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1[2026安徽安庆期末]如图,在学习画线段AB的黄金分割点时,小明过点B作AB的垂线BC,取AB的中点M,以点B为圆心,BM的长为半径画弧,交射线BC于点D,连接AD,再以点D为圆心,DB的长为半径画弧,前后所画的两弧分别与AD交于E,F两点,最后以A为圆心,“■■”的长为半径画弧,交AB于点H,点H即为AB的其中一个黄金分割点,这里的“■■”指的是线段 (
A.AF
B.DF
C.AE
D.DE
A
)A.AF
B.DF
C.AE
D.DE
答案
1. A 【解析】根据作图可知,∠ABD=90°,DB=DF=BM=$\frac{1}{2}$AB. 设 DB=DF=a,则 AB=2a,
∴ 根据勾股定理可得 $AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{5}a$,
∴ AF=AD-DF=$\sqrt{5}a-a$,
∴ $\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{5}a-a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 以 A 为圆心,“AF”的长为半径画弧,交 AB 于点 H,点 H 即为 AB 的其中一个黄金分割点. 故选 A.
∴ 根据勾股定理可得 $AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{5}a$,
∴ AF=AD-DF=$\sqrt{5}a-a$,
∴ $\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{5}a-a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 以 A 为圆心,“AF”的长为半径画弧,交 AB 于点 H,点 H 即为 AB 的其中一个黄金分割点. 故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确黄金分割的核心特征：若点H是AB的黄金分割点，则较长线段与原线段AB的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。首先根据题目给出的作图步骤，梳理已知的相等线段：M是AB中点，故$BM=\frac{1}{2}AB$；以B为圆心BM为半径画弧得D，故$BD=BM$；以D为圆心DB为半径画弧交AD于E、F，故$DE=DF=DB$。接下来我们可以通过设参数的方法，用勾股定理算出AD的长度，再计算各线段和AB的比值，等于黄金比的线段就是所求的半径。
【解析】
设$DB=a$，由作图可知：
$DB=DF=BM=\frac{1}{2}AB$，因此$AB=2a$。
∵$∠ABD=90°$，在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$
∴$AF=AD-DF=\sqrt{5}a - a$
计算AF与AB的比值：
$\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{5}a - a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的比值要求。
因此以A为圆心，AF的长为半径画弧得到的点H就是AB的黄金分割点，故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查黄金分割的判定，解题的关键是通过设参数表示各线段长度，结合勾股定理和黄金比的定义进行判断，属于基础的概念应用类题目。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确黄金分割的核心特征：若点H是AB的黄金分割点，则较长线段与原线段AB的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。首先根据题目给出的作图步骤，梳理已知的相等线段：M是AB中点，故$BM=\frac{1}{2}AB$；以B为圆心BM为半径画弧得D，故$BD=BM$；以D为圆心DB为半径画弧交AD于E、F，故$DE=DF=DB$。接下来我们可以通过设参数的方法，用勾股定理算出AD的长度，再计算各线段和AB的比值，等于黄金比的线段就是所求的半径。
【解析】
设$DB=a$，由作图可知：
$DB=DF=BM=\frac{1}{2}AB$，因此$AB=2a$。
∵$∠ABD=90°$，在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$
∴$AF=AD-DF=\sqrt{5}a - a$
计算AF与AB的比值：
$\frac{AF}{AB}=\frac{\sqrt{5}a - a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的比值要求。
因此以A为圆心，AF的长为半径画弧得到的点H就是AB的黄金分割点，故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查黄金分割的判定，解题的关键是通过设参数表示各线段长度，结合勾股定理和黄金比的定义进行判断，属于基础的概念应用类题目。
【难度系数】
0.7
2[2025上海虹口区校级质检]已知非零实数$x$，$y$，$z$满足$\frac{2x+2y-z}{z}=\frac{2x-y+2z}{y}=\frac{-x+2y+2z}{x}$，则$\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$的值为
8 或 - 1
。答案
2. 8 或 - 1 【解析】设 $\frac{2x+2y-z}{z} = \frac{2x-y+2z}{y} = \frac{-x+2y+2z}{x}=k$,整理得 2x+2y=(k+1)z,① 2x+2z=(k+1)y,② 2z+2y=(k+1)x,③ ①+②+③得 4(x+y+z)=(k+1)(x+y+z). 当 x+y+z≠0 时,k+1=4,则 x+y=(k+1)z÷2=2z,x+z=(k+1)y÷2=2y,y+z=(k+1)x÷2=2x,则$\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}=\frac{2z×2x×2y}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8$;当 x+y+z=0 时,x+y=-z,y+z=-x,z+x=-y,此时 $\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz} = \frac{(-z)(-x)(-y)}{xyz} =\frac{-xyz}{xyz}=-1$. 故答案为 8 或-1.
