1[中]一般地,如果$x^n=a$,那么$x$叫作$a$的$n$次方根,其中$n＞1$,且$n$是正整数.例如:因为$(\pm 3)^4=81$,所以$\pm 3$叫作$81$的四次方根,记作$\pm \sqrt[4]{81}=\pm 3$;因为$(-2)^5=-32$,所以$-2$叫作$-32$的五次方根,记作$\sqrt[5]{-32}=-2$,下列说法不正确的是 ()

A.负数$a$没有偶数次方根
B.任何有理数$a$都有奇数次方根
C.$\sqrt[2023]{a^{2023}}=a$
D.$\sqrt[2024]{a^{2024}}=a$

D 【解析】因为任何有理数的偶数次幂都是非负数,所以负数 a 没有偶数次方根,A 选项正确. 任何有理数 a 都有奇数次方根,B 选项正确.$\sqrt[2023]{a^{2023}}=a$,C 选项正确.$\sqrt[2024]{a^{2024}}=|a|$,D 选项不正确. 故选 D.

2[2026江苏南京质检,中]一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半,那么这个数是.

0 或 64 【解析】设这个数是 x,则$\sqrt[3]{x}=\frac{\sqrt{x}}{2}$. 两边同时 6 次方,得$x^2=\frac{x^3}{64}$,观察易知当 x=0 时满足方程. 当 x≠0 时,x²≠0,将方程$x^2=\frac{x^3}{64}$两边同时除以 x²得$1=\frac{x}{64}$,解得 x=64. 故答案为 0 或 64.

3[2025河北保定调研,中]观察下表,并解答下列问题.

【规律总结】
(1)根据上表,可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律:若被开方数的小数点向右(或向左)移动三位,则它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动位.
【规律应用】
(2)已知$\sqrt[3]{0.3} \approx 0.669\ 4,\sqrt[3]{3} \approx 1.442,\sqrt[3]{30} \approx 3.107.$
①填空:$\sqrt[3]{300} \approx$.
②用铁皮制作一个封闭的正方体,使它的体积为3 000立方米,则需要多大面积的铁皮?(连接处忽略不计,参考数据:$0.669\ 4^2 \approx 0.45$, $1.442^2 \approx 2.08,3.107^2 \approx 9.65$)
@刷素养 → 走向重高

(1)一
(2)①6.694
②因为正方体的体积为 3 000 立方米,所以正方体的棱长为$\sqrt[3]{3000}≈14.42$(米),所以需要铁皮的面积为 6×14.42²=6×(1.442×10)²≈6×2.08×10²=1248(平方米).

4 核心素养推理能力[较难]小明在学完立方根后研究了如下问题:如何求出-50 653 的立方根?他进行了如下步骤:
①估算:因为$10^3=1000,100^3=1000000$,所以$\sqrt[3]{50653}$是两位数;
②观察:因为$1^3=1,2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125,6^3=216,7^3=343,8^3=512,9^3=729$,所以猜想$\sqrt[3]{50653}$的个位数字是7;
③将50 653缩小为原来的$\frac{1}{1000}$后约为50.因为$3^3=27,4^3=64$,所以$\sqrt[3]{50653}$的十位数字应为3,于是猜想$\sqrt[3]{50653}=37$,经验证50 653的立方根是37;
④依据“负数的立方根是负数”得到$\sqrt[3]{-50653}=-37$,同时发现结论:若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数;反之也成立.
请你根据小明的方法和结论,完成下列各题.
(1)$\sqrt[3]{-117649}=$;
(2)若$\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt[3]{5}=0$,则$x=$;
(3)已知$\sqrt[3]{x-2}+2=x$,且$\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,求$x,y$的值.

(1)-49
(2)3
(3)因为$\sqrt[3]{x-2}+2=x$,所以$\sqrt[3]{x-2}=x-2$,所以 x-2=0 或 x-2=-1 或 x-2=1,解得 x=2 或 1 或 3. 因为$\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,所以 3y-1=2x-1,所以当 x=2 时,3y-1=3,解得$y=\frac{4}{3}$;当 x=1 时,3y-1=1,解得$y=\frac{2}{3}$;当 x=3 时,3y-1=5,解得 y=2.