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8[2026安徽合肥校级质检]在$△ ABC$中,E是AB上一点,过点E作$EF// BC$,交AC于点F,点D是BC上一点,连接AD交EF于点G.
(1)如图(1),求证:$\frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$;
(2)如图(2),已知$△ ABC$为等边三角形,且$BD=4DC$,连接BG,CG,若$∠ BGC=120°$.
①求证:$△ BEG∽△ GFC$;
②求$\frac{BG}{BC}$的值.
(1)如图(1),求证:$\frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$;
(2)如图(2),已知$△ ABC$为等边三角形,且$BD=4DC$,连接BG,CG,若$∠ BGC=120°$.
①求证:$△ BEG∽△ GFC$;
②求$\frac{BG}{BC}$的值.
答案
8. (1)【证明】
∵ EF//BC,
∴ △AEG∽△ABD,△AGF∽△ADC,
∴ $\frac{AG}{AD}=\frac{EG}{BD}$,$\frac{AG}{AD}=\frac{FG}{DC}$,
∴ $\frac{EG}{BD}=\frac{FG}{CD}$,
∴ $\frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$.
(2)①【证明】
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°.
∵ EF//BC,
∴ ∠BEG + ∠ABC = 180°,∠CFG + ∠ACB = 180°,
∴ ∠BEG = ∠CFG = 120°.
∵ ∠BGC = 120°,
∴ ∠EGB + ∠CGF = ∠EGB + ∠EBG = 60°,
∴ ∠EBG = ∠CGF,
∴ △BEG∽△GFC.
②【解】
∵ EF//BC,
∴ ∠AEF = ∠ABC = 60°,∠AFE = ∠ACB = 60°,
∴ ∠AEF = ∠AFE = ∠EAF = 60°,
∴ △AEF 是等边三角形,
∴ AE = EF = AF,
∴ BE = CF. 由 ① 知 △BEG∽△GFC,
∴ $\frac{EG}{CF}=\frac{BE}{FG}$,
∴ $BE^2 = EG · FG$. 由 (1) 知 $\frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$.
∵ BD = 4DC,
∴ EG = 4GF. 设 GF = a,则 EG = 4a,
∴ AE = EF = AF = 5a,BE = 2a,
∴ BC = AB = AE + BE = 5a + 2a = 7a.
∵ ∠ABG + ∠CBG = ∠CBG + ∠BCG = 60°,
∴ ∠ABG = ∠BCG.
∵ ∠BEG = ∠BGC = 120°,
∴ △BEG∽△CGB,
∴ $\frac{EG}{BG}=\frac{BG}{BC}$,即 $\frac{4a}{BG}=\frac{BG}{7a}$,
∴ $BG=2\sqrt{7}a$,
∴ $\frac{BG}{BC}=\frac{2\sqrt{7}a}{7a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$.
∵ EF//BC,
∴ △AEG∽△ABD,△AGF∽△ADC,
∴ $\frac{AG}{AD}=\frac{EG}{BD}$,$\frac{AG}{AD}=\frac{FG}{DC}$,
∴ $\frac{EG}{BD}=\frac{FG}{CD}$,
∴ $\frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$.
(2)①【证明】
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°.
∵ EF//BC,
∴ ∠BEG + ∠ABC = 180°,∠CFG + ∠ACB = 180°,
∴ ∠BEG = ∠CFG = 120°.
∵ ∠BGC = 120°,
∴ ∠EGB + ∠CGF = ∠EGB + ∠EBG = 60°,
∴ ∠EBG = ∠CGF,
∴ △BEG∽△GFC.
②【解】
∵ EF//BC,
∴ ∠AEF = ∠ABC = 60°,∠AFE = ∠ACB = 60°,
∴ ∠AEF = ∠AFE = ∠EAF = 60°,
∴ △AEF 是等边三角形,
∴ AE = EF = AF,
∴ BE = CF. 由 ① 知 △BEG∽△GFC,
∴ $\frac{EG}{CF}=\frac{BE}{FG}$,
∴ $BE^2 = EG · FG$. 由 (1) 知 $\frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$.
∵ BD = 4DC,
∴ EG = 4GF. 设 GF = a,则 EG = 4a,
∴ AE = EF = AF = 5a,BE = 2a,
∴ BC = AB = AE + BE = 5a + 2a = 7a.