解析
【分析】
遇到多个分式相等的求值问题，常用设比值为参数k的方法将分式关系转化为整式关系。首先整理得到三个含x、y、z和k的等式，将三个等式相加后会出现公因式$(x+y+z)$，此时需分两种情况讨论：一是$x+y+z≠0$，可约去公因式求出k的值，再代入待求式计算；二是$x+y+z=0$，可直接得到$x+y$、$y+z$、$z+x$与x、y、z的关系，代入待求式计算即可，注意不能直接约去$(x+y+z)$，避免漏解。
【解析】
设$\frac{2x+2y-z}{z} = \frac{2x-y+2z}{y} = \frac{-x+2y+2z}{x}=k$，整理得：
$2x+2y-z=kz$，即$2x+2y=(k+1)z$ ①
$2x-y+2z=ky$，即$2x+2z=(k+1)y$ ②
$-x+2y+2z=kx$，即$2y+2z=(k+1)x$ ③
将①+②+③，得$4(x+y+z)=(k+1)(x+y+z)$。
情况1：当$x+y+z≠0$时，等式两边同时除以$(x+y+z)$，得$k+1=4$。
此时$x+y=\frac{(k+1)z}{2}=2z$，$x+z=\frac{(k+1)y}{2}=2y$，$y+z=\frac{(k+1)x}{2}=2x$，
代入待求式得：$\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}=\frac{2z·2x·2y}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8$。
情况2：当$x+y+z=0$时，可得$x+y=-z$，$y+z=-x$，$z+x=-y$，
代入待求式得：$\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}=\frac{(-z)·(-x)·(-y)}{xyz}=\frac{-xyz}{xyz}=-1$。
【答案】
8或-1
【知识点】
等比设参法，分式化简求值，分类讨论思想
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心解题技巧是对多个相等分式引入参数简化关系，解题时需注意约分化简时要判断所除因式是否为0，防止遗漏解的情况。
【难度系数】
0.6
遇到多个分式相等的求值问题，常用设比值为参数k的方法将分式关系转化为整式关系。首先整理得到三个含x、y、z和k的等式，将三个等式相加后会出现公因式$(x+y+z)$，此时需分两种情况讨论：一是$x+y+z≠0$，可约去公因式求出k的值，再代入待求式计算；二是$x+y+z=0$，可直接得到$x+y$、$y+z$、$z+x$与x、y、z的关系，代入待求式计算即可，注意不能直接约去$(x+y+z)$，避免漏解。
【解析】
设$\frac{2x+2y-z}{z} = \frac{2x-y+2z}{y} = \frac{-x+2y+2z}{x}=k$，整理得：
$2x+2y-z=kz$，即$2x+2y=(k+1)z$ ①
$2x-y+2z=ky$，即$2x+2z=(k+1)y$ ②
$-x+2y+2z=kx$，即$2y+2z=(k+1)x$ ③
将①+②+③，得$4(x+y+z)=(k+1)(x+y+z)$。
情况1：当$x+y+z≠0$时，等式两边同时除以$(x+y+z)$，得$k+1=4$。
此时$x+y=\frac{(k+1)z}{2}=2z$，$x+z=\frac{(k+1)y}{2}=2y$，$y+z=\frac{(k+1)x}{2}=2x$，
代入待求式得：$\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}=\frac{2z·2x·2y}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8$。
情况2：当$x+y+z=0$时，可得$x+y=-z$，$y+z=-x$，$z+x=-y$，
代入待求式得：$\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}=\frac{(-z)·(-x)·(-y)}{xyz}=\frac{-xyz}{xyz}=-1$。
【答案】
8或-1
【知识点】
等比设参法，分式化简求值，分类讨论思想
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心解题技巧是对多个相等分式引入参数简化关系，解题时需注意约分化简时要判断所除因式是否为0，防止遗漏解的情况。
【难度系数】
0.6
3[2025安徽安庆质检]如图,已知四边形ABCD是菱形,点E是对角线AC上的一点,连接BE并延长交AD于点F,交CD的延长线于点G,连接DE.
(1)求证:∠G=∠ADE;
(2)求证$:EB^2=EF·EG.$
(1)求证:∠G=∠ADE;
(2)求证$:EB^2=EF·EG.$
答案
3.【证明】(1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = AD,∠BAE=∠DAE,AB//CD.
∵ AE=AE,
∴ △ABE≅△ADE,
∴ ∠ABE=∠ADE.
∵ AB//CG,
∴ ∠G=∠ABE,
∴ ∠G=∠ADE.
(2)
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AF//BC,
∴ $\frac{EB}{EF}=\frac{EC}{EA}$.
∵ AB//CG,
∴ $\frac{EG}{EB}=\frac{EC}{EA}$,
∴ $\frac{EB}{EF}=\frac{EG}{EB}$,即 $EB^2 = EF · EG$.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = AD,∠BAE=∠DAE,AB//CD.
∵ AE=AE,
∴ △ABE≅△ADE,
∴ ∠ABE=∠ADE.
