(x-9)$，求$2a+b$的值。
答案
∵甲看错了$b$，分解结果为$(x+2)(x+4)$，
$(x+2)(x+4)=x^2+6x+8$，
∴$a=6$.
∵乙看错了$a$，分解结果为$(x-1)(x-9)$，
$(x-1)(x-9)=x^2-10x+9$，
∴$b=9$.
∴$2a+b=2×6+9=12+9=21$.
16.(8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请写出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁的各顶点坐标；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂；
(3)在x轴上求作一点P，使点P到A，B两点的距离和最小，请标出点P，并直接写出点P的坐标.
(1)请写出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁的各顶点坐标；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂；
(3)在x轴上求作一点P，使点P到A，B两点的距离和最小，请标出点P，并直接写出点P的坐标.
答案
(1)
∵△ABC与△A₁B₁C₁关于x轴对称，
∴点$A_1(1,-1),B_1(4,-2),C_1(3,-4)$.
(2)如图，△A₂B₂C₂即为所求。
(3)如图，点P即为所求，点P的坐标为$(2,0)$.
17.(8分)[2025北京昌平区期中] 随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大.为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度.现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需的时间相同，求该厂家更新技术前每天生产多少万件产品.
答案
设该厂家更新技术前每天生产$x$万件产品，则更新技术后每天生产$(x+30)$万件产品，
依题意，得$\frac{400}{x}=\frac{500}{x+30}$，解得$x=120$.
经检验，$x=120$是原方程的解且符合实际意义.
∴该厂家更新技术前每天生产120万件产品.
依题意，得$\frac{400}{x}=\frac{500}{x+30}$，解得$x=120$.
经检验，$x=120$是原方程的解且符合实际意义.
∴该厂家更新技术前每天生产120万件产品.