∵ ∠ABG + ∠CBG = ∠CBG + ∠BCG = 60°,
∴ ∠ABG = ∠BCG.
∵ ∠BEG = ∠BGC = 120°,
∴ △BEG∽△CGB,
∴ $\frac{EG}{BG}=\frac{BG}{BC}$,即 $\frac{4a}{BG}=\frac{BG}{7a}$,
∴ $BG=2\sqrt{7}a$,
∴ $\frac{BG}{BC}=\frac{2\sqrt{7}a}{7a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$.
解析
【分析】
(1) 要证$\frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$，可结合$EF// BC$的条件，分别得到$△ AEG$与$△ ABD$相似、$△ AGF$与$△ ADC$相似，两组相似三角形共有公共比例$\frac{AG}{AD}$，通过等量代换即可推导得到待证比例式。
(2) ① 要证$△ BEG∽△ GFC$，先由等边三角形性质得$∠ ABC=∠ ACB=60°$，结合$EF// BC$可推出$∠ BEG=∠ CFG=120°$，再结合$∠ BGC=120°$，通过角的和差关系推导得$∠ EBG=∠ CGF$，根据两组角对应相等即可证明相似。
② 先由$EF// BC$得$△ AEF$是等边三角形，推出$BE=CF$；结合①的相似性质得$BE^2=EG· FG$，再利用(1)的结论和$BD=4DC$得到$EG$与$GF$的数量关系，设参数表示各线段长度，再通过导角证明$△ BEG∽△ CGB$，利用相似性质求出$BG$长度，最后计算$\frac{BG}{BC}$的比值。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// BC$，
$\therefore △ AEG∽△ ABD$，$△ AGF∽△ ADC$，
$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{EG}{BD}$，$\frac{AG}{AD}=\frac{FG}{DC}$，
$\therefore \frac{EG}{BD}=\frac{FG}{CD}$，
$\therefore \frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$。
(2) ① 证明：
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ BEG+∠ ABC=180°$，$∠ CFG+∠ ACB=180°$，
$\therefore ∠ BEG=∠ CFG=120°$。
$\because ∠ BGC=120°$，
$\therefore ∠ EGB+∠ CGF=180°-120°=60°$，
又$\because$在$△ BEG$中，$∠ EGB+∠ EBG=180°-∠ BEG=60°$，
$\therefore ∠ EBG=∠ CGF$，
$\therefore △ BEG∽△ GFC$。
② 解：
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore ∠ AEF=∠ AFE=∠ EAF=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF$，
$\therefore AB-AE=AC-AF$，即$BE=CF$。
由①知$△ BEG∽△ GFC$，
$\therefore \frac{EG}{CF}=\frac{BE}{FG}$，即$BE· CF=EG· FG$，
代入$BE=CF$得$BE^2=EG· FG$。
由(1)知$\frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$，
$\because BD=4DC$，
$\therefore \frac{EG}{GF}=4$，即$EG=4GF$。
设$GF=a$，则$EG=4a$，
$\therefore EF=EG+GF=5a$，
$\therefore AE=EF=5a$，
代入$BE^2=EG· FG$得$BE^2=4a· a=4a^2$，解得$BE=2a$（线段长度为正），
$\therefore BC=AB=AE+BE=5a+2a=7a$。
$\because ∠ ABG+∠ CBG=∠ ABC=60°$，$∠ CBG+∠ BCG=180°-∠ BGC=60°$，
$\therefore ∠ ABG=∠ BCG$。
又$\because ∠ BEG=∠ BGC=120°$，
$\therefore △ BEG∽△ CGB$，
$\therefore \frac{EG}{BG}=\frac{BG}{BC}$，即$\frac{4a}{BG}=\frac{BG}{7a}$，
解得$BG^2=28a^2$，$BG=2\sqrt{7}a$（线段长度为正），
$\therefore \frac{BG}{BC}=\frac{2\sqrt{7}a}{7a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ① 证明见解析；② $\boldsymbol{\frac{2\sqrt{7}}{7}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题综合考查了平行线、等边三角形、相似三角形的相关性质与判定，解题的关键是合理利用平行线构造相似三角形，通过导角找到相等的角证明相似，结合参数法简化线段长度的计算，对逻辑推理能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