∵ AB//CG,
∴ ∠G=∠ABE,
∴ ∠G=∠ADE.
(2)
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AF//BC,
∴ $\frac{EB}{EF}=\frac{EC}{EA}$.
∵ AB//CG,
∴ $\frac{EG}{EB}=\frac{EC}{EA}$,
∴ $\frac{EB}{EF}=\frac{EG}{EB}$,即 $EB^2 = EF · EG$.
解析
【分析】
(1) 要证明∠G=∠ADE，可通过两次等量代换推导：首先利用菱形的边和角的性质，证明△ABE≌△ADE，得到∠ADE=∠ABE；再根据菱形对边平行的性质，可得AB//CD，由平行线的内错角相等得∠G=∠ABE，代换后即可得证。
(2) 要证明$EB^2=EF·EG$，先将等积式转化为比例式$\frac{EB}{EF}=\frac{EG}{EB}$，再利用菱形两组对边分别平行的性质，结合平行线分线段成比例定理，分别得到两组含$\frac{EC}{EA}$的比例式，等量代换后得到目标比例式，交叉相乘即可得证。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = AD，∠BAE=∠DAE，AB//CD。
∵ AE=AE，
∴ △ABE≅△ADE，
∴ ∠ABE=∠ADE。
∵ AB//CG，
∴ ∠G=∠ABE，
∴ ∠G=∠ADE。
(2)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AF//BC，
∴ $\frac{EB}{EF}=\frac{EC}{EA}$。
∵ AB//CG，
∴ $\frac{EG}{EB}=\frac{EC}{EA}$，
∴ $\frac{EB}{EF}=\frac{EG}{EB}$，即 $EB^2 = EF · EG$。
【答案】
(1) ∠G=∠ADE，证明成立；
(2) $EB^2=EF·EG$，证明成立。
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题以菱形为载体综合考查几何证明，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，学会通过全等转化角的等量关系，掌握将等积式转化为比例式的推导技巧，是几何考查的常规题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠G=∠ADE，可通过两次等量代换推导：首先利用菱形的边和角的性质，证明△ABE≌△ADE，得到∠ADE=∠ABE；再根据菱形对边平行的性质，可得AB//CD，由平行线的内错角相等得∠G=∠ABE，代换后即可得证。
(2) 要证明$EB^2=EF·EG$，先将等积式转化为比例式$\frac{EB}{EF}=\frac{EG}{EB}$，再利用菱形两组对边分别平行的性质，结合平行线分线段成比例定理，分别得到两组含$\frac{EC}{EA}$的比例式，等量代换后得到目标比例式，交叉相乘即可得证。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = AD，∠BAE=∠DAE，AB//CD。
∵ AE=AE，
∴ △ABE≅△ADE，
∴ ∠ABE=∠ADE。
∵ AB//CG，
∴ ∠G=∠ABE，
∴ ∠G=∠ADE。
(2)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AF//BC，
∴ $\frac{EB}{EF}=\frac{EC}{EA}$。
∵ AB//CG，
∴ $\frac{EG}{EB}=\frac{EC}{EA}$，
∴ $\frac{EB}{EF}=\frac{EG}{EB}$，即 $EB^2 = EF · EG$。
【答案】
(1) ∠G=∠ADE，证明成立；
(2) $EB^2=EF·EG$，证明成立。
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题以菱形为载体综合考查几何证明，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，学会通过全等转化角的等量关系，掌握将等积式转化为比例式的推导技巧，是几何考查的常规题型。
【难度系数】
0.7
4 如图,在△ABC中,E,F是BC边上的三等分点,BM是AC边上的中线,AE,AF分BM为三段,长分别是x,y,z,若x＞y＞z,则x:y:z等于 (
A.3:2:1
B.4:2:1
C.5:2:1
D.5:3:2
(第4题图)
(第5题图)
D
)A.3:2:1
B.4:2:1
C.5:2:1
D.5:3:2
(第4题图)
(第5题图)
答案
4. D 【解析】如图,作 MH//BC 交 AE 于 H,交 AF 于 G,设 AE 交 BM 于 K,AF 交 BM 于 J.
∵ MH//BC,
∴ △AGM ∽ △AFC, △AHG ∽ △AEF,
∴ $\frac{GM}{CF}=\frac{AG}{AF}=\frac{GH}{EF}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$.
∵ BE = EF = CF,
∴ HG = MG = $\frac{1}{2}CF$,
∴ HM = BE.
∵ MH//BC,
∴ △HKM ∽ △EKB, △MJG ∽ △BJF,
∴ $\frac{HM}{BE}=\frac{MK}{KB}=\frac{1}{1}$,$\frac{GM}{BF}=\frac{MJ}{JB}=\frac{1}{4}$,
∴ y+z = x,x+y = 4z,
∴ $x=\frac{5}{2}z$,$y=\frac{3}{2}z$,
∴ x:y:z=5:3:2. 故选 D.
