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22.(真题·绍兴越城)某商场销售一批服装,已知进价为 150 元/件，若以 162 元/件销售时,平均每天可销售 100 件。为了尽快减少库存,商场决定降价销售。经调查发现,单价每降低 1 元,每天可多售出 20 件。
(1)若以 158 元/件销售,平均每天可销售多少件?
(2)如果每天盈利 1400 元,那么单价应降低多少元?
(3)如果每天想盈利 2000 元,能做到吗?若能,那么此时应降低多少元;若不能,说明理由。
(1)若以 158 元/件销售,平均每天可销售多少件?
(2)如果每天盈利 1400 元,那么单价应降低多少元?
(3)如果每天想盈利 2000 元,能做到吗?若能,那么此时应降低多少元;若不能,说明理由。
答案
22.(1)根据题意得,$100+(162-158)×20=180$(件),答:平均每天可销售180件。
(2)设降价$x$元,根据题意得,$(162-x-150)(100+20x)=1400$,解得$x=2$或$x=5$。为了尽快减少库存,所以$x=5$,答:单价应降低5元。
(3)不能,理由如下:设此时应降低$x$元。$(162-150-x)(100+20x)=2000$,整理得,$x^2-7x+40=0$,因为$\Delta=49-160＜0$,此方程没有实数根,故不能。
(2)设降价$x$元,根据题意得,$(162-x-150)(100+20x)=1400$,解得$x=2$或$x=5$。为了尽快减少库存,所以$x=5$,答:单价应降低5元。
(3)不能,理由如下:设此时应降低$x$元。$(162-150-x)(100+20x)=2000$,整理得,$x^2-7x+40=0$,因为$\Delta=49-160＜0$,此方程没有实数根,故不能。
23.(真题·宁波北仑)定义:如果 $ x_1,x_2 $ 是一元二次方程 $ ax^2 + bx + c=0 $ 的两个根,且 $ |x_1 - x_2|=1 $,那么称这样的方程为“邻根方程”。例如:一元二次方程 $ x^2 - 3x + 2=0 $ 的两个根是 $ x_1=1,x_2=2 $,此时 $ |x_1 - x_2|=|1 - 2|=1 $,则方程 $ x^2 - 3x + 2=0 $ 是“邻根方程”。
(1)下列方程中,属于“邻根方程”的是 ______（填序号）。
①$ x^2=1 $;②$ 4x^2 + 4x + 1=0 $;③$ x^2 - x=0 $。
(2)已知方程$ (x - m)(x + 3)=0 $是“邻根方程”,求$ m $的值。
(3)若方程$ x^2 - bx + c=0 $是“邻根方程”,求证:$ b + 2c + 1≥0 $。
(1)下列方程中,属于“邻根方程”的是 ______（填序号）。
①$ x^2=1 $;②$ 4x^2 + 4x + 1=0 $;③$ x^2 - x=0 $。
(2)已知方程$ (x - m)(x + 3)=0 $是“邻根方程”,求$ m $的值。
(3)若方程$ x^2 - bx + c=0 $是“邻根方程”,求证:$ b + 2c + 1≥0 $。
答案
23.(1)③ (2)解方程得$x_1=m$,$x_2=-3$,因为方程$(x-m)(x+3)=0$是“邻根方程”,所以$|m+3|=1$,解得$m=-2$或$m=-4$。
(3)证明:设$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-bx+c=0$的两个根,所以$|x_1-x_2|=1$,$x_1x_2=c$,$x_1+x_2=b$,因为$|x_1-x_2|^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$,所以$b^2-4c=1$,即$4c=b^2-1$,所以$b+2c+1=b+\frac{b^2-1}{2}+1=\frac{1}{2}(b^2+2b+1)=\frac{1}{2}(b+1)^2≥0$。
(3)证明:设$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-bx+c=0$的两个根,所以$|x_1-x_2|=1$,$x_1x_2=c$,$x_1+x_2=b$,因为$|x_1-x_2|^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$,所以$b^2-4c=1$,即$4c=b^2-1$,所以$b+2c+1=b+\frac{b^2-1}{2}+1=\frac{1}{2}(b^2+2b+1)=\frac{1}{2}(b+1)^2≥0$。