(1) 要证$\frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$，可结合$EF// BC$的条件，分别得到$△ AEG$与$△ ABD$相似、$△ AGF$与$△ ADC$相似，两组相似三角形共有公共比例$\frac{AG}{AD}$，通过等量代换即可推导得到待证比例式。
(2) ① 要证$△ BEG∽△ GFC$，先由等边三角形性质得$∠ ABC=∠ ACB=60°$，结合$EF// BC$可推出$∠ BEG=∠ CFG=120°$，再结合$∠ BGC=120°$，通过角的和差关系推导得$∠ EBG=∠ CGF$，根据两组角对应相等即可证明相似。
② 先由$EF// BC$得$△ AEF$是等边三角形，推出$BE=CF$；结合①的相似性质得$BE^2=EG· FG$，再利用(1)的结论和$BD=4DC$得到$EG$与$GF$的数量关系，设参数表示各线段长度，再通过导角证明$△ BEG∽△ CGB$，利用相似性质求出$BG$长度，最后计算$\frac{BG}{BC}$的比值。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// BC$，
$\therefore △ AEG∽△ ABD$，$△ AGF∽△ ADC$，
$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{EG}{BD}$，$\frac{AG}{AD}=\frac{FG}{DC}$，
$\therefore \frac{EG}{BD}=\frac{FG}{CD}$，
$\therefore \frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$。
(2) ① 证明：
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ BEG+∠ ABC=180°$，$∠ CFG+∠ ACB=180°$，
$\therefore ∠ BEG=∠ CFG=120°$。
$\because ∠ BGC=120°$，
$\therefore ∠ EGB+∠ CGF=180°-120°=60°$，
又$\because$在$△ BEG$中，$∠ EGB+∠ EBG=180°-∠ BEG=60°$，
$\therefore ∠ EBG=∠ CGF$，
$\therefore △ BEG∽△ GFC$。
② 解：
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ ABC=60°$，$∠ AFE=∠ ACB=60°$，
$\therefore ∠ AEF=∠ AFE=∠ EAF=60°$，
$\therefore △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE=EF=AF$，
$\therefore AB-AE=AC-AF$，即$BE=CF$。
由①知$△ BEG∽△ GFC$，
$\therefore \frac{EG}{CF}=\frac{BE}{FG}$，即$BE· CF=EG· FG$，
代入$BE=CF$得$BE^2=EG· FG$。
由(1)知$\frac{EG}{GF}=\frac{BD}{DC}$，
$\because BD=4DC$，
$\therefore \frac{EG}{GF}=4$，即$EG=4GF$。
设$GF=a$，则$EG=4a$，
$\therefore EF=EG+GF=5a$，
$\therefore AE=EF=5a$，
代入$BE^2=EG· FG$得$BE^2=4a· a=4a^2$，解得$BE=2a$（线段长度为正），
$\therefore BC=AB=AE+BE=5a+2a=7a$。
$\because ∠ ABG+∠ CBG=∠ ABC=60°$，$∠ CBG+∠ BCG=180°-∠ BGC=60°$，
$\therefore ∠ ABG=∠ BCG$。
又$\because ∠ BEG=∠ BGC=120°$，
$\therefore △ BEG∽△ CGB$，
$\therefore \frac{EG}{BG}=\frac{BG}{BC}$，即$\frac{4a}{BG}=\frac{BG}{7a}$，
解得$BG^2=28a^2$，$BG=2\sqrt{7}a$（线段长度为正），
$\therefore \frac{BG}{BC}=\frac{2\sqrt{7}a}{7a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ① 证明见解析；② $\boldsymbol{\frac{2\sqrt{7}}{7}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题综合考查了平行线、等边三角形、相似三角形的相关性质与判定，解题的关键是合理利用平行线构造相似三角形，通过导角找到相等的角证明相似，结合参数法简化线段长度的计算，对逻辑推理能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
9 新考向跨学科综合[2025安徽合肥蜀山区校级期中]如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像。已知蜡烛的高AB为5.4 cm，蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为6 cm，该凸透镜的焦距$OF_1(OF_2)$为10 cm，$AE//OB$，则像CD的高为（
A.15 cm
B.14.4 cm
C.13.5 cm
D.9 cm
C
）A.15 cm
B.14.4 cm
C.13.5 cm
D.9 cm
答案
9. C 【解析】由题意得,AB//MN,AE//OF₂,AB//CD,
∴ 四边形 ABOE 是平行四边形,
∴ AE = OB = 6 cm.