解析
【分析】
遇到线段比例问题，且已知中点、等分点条件时，常通过作平行线构造相似三角形，利用相似的性质建立线段间的比例关系。本题可过AC的中点M作BC的平行线，分别交AE、AF于点H、G，先借助平行线得到的相似三角形求出HG、GM与BC三等分线段的关系，再分别针对两组“X型”相似三角形列出关于x、y、z的比例等式，联立后即可求出三者的比值。
【解析】
作$MH// BC$交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J。
$\because MH// BC$，
$\therefore △ AGM ∽ △ AFC$，$△ AHM ∽ △ AEC$，
$\therefore \frac{GM}{CF}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$，$\frac{HM}{EC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$。
$\because$ E、F是BC的三等分点，即$BE=EF=CF$，
$\therefore EC=2CF$，由此可得$HM=CF=BE$，$GM=\frac{1}{2}CF$。
$\because MH// BC$，
$\therefore △ HKM ∽ △ EKB$，$△ MJG ∽ △ BJF$，
$\therefore \frac{MK}{KB}=\frac{HM}{BE}=1$，即$MK=KB$，也就是$y+z=x$ ①；
又$\frac{MJ}{JB}=\frac{GM}{BF}=\frac{\frac{1}{2}CF}{2CF}=\frac{1}{4}$，即$JB=4MJ$，也就是$x+y=4z$ ②。
联立①②，将①代入②得：$x + (x - z) =4z$，解得$x=\frac{5}{2}z$，再代入①得$y=\frac{3}{2}z$，
$\therefore x:y:z=\frac{5}{2}z:\frac{3}{2}z:z=5:3:2$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，核心解题突破口是通过作平行线构造相似三角形，将已知的等分点、中点条件转化为线段的比例关系，再通过联立比例式求解多线段的比值，能很好地考查学生的辅助线构造能力和比例运算能力。
【难度系数】
0.6
遇到线段比例问题，且已知中点、等分点条件时，常通过作平行线构造相似三角形，利用相似的性质建立线段间的比例关系。本题可过AC的中点M作BC的平行线，分别交AE、AF于点H、G，先借助平行线得到的相似三角形求出HG、GM与BC三等分线段的关系，再分别针对两组“X型”相似三角形列出关于x、y、z的比例等式，联立后即可求出三者的比值。
【解析】
作$MH// BC$交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J。
$\because MH// BC$，
$\therefore △ AGM ∽ △ AFC$，$△ AHM ∽ △ AEC$，
$\therefore \frac{GM}{CF}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$，$\frac{HM}{EC}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{2}$。
$\because$ E、F是BC的三等分点，即$BE=EF=CF$，
$\therefore EC=2CF$，由此可得$HM=CF=BE$，$GM=\frac{1}{2}CF$。
$\because MH// BC$，
$\therefore △ HKM ∽ △ EKB$，$△ MJG ∽ △ BJF$，
$\therefore \frac{MK}{KB}=\frac{HM}{BE}=1$，即$MK=KB$，也就是$y+z=x$ ①；
又$\frac{MJ}{JB}=\frac{GM}{BF}=\frac{\frac{1}{2}CF}{2CF}=\frac{1}{4}$，即$JB=4MJ$，也就是$x+y=4z$ ②。
联立①②，将①代入②得：$x + (x - z) =4z$，解得$x=\frac{5}{2}z$，再代入①得$y=\frac{3}{2}z$，
$\therefore x:y:z=\frac{5}{2}z:\frac{3}{2}z:z=5:3:2$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，核心解题突破口是通过作平行线构造相似三角形，将已知的等分点、中点条件转化为线段的比例关系，再通过联立比例式求解多线段的比值，能很好地考查学生的辅助线构造能力和比例运算能力。
【难度系数】
0.6
5[2026安徽滁州期末]如图,面积为18 cm²的等边三角形ABC被一矩形所截,AB被截成三等分,EH//BC,则图中阴影部分的面积为 (
A.4 cm²
B.5 cm²
C.6 cm²
D.8 cm²
C
)A.4 cm²
B.5 cm²
C.6 cm²
D.8 cm²
答案
5. C 【解析】
∵ 面积为 18 cm² 的等边三角形 ABC 被一矩形所截,AB 被截成三等分,EH//BC,
∴ EH//FG,AE=EF=BF,
∴ EH//FG//BC,
∴ △AEH∽△AFG∽△ABC,
∴ $\frac{S_{△AEH}}{S_{△ABC}}=(\frac{AE}{AB})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$,$\frac{S_{△AFG}}{S_{△ABC}}=(\frac{AF}{AB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$.
∵ $S_{△ABC}=18\ \mathrm{cm}^2$,
∴ $S_{△AEH}=2\ \mathrm{cm}^2$,$S_{△AFG}=8\ \mathrm{cm}^2$,则 $S_{阴影}=S_{△AFG}-S_{△AEH}=6\ \mathrm{cm}^2$. 故选 C.
