18.(8分)如图,已知AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,∠CAB=90°.
(1)若∠B=60°,求∠DAE的大小;
(2)若AB=5 cm,AC=12 cm,BC=13 cm,求AD的长.

(1)
∵∠CAB=90°,AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°.
又
∵∠B=60°，
∴∠BAD=90°−∠B=30°.
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=45°−30°=15°.
(2)
∵∠CAB=90°,AB=5 cm,AC=12 cm，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}×5×12=30(cm^2)$.
又
∵BC=13 cm,且AD⊥BC，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×13×AD=30(cm^2)$，
解得$AD=\frac{60}{13} cm$，
∴AD的长为$\frac{60}{13} cm$.

19.（8分）图①是一张长为2m，宽为2n的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形.
（1）用两种不同的方法表示图②中小正方形（阴影部分）的面积：
方法一：$S_{小正方形}=$；
方法二：$S_{小正方形}=$；
（2）$(m+n)^2,(m-n)^2,mn$这三个代数式之间的等量关系为；
（3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若$x+y=7,xy=10$，求$x-y$的值.

(1)$(m+n)^2-4mn$；$(m-n)^2$
(2)$(m+n)^2-4mn=(m-n)^2$
(3)由(2)可得$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$.
∵$x+y=7,xy=10$，
∴$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=9$.
∴$x-y=±3$.

20. (10分)在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$是直线$BC$上一点(不与点$B$，$C$重合)，以$AD$为一边在$AD$的右侧作$△ ADE$，使$∠ DAE=∠ BAC$，$AD=AE$，连接$CE$.
(1)如图①，当点$D$在线段$BC$上时，若$∠ BAC=∠ DAE=90°$.
①判断$△ ABD$与$△ ACE$是否全等？并说明理由.
②求$∠ BCE$的度数.
③如图②，当点$D$是$BC$的中点时，$AE$与$BC$平行吗？请说明理由.
(2)设$∠ BAC=α$，$∠ BCE=β$，如图③，当点$D$在线段$BC$上移动时，问$α$，$β$之间有怎样的数量关系？并说明理由.

(1)①$△ ABD≌△ ACE$.
理由:
∵$∠ BAC=∠ DAE$，
∴$∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，
即$∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ ABD$与$△ ACE$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACE(SAS)$.
②
∵$△ ABD≌△ ACE$,
∴$∠ B=∠ ACE$.
∴$∠ BCE=∠ ACE+∠ ACB=∠ B+∠ ACB$.
∵$∠ BAC=90°$,
∴$∠ B+∠ ACB=90°$.
∴$∠ BCE=90°$.
③平行. 理由:
∵$AB=AC$,点D是BC的中点，
∴$AD⊥BC$,即$∠ ADC=90°$.
又
∵$∠ DAE=90°$，
∴$∠ ADC+∠ DAE=90°+90°=180°$.
∴$AE//BC$.
(2)$α+β=180°$.
理由:
∵$∠ BAC=∠ DAE$，
∴$∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，
即$∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ ABD$与$△ ACE$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ ACE(SAS)$.
∴$∠ B=∠ ACE$.
∴$∠ B+∠ ACB=∠ ACE+∠ ACB=∠ BCE=β$.
∵$∠ BAC+∠ B+∠ ACB=180°$,
∴$α+β=180°$.