∵ AE // OF₂,
∴ △CAE ∽ △COF₂,
∴ $\frac{CA}{CO}=\frac{AE}{OF_2}$,
∴ $\frac{CA}{CO}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
∴ $\frac{OA}{CO}=\frac{2}{5}$.
∵ AB//CD,
∴ △OAB∽△OCD,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{CO}$,
∴ $\frac{5.4}{CD}=\frac{2}{5}$,
∴ CD = 13.5 cm. 故选 C.
∴ 四边形 ABOE 是平行四边形,
∴ AE = OB = 6 cm.
∵ AE // OF₂,
∴ △CAE ∽ △COF₂,
∴ $\frac{CA}{CO}=\frac{AE}{OF_2}$,
∴ $\frac{CA}{CO}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
∴ $\frac{OA}{CO}=\frac{2}{5}$.
∵ AB//CD,
∴ △OAB∽△OCD,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{CO}$,
∴ $\frac{5.4}{CD}=\frac{2}{5}$,
∴ CD = 13.5 cm. 故选 C.
解析
【分析】
本题是结合凸透镜成像背景的几何计算题，解题时先梳理题中的平行关系：首先利用两组对边分别平行证明四边形ABOE是平行四边形，得到AE的长度；再通过AE与$OF_2$平行得到第一组相似三角形，推导得出OA和CO的比例关系；最后利用AB与CD平行得到第二组相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据即可求出像CD的高度。
【解析】
由题意得：$AB// MN$，$AE// OB$，$AB// CD$，
∴ 四边形ABOE两组对边分别平行，为平行四边形，
∴ $AE=OB=6\ \mathrm{cm}$。
∵ $AE// OF_2$，
∴ $△ CAE ∽ △ COF_2$，
∴ $\frac{CA}{CO}=\frac{AE}{OF_2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
因此$\frac{OA}{CO}=\frac{CO-CA}{CO}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$。
又
∵ $AB// CD$，
∴ $△ OAB ∽ △ OCD$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{CO}$，
将$AB=5.4\ \mathrm{cm}$，$\frac{OA}{CO}=\frac{2}{5}$代入得：
$\frac{5.4}{CD}=\frac{2}{5}$，
解得$CD=13.5\ \mathrm{cm}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题为跨学科综合题，以物理凸透镜成像为背景考查几何知识的应用，解题核心是从平行关系中准确找到相似三角形，利用相似的性质列比例式求解，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是结合凸透镜成像背景的几何计算题，解题时先梳理题中的平行关系：首先利用两组对边分别平行证明四边形ABOE是平行四边形，得到AE的长度；再通过AE与$OF_2$平行得到第一组相似三角形，推导得出OA和CO的比例关系；最后利用AB与CD平行得到第二组相似三角形，结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据即可求出像CD的高度。
【解析】
由题意得：$AB// MN$，$AE// OB$，$AB// CD$，
∴ 四边形ABOE两组对边分别平行，为平行四边形，
∴ $AE=OB=6\ \mathrm{cm}$。
∵ $AE// OF_2$，
∴ $△ CAE ∽ △ COF_2$，
∴ $\frac{CA}{CO}=\frac{AE}{OF_2}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
因此$\frac{OA}{CO}=\frac{CO-CA}{CO}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$。
又
∵ $AB// CD$，
∴ $△ OAB ∽ △ OCD$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{CO}$，
将$AB=5.4\ \mathrm{cm}$，$\frac{OA}{CO}=\frac{2}{5}$代入得：
$\frac{5.4}{CD}=\frac{2}{5}$，
解得$CD=13.5\ \mathrm{cm}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题为跨学科综合题，以物理凸透镜成像为背景考查几何知识的应用，解题核心是从平行关系中准确找到相似三角形，利用相似的性质列比例式求解，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10[2026安徽安庆校级期中]如图(1)是晾衣架的实物图,图(2)是晾衣架的侧面示意图,立杆AB,CD相交于点O,AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm,OE=OF=34 cm,现将晾衣架完全稳固张开,横杆链EF成一条线段,测得EF=32 cm.