∵ 面积为 18 cm² 的等边三角形 ABC 被一矩形所截,AB 被截成三等分,EH//BC,
∴ EH//FG,AE=EF=BF,
∴ EH//FG//BC,
∴ △AEH∽△AFG∽△ABC,
∴ $\frac{S_{△AEH}}{S_{△ABC}}=(\frac{AE}{AB})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$,$\frac{S_{△AFG}}{S_{△ABC}}=(\frac{AF}{AB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$.
∵ $S_{△ABC}=18\ \mathrm{cm}^2$,
∴ $S_{△AEH}=2\ \mathrm{cm}^2$,$S_{△AFG}=8\ \mathrm{cm}^2$,则 $S_{阴影}=S_{△AFG}-S_{△AEH}=6\ \mathrm{cm}^2$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知矩形对边平行，且EH//BC，可推出EH//FG//BC，进而得到△AEH、△AFG、△ABC两两相似；再结合AB被三等分的条件，得出两组相似三角形的相似比；根据相似三角形面积比等于相似比的平方，分别求出两个小三角形的面积，二者的差就是阴影部分的面积。
【解析】
∵ 等边三角形ABC的面积为18 cm²，AB被截成三等分，且EH//BC，
又
∵ 矩形的对边平行，
∴ EH//FG，
∴ EH//FG//BC，
∴ △AEH∽△AFG∽△ABC，
相似比分别为$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△AEH}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{S_{△AFG}}{S_{△ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
代入$S_{△ABC}=18\ \mathrm{cm}^2$，解得：
$S_{△AEH}=18×\frac{1}{9}=2\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△AFG}=18×\frac{4}{9}=8\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{阴影}=S_{△AFG}-S_{△AEH}=8-2=6\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的面积性质；平行线的性质
【点评】本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是通过平行线得到相似三角形，结合线段等分关系确定相似比，再利用相似三角形的面积性质求解，计算难度较低，重点考查对相似性质的灵活运用。
【难度系数】0.7
解题时先观察图形特征，已知矩形对边平行，且EH//BC，可推出EH//FG//BC，进而得到△AEH、△AFG、△ABC两两相似；再结合AB被三等分的条件，得出两组相似三角形的相似比；根据相似三角形面积比等于相似比的平方，分别求出两个小三角形的面积，二者的差就是阴影部分的面积。
【解析】
∵ 等边三角形ABC的面积为18 cm²，AB被截成三等分，且EH//BC，
又
∵ 矩形的对边平行，
∴ EH//FG，
∴ EH//FG//BC，
∴ △AEH∽△AFG∽△ABC，
相似比分别为$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，$\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△AEH}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{S_{△AFG}}{S_{△ABC}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
代入$S_{△ABC}=18\ \mathrm{cm}^2$，解得：
$S_{△AEH}=18×\frac{1}{9}=2\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△AFG}=18×\frac{4}{9}=8\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{阴影}=S_{△AFG}-S_{△AEH}=8-2=6\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的面积性质；平行线的性质
【点评】本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是通过平行线得到相似三角形，结合线段等分关系确定相似比，再利用相似三角形的面积性质求解，计算难度较低，重点考查对相似性质的灵活运用。
【难度系数】0.7
6 如图, 在$△ ABC$中, $AB = 9$, $BC = 6$, $∠ ACB = 2∠ A$, $CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$,点$M$是$AC$上一动点$(AM＜\dfrac{1}{2}AC)$,将$△ ADM$沿$DM$折叠得到$△ EDM$,点$A$的对应点为点$E$,$ED$与$AC$交于点$F$.
(1)$CD$的长度是________;
(2)若$ME// CD$,则$AM$的长度是________.
(第6题图)
(第7题图)
(1)$CD$的长度是________;
(2)若$ME// CD$,则$AM$的长度是________.
