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1 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则反比例函数$y=\frac{a}{x}$与一次函数$y=bx+c$在同一坐标系中的大致图象是 （
C
）答案
1. C
2 函数$y=\frac{k}{x}$与$y=kx - k$（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（
D
）答案
2. D
3 [2024大庆]在同一平面直角坐标系中，函数$y=kx-k(k≠0)$与$y=\frac{k}{|x|}$的大致图象为（
C
）答案
3. C
4 如图，一次函数 $y=x+5$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数，且 $k≠0)$ 的图象相交于 $A(-1,m),B$ 两点. 将一次函数 $y=x+5$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $b$ 个单位长度 $(b＞0)$，使平移后的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数，且 $k≠0)$ 的图象有且只有一个交点，求 $b$ 的值. 
答案
4. $\because$ 一次函数 $y=x+5$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$($k$ 为常数,且 $k ≠ 0$)的图象都经过点 $A(-1,m),\therefore m=-1+5=4$,即点 $A$ 的坐标为$(-1,4).\therefore k=-1 × 4=-4.\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=-\frac{4}{x}.\because$ 将一次函数 $y=x+5$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $b$ 个单位长度$(b＞0),\therefore$ 平移后的图象对应的函数解析式为 $y=x+5-b$. 令 $x+5-b=-\frac{4}{x}$, 则 $x^2+(5-b)x+4=0$.
$\because$ 平移后的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象有且只有一个交点,$\therefore \Delta=(5-b)^2-16=0$,解得 $b=9$ 或 $b=1. \therefore b$ 的值为9或1
$\because$ 平移后的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象有且只有一个交点,$\therefore \Delta=(5-b)^2-16=0$,解得 $b=9$ 或 $b=1. \therefore b$ 的值为9或1
5 如图,一次函数 $y=mx+n(m≠0)$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象交于点 $A(-2,a),B(b,-1)$,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C,$△ AOC$ 的面积为 4.
(1) 一题多解 分别求出 a 和 b 的值;
(2) 结合图象直接写出当 $mx+n＞\frac{k}{x}$ 时 x 的取值范围;
(3) 在 y 轴上取一点 P,使 $PB-PA$ 取得最大值,求出此时点 P 的坐标.
(1) 一题多解 分别求出 a 和 b 的值;
(2) 结合图象直接写出当 $mx+n＞\frac{k}{x}$ 时 x 的取值范围;
(3) 在 y 轴上取一点 P,使 $PB-PA$ 取得最大值,求出此时点 P 的坐标.
答案
5. (1) 解法一: $\because △ AOC$ 的面积为 $4,AC ⊥ x$ 轴,点 $A$ 的坐标为$(-2,a),\therefore AC=\frac{2 × 4}{|-2|}=4$,即 $a=4. \therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(-2,4). \because$ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象上, $\therefore k=-8$.
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=-\frac{8}{x}. \because$ 点 $B(b,-1)$ 在反比例函数 $y=-\frac{8}{x}$ 的图象上, $\therefore b=8$
解法二: 由 $AC ⊥ x$ 轴,可得$△ AOC$ 是直角三角形,$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|k|=4$,得$|k|=8$,即$k= \pm 8$. 又$\because$ 点 $A(-2,a)$ 在第二象限, $\therefore k=-8. \therefore y=-\frac{8}{x}$. 将 $A(-2,a)$ 代入,得 $a=\frac{-8}{-2}=4$,即 $a=4$.
$\because$ 点 $B(b,-1)$ 在反比例函数 $y=-\frac{8}{x}$ 的图象上, $\therefore b=8$
(2) $x＜-2$ 或 $0＜x＜8$
(3) 设点 $A(-2,4)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A'$,易知点 $A'$ 的坐标为$(2,4)$,则直线 $A'B$ 与 $y$ 轴的交点即为所求的点 $P$. 设直线 $A'B$ 对应的函数解析式为 $y=cx+d$.
$\because$ 点 $A'(2,4),B(8,-1)$ 在直线 $A'B$ 上, $\therefore \begin{cases}2c+d=4, \\8c+d=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=-\frac{5}{6}, \\d=\frac{17}{3}.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $A'B$ 对应的函数解析式为 $y=-\frac{5}{6}x+\frac{17}{3}$.
$\therefore$ 直线 $y=-\frac{5}{6}x+\frac{17}{3}$ 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,\frac{17}{3})$,即点 $P$ 的坐标为 $(0,\frac{17}{3})$
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=-\frac{8}{x}. \because$ 点 $B(b,-1)$ 在反比例函数 $y=-\frac{8}{x}$ 的图象上, $\therefore b=8$
解法二: 由 $AC ⊥ x$ 轴,可得$△ AOC$ 是直角三角形,$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|k|=4$,得$|k|=8$,即$k= \pm 8$. 又$\because$ 点 $A(-2,a)$ 在第二象限, $\therefore k=-8. \therefore y=-\frac{8}{x}$. 将 $A(-2,a)$ 代入,得 $a=\frac{-8}{-2}=4$,即 $a=4$.
$\because$ 点 $B(b,-1)$ 在反比例函数 $y=-\frac{8}{x}$ 的图象上, $\therefore b=8$
(2) $x＜-2$ 或 $0＜x＜8$
(3) 设点 $A(-2,4)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A'$,易知点 $A'$ 的坐标为$(2,4)$,则直线 $A'B$ 与 $y$ 轴的交点即为所求的点 $P$. 设直线 $A'B$ 对应的函数解析式为 $y=cx+d$.
$\because$ 点 $A'(2,4),B(8,-1)$ 在直线 $A'B$ 上, $\therefore \begin{cases}2c+d=4, \\8c+d=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=-\frac{5}{6}, \\d=\frac{17}{3}.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $A'B$ 对应的函数解析式为 $y=-\frac{5}{6}x+\frac{17}{3}$.
$\therefore$ 直线 $y=-\frac{5}{6}x+\frac{17}{3}$ 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,\frac{17}{3})$,即点 $P$ 的坐标为 $(0,\frac{17}{3})$