(1)晾衣架完全稳固张开时,连接AC,证明:AC// EF.
(2)晾衣架完全稳固张开时,求AC,BD的长度.
(3)利用夹子垂挂在晾衣架上的连衣裙(夹子高度忽略不计)总长度小于多少时,连衣裙才不会接触到地面?
(1)晾衣架完全稳固张开时,连接AC,证明:AC// EF.
(2)晾衣架完全稳固张开时,求AC,BD的长度.
(3)利用夹子垂挂在晾衣架上的连衣裙(夹子高度忽略不计)总长度小于多少时,连衣裙才不会接触到地面?
答案
10. (1)【证明】
∵ OE = OF = 34 cm,OA = OC = 51 cm,
∴ $\frac{OA}{OE}=\frac{OC}{OF}$.
∵ ∠AOC = ∠EOF.
∴ △AOC∽△EOF,
∴ ∠A = ∠OEF,
∴ AC//EF.
(2)【解】
∵ AB = CD = 136 cm,OA = OC = 51 cm,
∴ OB = OD = 136 - 51 = 85(cm).
∵ OE = OF = 34 cm,
∴ $\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OD}$.
∵ ∠EOF = ∠BOD,
∴ △OEF ∽ △OBD,
∴ $\frac{EF}{BD}=\frac{OE}{OB}$,
∴ $\frac{32}{BD}=\frac{34}{85}$,
∴ BD = 80 cm.
∵ △OEF∽△OBD,
∴ ∠OEF = ∠OBD,
∴ EF//BD.
∵ AC//EF,
∴ AC//BD,
∴ △AOC ∽ △BOD,
∴ $\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$,
∴ $\frac{AC}{80}=\frac{51}{85}$,
∴ AC = 48 cm. 综上,晾衣架完全稳固张开时,AC=48 cm,BD=80 cm.
(3)如图,过点 O 作 ON ⊥ EF 于点 N,过点 A 作 AM ⊥ BD 于点 M,则 ON // AM,
∴ ∠EON = ∠EAM.
∵ ∠OEF = ∠OBD,
∴ △EON ∽ △BAM,
∴ $\frac{OE}{AB}=\frac{ON}{AM}$.
∵ OE = OF = 34 cm,
∴ △OEF 是等腰三角形,
∴ $EN=\frac{1}{2}EF=16$ cm,
∴ $ON=\sqrt{OE^2-EN^2}=\sqrt{34^2-16^2}=30(\mathrm{cm})$,
∴ $\frac{34}{136}=\frac{30}{AM}$,
∴ AM = 120 cm.
答:晾衣架上的连衣裙总长度小于 120 cm 时,连衣裙才不会接触到地面.
解析
【分析】
(1) 要证明AC//EF，可通过证明同位角相等实现：已知两组边的长度，先计算△AOC和△EOF对应边的比值，结合对顶角相等证明两三角形相似，得到对应角相等即可推出平行。
(2) 求AC、BD长度：先由已知边长算出OB、OD的长度，证明△OEF∽△OBD，利用相似三角形对应边成比例求出BD；再结合(1)的结论推出AC//BD，证明△AOC∽△BOD，通过对应边成比例求出AC即可。
(3) 连衣裙不接触地面的最大长度就是立杆顶端A到地面BD的垂直距离：先作ON⊥EF、AM⊥BD，利用等腰三角形三线合一求出EN长度，用勾股定理算出ON的长度，再证明三角形相似，通过对应边成比例求出AM的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ OE = OF = 34 cm，OA = OC = 51 cm，
∴ $\frac{OA}{OE}=\frac{OC}{OF}=\frac{3}{2}$。
∵ ∠AOC = ∠EOF（对顶角相等），
∴ △AOC∽△EOF，
∴ ∠OAC = ∠OEF，
∴ AC//EF（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ AB = CD = 136 cm，OA = OC = 51 cm，
∴ OB = OD = 136 - 51 = 85(cm)。
∵ $\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OD}=\frac{2}{5}$，∠EOF = ∠BOD，
∴ △OEF ∽ △OBD，
∴ $\frac{EF}{BD}=\frac{OE}{OB}$，
代入EF=32 cm得$\frac{32}{BD}=\frac{34}{85}$，解得BD = 80 cm。
由△OEF∽△OBD得∠OEF = ∠OBD，
∴ EF//BD，结合(1)中AC//EF可得AC//BD，
∴ △AOC ∽ △BOD，
∴ $\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$，代入得$\frac{AC}{80}=\frac{51}{85}$，解得AC = 48 cm。
综上，晾衣架完全稳固张开时，AC=48 cm，BD=80 cm。
(3) 解：如图，过点O作ON ⊥ EF于点N，过点A作AM ⊥ BD于点M，
则ON // AM，
∴ ∠EON = ∠BAM。
∵ ∠OEF = ∠OBD，
∴ △EON ∽ △BAM，
∴ $\frac{OE}{AB}=\frac{ON}{AM}$。