(第6题图)
(第7题图)
答案
6. (1)5 (2)2.5 【解析】
(1)
(2)
解析
【分析】
(1) 首先根据角平分线定义和已知的二倍角关系，推导得到∠BCD=∠A，结合公共角∠B，可证明△ABC∽△CBD，利用相似三角形对应边成比例求出BD的长度，再根据等角对等边得到AD=CD，即可求出CD的长；
(2) 先由折叠的性质得到∠E=∠A、DE=AD，结合ME//CD的条件推导角相等，得到等腰三角形，进而推出CM=DE=5，再利用(1)中的相似三角形求出AC的总长度，作差即可得到AM的长度。
【解析】
(1)
∵CD平分∠ACB，∠ACB=2∠A，
∴∠ACD=∠BCD=∠A，
∴AD=CD（等角对等边）。
在△ABC和△CBD中，$\begin{cases} ∠B=∠B \\ ∠A=∠BCD \end{cases}$，
∴△ABC∽△CBD（AA判定），
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}$，代入AB=9，BC=6，
得$\frac{9}{6}=\frac{6}{BD}$，解得BD=4，
∴AD=AB-BD=9-4=5，
∴CD=AD=5。
(2)
由折叠的性质可知：∠E=∠A，DE=AD=5。
∵∠ACD=∠A，
∴∠E=∠ACD，
∵ME//CD，
∴∠EMF=∠ACD，∠EDC=∠E，
∴∠E=∠EMF，∠EDC=∠ACD，
∴FE=FM，FC=FD，
∴FC+FM=FD+FE，即CM=DE=5。
由△ABC∽△CBD可得$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，
代入CD=5，AB=9，BC=6，得$\frac{AC}{5}=\frac{9}{6}$，
解得AC=7.5，
∴AM=AC-CM=7.5-5=2.5，符合$AM＜\frac{1}{2}AC$的条件。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，折叠的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线、相似三角形、等腰三角形及折叠的相关性质，解题的核心是通过角的等量关系证明三角形相似、推导等腰三角形，进而得到边的数量关系，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据角平分线定义和已知的二倍角关系，推导得到∠BCD=∠A，结合公共角∠B，可证明△ABC∽△CBD，利用相似三角形对应边成比例求出BD的长度，再根据等角对等边得到AD=CD，即可求出CD的长；
(2) 先由折叠的性质得到∠E=∠A、DE=AD，结合ME//CD的条件推导角相等，得到等腰三角形，进而推出CM=DE=5，再利用(1)中的相似三角形求出AC的总长度，作差即可得到AM的长度。
【解析】
(1)
∵CD平分∠ACB，∠ACB=2∠A，
∴∠ACD=∠BCD=∠A，
∴AD=CD（等角对等边）。
在△ABC和△CBD中，$\begin{cases} ∠B=∠B \\ ∠A=∠BCD \end{cases}$，
∴△ABC∽△CBD（AA判定），
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}$，代入AB=9，BC=6，
得$\frac{9}{6}=\frac{6}{BD}$，解得BD=4，
∴AD=AB-BD=9-4=5，
∴CD=AD=5。
(2)
由折叠的性质可知：∠E=∠A，DE=AD=5。
∵∠ACD=∠A，
∴∠E=∠ACD，
∵ME//CD，
∴∠EMF=∠ACD，∠EDC=∠E，
∴∠E=∠EMF，∠EDC=∠ACD，
∴FE=FM，FC=FD，
∴FC+FM=FD+FE，即CM=DE=5。
由△ABC∽△CBD可得$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，
代入CD=5，AB=9，BC=6，得$\frac{AC}{5}=\frac{9}{6}$，
解得AC=7.5，
∴AM=AC-CM=7.5-5=2.5，符合$AM＜\frac{1}{2}AC$的条件。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，折叠的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线、相似三角形、等腰三角形及折叠的相关性质，解题的核心是通过角的等量关系证明三角形相似、推导等腰三角形，进而得到边的数量关系，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
7[2026安徽六安质检]如图,在矩形ABCD中,AC为对角线,点F在AD上,连接BF交AC于点E,且$∠ ABF=∠ FAC$,$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$.
(1)$\frac{AF}{FD}=$
初中必刷题 数学九年级上册 HK
(2)若点G为矩形ABCD内一点,且$EG=\sqrt{2}$,$△ ABG$为等腰直角三角形,$AG=BG$,延长EG交BC于H,则$GH=$
(1)$\frac{AF}{FD}=$
$\frac{1}{3}$
;初中必刷题 数学九年级上册 HK
(2)若点G为矩形ABCD内一点,且$EG=\sqrt{2}$,$△ ABG$为等腰直角三角形,$AG=BG$,延长EG交BC于H,则$GH=$
$\frac{5\sqrt{2}}{3}$
.答案
7. (1)$\frac{1}{3}$ (2)$\frac{5\sqrt{2}}{3}$ 【解析】(1)
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴ 设 AB = x, BC = 2x.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠BAF = ∠D = ∠ABC = 90°, AD = BC = 2x, DC = AB = x.
∵ ∠ABF = ∠FAC,
∴ △BAF∽△ADC,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{DC}$,则 $\frac{x}{2x}=\frac{AF}{x}$,解得 $AF=\frac{1}{2}x$,
∴ $FD=AD-AF=\frac{3}{2}x$,
∴ $\frac{AF}{FD}=\frac{1}{3}$,故答案为 $\frac{1}{3}$.
(2)如图,作 GN ⊥ BH 于点 N,作 EM ⊥ BH 于点 M,
∴ GN//EM.
∵ △ABG 为等腰直角三角形, AG = BG,
AB=x,
∴ ∠ABG=45°, AG = BG = $\frac{\sqrt{2}}{2}x$.
∵ ∠ABC = 90°,
∴ ∠GBN = 45°.
