20.(真题·杭州钱塘)已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k(k-1)=0$。
(1)求证:该方程必有两个不相等的实数根。
(2)若$x_1,x_2$是该方程的两个根,且满足$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}$,求$k$的值。

20.(1)证明:因为$\Delta=(2k-1)^2-4×k(k-1)=4k^2-4k+1-4k^2+4k=1＞0$,所以该方程总有两个不相等的实数根。
(2)由题意得$x_1+x_2=-2k+1$,$x_1x_2=k(k-1)$,因为$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3}{2}$,所以$\frac{-2k+1}{k(k-1)}=\frac{3}{2}$,解得:$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$,经检验,$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$是原方程的解,所以$k=\frac{2}{3}$或$k=-1$。

21.(真题·宁波余姚)小明准备进行如下实验操作:把一根长为32cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$34cm^{2}$,则这两个正方形的边长各是多少?
(2)小明认为,这两个正方形的面积之和不可能等于$30cm^{2}$。你认为他的说法正确吗?请说明理由。

21.(1)设其中一个正方形的边长为$x$cm,则另一个正方形的边长为$(8-x)$cm。依题意列方程得$x^2+(8-x)^2=34$。整理得:$x^2-8x+15=0$,所以$(x-3)(x-5)=0$,解方程得$x_1=3$,$x_2=5$,因此这两个正方形的边长分别是3cm,5cm。
(2)他的说法正确。理由:若两个正方形的面积之和为$30cm^2$,则$x^2+(8-x)^2=30$,所以$x^2-8x+17=0$,因为$b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4$,所以此方程无解,所以两个正方形的面积之和不可能等于$30cm^2$。