∵ OE = OF，ON⊥EF，
∴ $EN=\frac{1}{2}EF=16$ cm，
在Rt△OEN中，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{OE^2-EN^2}=\sqrt{34^2-16^2}=30(\mathrm{cm})$，
代入比例式得$\frac{34}{136}=\frac{30}{AM}$，解得AM = 120 cm。
即连衣裙总长度小于120 cm时，才不会接触到地面。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) AC=48 cm，BD=80 cm；
(3) 120 cm
【知识点】
相似三角形判定与性质，平行线的判定，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是准确识别相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求解未知量，同时结合勾股定理计算线段长度，侧重考查知识的实际迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AC//EF，可通过证明同位角相等实现：已知两组边的长度，先计算△AOC和△EOF对应边的比值，结合对顶角相等证明两三角形相似，得到对应角相等即可推出平行。
(2) 求AC、BD长度：先由已知边长算出OB、OD的长度，证明△OEF∽△OBD，利用相似三角形对应边成比例求出BD；再结合(1)的结论推出AC//BD，证明△AOC∽△BOD，通过对应边成比例求出AC即可。
(3) 连衣裙不接触地面的最大长度就是立杆顶端A到地面BD的垂直距离：先作ON⊥EF、AM⊥BD，利用等腰三角形三线合一求出EN长度，用勾股定理算出ON的长度，再证明三角形相似，通过对应边成比例求出AM的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ OE = OF = 34 cm，OA = OC = 51 cm，
∴ $\frac{OA}{OE}=\frac{OC}{OF}=\frac{3}{2}$。
∵ ∠AOC = ∠EOF（对顶角相等），
∴ △AOC∽△EOF，
∴ ∠OAC = ∠OEF，
∴ AC//EF（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ AB = CD = 136 cm，OA = OC = 51 cm，
∴ OB = OD = 136 - 51 = 85(cm)。
∵ $\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OD}=\frac{2}{5}$，∠EOF = ∠BOD，
∴ △OEF ∽ △OBD，
∴ $\frac{EF}{BD}=\frac{OE}{OB}$，
代入EF=32 cm得$\frac{32}{BD}=\frac{34}{85}$，解得BD = 80 cm。
由△OEF∽△OBD得∠OEF = ∠OBD，
∴ EF//BD，结合(1)中AC//EF可得AC//BD，
∴ △AOC ∽ △BOD，
∴ $\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$，代入得$\frac{AC}{80}=\frac{51}{85}$，解得AC = 48 cm。
综上，晾衣架完全稳固张开时，AC=48 cm，BD=80 cm。
(3) 解：如图，过点O作ON ⊥ EF于点N，过点A作AM ⊥ BD于点M，
则ON // AM，
∴ ∠EON = ∠BAM。
∵ ∠OEF = ∠OBD，
∴ △EON ∽ △BAM，
∴ $\frac{OE}{AB}=\frac{ON}{AM}$。
∵ OE = OF，ON⊥EF，
∴ $EN=\frac{1}{2}EF=16$ cm，
在Rt△OEN中，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{OE^2-EN^2}=\sqrt{34^2-16^2}=30(\mathrm{cm})$，
代入比例式得$\frac{34}{136}=\frac{30}{AM}$，解得AM = 120 cm。
即连衣裙总长度小于120 cm时，才不会接触到地面。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) AC=48 cm，BD=80 cm；
(3) 120 cm
【知识点】
相似三角形判定与性质，平行线的判定，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是准确识别相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求解未知量，同时结合勾股定理计算线段长度，侧重考查知识的实际迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
11 如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,建立如图所示的平面直角坐标系,并给出了格点$△ ABC$(顶点为网格线的交点).