∵ ∠GNB = 90°,
∴ ∠NGB = 45° = ∠GBN,
∴ GN = BN = $\frac{1}{2}x$.
∵ AD // BC,
∴ ∠ACB = ∠FAC = ∠ABF.
∵ ∠ACB + ∠BAE = 90°,
∴ ∠ABF + ∠BAE = 90°,
∴ ∠AEB = 90°.
∵ $AF=\frac{1}{2}x$,
∴ $BF=\sqrt{AF^2+AB^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$.
∵ $S_{△ABF}=\frac{1}{2}AB · AF = \frac{1}{2}BF · AE$,
∴ $\frac{1}{2}x^2=\frac{\sqrt{5}}{2}x · AE$,
∴ $AE=\frac{\sqrt{5}}{5}x$,
∴ $BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}x$.
∵ AB ⊥ BH,
∴ EM // AB,
∴ ∠MEB = ∠ABF,
∴ tan∠MEB = tan∠ABF,
∴ $\frac{BM}{EM}=\frac{1}{2}$.
∵ $S_{△AEB}=\frac{1}{2}AE · BE = \frac{1}{2}AB · BM$,
∴ $\frac{\sqrt{5}}{5}x · \frac{2\sqrt{5}}{5}x=x · BM$,
∴ $BM=\frac{2}{5}x$,
∴ $EM=\sqrt{BE^2-BM^2}=\frac{4}{5}x$.
∵ GN//EM,
∴ △GHN ∽ △EHM,
∴ $\frac{GH}{HE}=\frac{GN}{EM}$,
∴ $\frac{GH}{GH+\sqrt{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{4}{5}x}$,
∴ $GH=\frac{5\sqrt{2}}{3}$,故答案为 $\frac{5\sqrt{2}}{3}$.
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，先根据AB与BC的比例关系设参数表示矩形的边长，利用矩形的性质得到相等的角，结合已知∠ABF=∠FAC推导出相似三角形，通过相似三角形对应边成比例求出AF的长度，再计算FD的长度即可得到两者的比值。
(2) 解决第二问时，首先由角的等量关系推导得出BF⊥AC，先求出AE、BE的长度；再根据等腰直角三角形的性质求出点G到BC的距离，过E、G分别作BC的垂线构造相似三角形，利用平行线得到的相似三角形对应边成比例，结合已知EG的长度即可求出GH的长度。
【解析】
(1)
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ 设 $AB = x$，$BC = 2x$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠BAF = ∠D = ∠ABC = 90°$，$AD = BC = 2x$，$DC = AB = x$。
∵ $∠ABF = ∠FAC$，且$∠FAC=∠DCA$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ABF=∠DCA$，
∴ $△ BAF ∽ △ ADC$，
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{DC}$，即 $\frac{x}{2x}=\frac{AF}{x}$，解得 $AF=\frac{1}{2}x$，
∴ $FD=AD-AF=2x-\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$，
∴ $\frac{AF}{FD}=\frac{\frac{1}{2}x}{\frac{3}{2}x}=\frac{1}{3}$。
(2) 如图，作$GN ⊥ BH$于点N，作$EM ⊥ BH$于点M，
∴ $GN// EM$。
∵ $△ ABG$为等腰直角三角形，$AG = BG$，$AB=x$，
∴ $∠ABG=45°$，$AG = BG = \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
∵ $∠ABC = 90°$，
∴ $∠GBN = 90°-45°=45°$。
∵ $∠GNB = 90°$，
∴ $∠NGB = 45° = ∠GBN$，
∴ $GN = BN = \frac{1}{2}x$。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ACB = ∠FAC = ∠ABF$。
∵ $∠ACB + ∠BAC = 90°$，
∴ $∠ABF + ∠BAC = 90°$，
∴ $∠AEB = 90°$，即$BF⊥ AC$。
∵ $AF=\frac{1}{2}x$，
∴ 在$Rt△ ABF$中，$BF=\sqrt{AF^2+AB^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}x)^2+x^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$。
∵ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB · AF = \frac{1}{2}BF · AE$，
∴ $\frac{1}{2}· x · \frac{1}{2}x=\frac{1}{2}· \frac{\sqrt{5}}{2}x · AE$，
∴ $AE=\frac{\sqrt{5}}{5}x$，
∴ 在$Rt△ ABE$中，$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{x^2-(\frac{\sqrt{5}}{5}x)^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}x$。
∵ $AB ⊥ BH$，$EM⊥ BH$，
∴ $EM // AB$，
∴ $∠MEB = ∠ABF$，
∴ $\tan∠MEB = \tan∠ABF=\frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}$，即$\frac{BM}{EM}=\frac{1}{2}$。
∵ $S_{△ AEB}=\frac{1}{2}AE · BE = \frac{1}{2}AB · BM$，
∴ $\frac{1}{2}· \frac{\sqrt{5}}{5}x · \frac{2\sqrt{5}}{5}x=\frac{1}{2}· x · BM$，
∴ $BM=\frac{2}{5}x$，
∴ $EM=2BM=\frac{4}{5}x$。