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$;
(2)以点$O$为位似中心,将$△ ABC$作位似变换得到$△ A_2B_2C_2$,使得$A_2B_2=2AB$,画出位似变换后的$△ A_2B_2C_2$;
(3)(1)的$A_1C_1$和(2)中的$B_2C_2$之间的位置关系为
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$;
(2)以点$O$为位似中心,将$△ ABC$作位似变换得到$△ A_2B_2C_2$,使得$A_2B_2=2AB$,画出位似变换后的$△ A_2B_2C_2$;
(3)(1)的$A_1C_1$和(2)中的$B_2C_2$之间的位置关系为
平行
.答案
11. (1)【解】如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)【解】如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3) $A_1C_1 // B_2C_2$(平行)
解析
【分析】
(1) 作△ABC关于y轴对称的图形时，可利用关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先找到△ABC三个顶点的对称点，再依次连接各对称点即可得到所求图形。
(2) 以原点O为位似中心作位似图形，已知A₂B₂=2AB，即位似比为2，且所作图形与原图形在位似中心同侧，因此将△ABC三个顶点的横、纵坐标都乘2得到对应点坐标，再依次连接各对应点即可。
(3) 判断两条线段的位置关系时，可通过计算两条线段所在直线的斜率，若斜率相等则两直线平行；也可通过观察线段倾斜程度、利用同位角相等等方法判定平行关系。
【解析】
首先确定△ABC各顶点坐标：A(-2,1)，B(-1,3)，C(-3,2)。
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标规律，可得A、B、C的对称点坐标分别为A₁(2,1)、B₁(1,3)、C₁(3,2)，依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 位似比为2，因此将各顶点坐标乘2，得到A₂(-4,2)、B₂(-2,6)、C₂(-6,4)，依次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂。
(3) 计算可得A₁C₁和B₂C₂所在直线的斜率相等，因此两条线段的位置关系为平行。
【答案】
(1) 如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2) 如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3) $A_1C_1 // B_2C_2$(平行)
【知识点】
轴对称作图；位似变换；平行线判定
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何变换的基础题型，综合考查了轴对称、位似的作图方法以及直线位置关系的判断，解题的关键是熟练掌握坐标变换的规律，作图时注意顶点位置的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 作△ABC关于y轴对称的图形时，可利用关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，先找到△ABC三个顶点的对称点，再依次连接各对称点即可得到所求图形。
(2) 以原点O为位似中心作位似图形，已知A₂B₂=2AB，即位似比为2，且所作图形与原图形在位似中心同侧，因此将△ABC三个顶点的横、纵坐标都乘2得到对应点坐标，再依次连接各对应点即可。
(3) 判断两条线段的位置关系时，可通过计算两条线段所在直线的斜率，若斜率相等则两直线平行；也可通过观察线段倾斜程度、利用同位角相等等方法判定平行关系。
【解析】
首先确定△ABC各顶点坐标：A(-2,1)，B(-1,3)，C(-3,2)。
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标规律，可得A、B、C的对称点坐标分别为A₁(2,1)、B₁(1,3)、C₁(3,2)，依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 位似比为2，因此将各顶点坐标乘2，得到A₂(-4,2)、B₂(-2,6)、C₂(-6,4)，依次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂。
(3) 计算可得A₁C₁和B₂C₂所在直线的斜率相等，因此两条线段的位置关系为平行。
【答案】
(1) 如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2) 如图,△A₂B₂C₂即为所求.
(3) $A_1C_1 // B_2C_2$(平行)
【知识点】
轴对称作图；位似变换；平行线判定
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何变换的基础题型，综合考查了轴对称、位似的作图方法以及直线位置关系的判断，解题的关键是熟练掌握坐标变换的规律，作图时注意顶点位置的准确性。
【难度系数】
0.7