∵ $GN// EM$，
∴ $△ GHN ∽ △ EHM$，
∴ $\frac{GH}{HE}=\frac{GN}{EM}$，
∵ $HE=GH+EG=GH+\sqrt{2}$，代入得：
$\frac{GH}{GH+\sqrt{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{4}{5}x}=\frac{5}{8}$，
交叉相乘得：$8GH=5GH+5\sqrt{2}$，
解得$GH=\frac{5\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{5\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、等腰直角三角形、相似三角形的相关知识，解题时可通过设参数表示线段长度，结合面积法、三角函数求出相关线段长度，再构造相似三角形建立比例关系求解，对几何综合分析能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 解决第一问时，先根据AB与BC的比例关系设参数表示矩形的边长，利用矩形的性质得到相等的角，结合已知∠ABF=∠FAC推导出相似三角形，通过相似三角形对应边成比例求出AF的长度，再计算FD的长度即可得到两者的比值。
(2) 解决第二问时，首先由角的等量关系推导得出BF⊥AC，先求出AE、BE的长度；再根据等腰直角三角形的性质求出点G到BC的距离，过E、G分别作BC的垂线构造相似三角形，利用平行线得到的相似三角形对应边成比例，结合已知EG的长度即可求出GH的长度。
【解析】
(1)
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ 设 $AB = x$，$BC = 2x$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠BAF = ∠D = ∠ABC = 90°$，$AD = BC = 2x$，$DC = AB = x$。
∵ $∠ABF = ∠FAC$，且$∠FAC=∠DCA$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ABF=∠DCA$，
∴ $△ BAF ∽ △ ADC$，
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{DC}$，即 $\frac{x}{2x}=\frac{AF}{x}$，解得 $AF=\frac{1}{2}x$，
∴ $FD=AD-AF=2x-\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$，
∴ $\frac{AF}{FD}=\frac{\frac{1}{2}x}{\frac{3}{2}x}=\frac{1}{3}$。
(2) 如图，作$GN ⊥ BH$于点N，作$EM ⊥ BH$于点M，
∴ $GN// EM$。
∵ $△ ABG$为等腰直角三角形，$AG = BG$，$AB=x$，
∴ $∠ABG=45°$，$AG = BG = \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
∵ $∠ABC = 90°$，
∴ $∠GBN = 90°-45°=45°$。
∵ $∠GNB = 90°$，
∴ $∠NGB = 45° = ∠GBN$，
∴ $GN = BN = \frac{1}{2}x$。
∵ $AD // BC$，
∴ $∠ACB = ∠FAC = ∠ABF$。
∵ $∠ACB + ∠BAC = 90°$，
∴ $∠ABF + ∠BAC = 90°$，
∴ $∠AEB = 90°$，即$BF⊥ AC$。
∵ $AF=\frac{1}{2}x$，
∴ 在$Rt△ ABF$中，$BF=\sqrt{AF^2+AB^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}x)^2+x^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$。
∵ $S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB · AF = \frac{1}{2}BF · AE$，
∴ $\frac{1}{2}· x · \frac{1}{2}x=\frac{1}{2}· \frac{\sqrt{5}}{2}x · AE$，
∴ $AE=\frac{\sqrt{5}}{5}x$，
∴ 在$Rt△ ABE$中，$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{x^2-(\frac{\sqrt{5}}{5}x)^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}x$。
∵ $AB ⊥ BH$，$EM⊥ BH$，
∴ $EM // AB$，
∴ $∠MEB = ∠ABF$，
∴ $\tan∠MEB = \tan∠ABF=\frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}$，即$\frac{BM}{EM}=\frac{1}{2}$。
∵ $S_{△ AEB}=\frac{1}{2}AE · BE = \frac{1}{2}AB · BM$，
∴ $\frac{1}{2}· \frac{\sqrt{5}}{5}x · \frac{2\sqrt{5}}{5}x=\frac{1}{2}· x · BM$，
∴ $BM=\frac{2}{5}x$，
∴ $EM=2BM=\frac{4}{5}x$。
∵ $GN// EM$，
∴ $△ GHN ∽ △ EHM$，
∴ $\frac{GH}{HE}=\frac{GN}{EM}$，
∵ $HE=GH+EG=GH+\sqrt{2}$，代入得：
$\frac{GH}{GH+\sqrt{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{4}{5}x}=\frac{5}{8}$，
交叉相乘得：$8GH=5GH+5\sqrt{2}$，
解得$GH=\frac{5\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{5\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、等腰直角三角形、相似三角形的相关知识，解题时可通过设参数表示线段长度，结合面积法、三角函数求出相关线段长度，再构造相似三角形建立比例关系求解，对几何综合分析能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
