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1[2026浙江杭州期中]若实数$a,b$满足$a+b=\sqrt{5}-2$，则（
A.$a,b$都是有理数
B.$a,b$都是无理数
C.$a-b$的结果必定为无理数
D.$a-b$的结果可能为有理数
D
）A.$a,b$都是有理数
B.$a,b$都是无理数
C.$a-b$的结果必定为无理数
D.$a-b$的结果可能为有理数
答案
D 【解析】若$a$和$b$都是有理数，则$a+b$应为有理数，但$\sqrt{5}-2$是无理数，故A错误；取$a=2$（有理数），则$b=\sqrt{5}-2-2=\sqrt{5}-4$（无理数），此时$a$和$b$不都是无理数，故B错误；取$a=b=\frac{\sqrt{5}-2}{2}$（无理数），则$a-b=0$（有理数），故C错误，D正确。故选D.
2[2025河南洛阳期中]计算：$|-5| + (-2)^2 + \sqrt[3]{-27} - \sqrt{(-2)^2} - 1 =$
3
.答案
3 【解析】$|-5|+(-2)^2+\sqrt[3]{-27}-\sqrt{(-2)^2}-1=5+4+(-3)-2-1=3$,故答案为 3.
3 用“*”表示一种新运算:对于任意正实数 $a * b = \sqrt{a^2 + b}$. 例如 $10 * 21 = \sqrt{10^2 + 21} = 11$, 则 $\sqrt{13} * (\sqrt{7} * 2)$ 的运算结果为
4
.答案
4 【解析】$\sqrt{7} * 2=\sqrt{(\sqrt{7})^2+2}=\sqrt{9}=3$, $\sqrt{13} * 3=\sqrt{(\sqrt{13})^2+3}=\sqrt{16}=4$,故答案为 4.
4[2026广东梅州质检]如图,小康将直径为1的圆形铁片放在数轴上,圆形铁片上的点A与数轴上的原点O重合.将圆形铁片沿着数轴向右滚动一周,点A到达点A'的位置,设点A'在数轴上表示的数为$x$,则$-\sqrt{x^2} - |-x| + x$的值为 (
A.$-2π$
B.$2π$
C.$-π$
D.$π$
C
)A.$-2π$
B.$2π$
C.$-π$
D.$π$
答案
C 【解析】由题意得,点$A$和点$A'$之间的距离为圆形铁片的周长. 易得圆形铁片的周长为$π$,所以点$A'$在数轴上表示的数是$π$,即$x=π$,所以$-\sqrt{x^2}-|-x|+x=-\sqrt{π^2}-|-π|+π=-π-π+π=-π$. 故选 C.
5[2025浙江宁波期末]计算：
(1) $\sqrt{25} + \sqrt[3]{-27} - \sqrt{(-3)^2}$；
(2) $(-2)^2 + |\sqrt{2} - \sqrt{3}| - \sqrt{3} + \sqrt[3]{-64}$；
(3) $|1 - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - \sqrt{3}| + |\sqrt{3} - 2| + |2 - \sqrt{5}|$；
(4) $2×(\sqrt{4} + \sqrt{5}) - 2×\sqrt{5} + \sqrt[3]{-8}$；
(5) $6 + 3×(\sqrt{6} - 3) - 3×(\sqrt{6} - 1)$。
(1) $\sqrt{25} + \sqrt[3]{-27} - \sqrt{(-3)^2}$；
(2) $(-2)^2 + |\sqrt{2} - \sqrt{3}| - \sqrt{3} + \sqrt[3]{-64}$；
(3) $|1 - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - \sqrt{3}| + |\sqrt{3} - 2| + |2 - \sqrt{5}|$；
(4) $2×(\sqrt{4} + \sqrt{5}) - 2×\sqrt{5} + \sqrt[3]{-8}$；
(5) $6 + 3×(\sqrt{6} - 3) - 3×(\sqrt{6} - 1)$。
答案
(1) $\sqrt{25}+\sqrt[3]{-27}-\sqrt{(-3)^2}=5+(-3)-3=-1$.
(2) $(-2)^2+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|-\sqrt{3}+\sqrt[3]{-64}=4+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-4=-\sqrt{2}$.
(3) $|1-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|+|\sqrt{3}-2|+|2-\sqrt{5}|=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\sqrt{5}-2=\sqrt{5}-1$.
(4) $2×(\sqrt{4}+\sqrt{5})-2×\sqrt{5}+\sqrt[3]{-8}=2×(2+\sqrt{5})-2×\sqrt{5}-2=4+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}-2=2$.
(5) $6+3×(\sqrt{6}-3)-3×(\sqrt{6}-1)=6+3×\sqrt{6}-9-3×\sqrt{6}+3=0$.
(2) $(-2)^2+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|-\sqrt{3}+\sqrt[3]{-64}=4+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-4=-\sqrt{2}$.
(3) $|1-\sqrt{2}|+|\sqrt{2}-\sqrt{3}|+|\sqrt{3}-2|+|2-\sqrt{5}|=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\sqrt{5}-2=\sqrt{5}-1$.
(4) $2×(\sqrt{4}+\sqrt{5})-2×\sqrt{5}+\sqrt[3]{-8}=2×(2+\sqrt{5})-2×\sqrt{5}-2=4+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}-2=2$.
(5) $6+3×(\sqrt{6}-3)-3×(\sqrt{6}-1)=6+3×\sqrt{6}-9-3×\sqrt{6}+3=0$.
6 小明利用计算器比较下列各数大小，结果如下，请问正确的有________.(填序号)
①$\sqrt[3]{11}＞\sqrt{5}$；
②$\frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
③$\sqrt{8}＞\sqrt[3]{25}$；
④$\frac{\sqrt{8}-2}{2}＜\frac{5}{6}$。
①$\sqrt[3]{11}＞\sqrt{5}$；
②$\frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
③$\sqrt{8}＞\sqrt[3]{25}$；
④$\frac{\sqrt{8}-2}{2}＜\frac{5}{6}$。
答案
②④ 【解析】
① $\sqrt[3]{11}\approx2.224,\sqrt{5}\approx2.236,\sqrt[3]{11}＜\sqrt{5}$,①错误
② $\frac{5}{8}=0.625,\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618,\frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,②正确
③ $\sqrt{8}\approx2.828,\sqrt[3]{25}\approx2.924,\sqrt{8}＜\sqrt[3]{25}$,③错误
④ $\frac{\sqrt{8}-2}{2}\approx0.414,\frac{5}{6}\approx0.833,\frac{\sqrt{8}-2}{2}＜\frac{5}{6}$,④正确
① $\sqrt[3]{11}\approx2.224,\sqrt{5}\approx2.236,\sqrt[3]{11}＜\sqrt{5}$,①错误
② $\frac{5}{8}=0.625,\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618,\frac{5}{8}＞\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,②正确
③ $\sqrt{8}\approx2.828,\sqrt[3]{25}\approx2.924,\sqrt{8}＜\sqrt[3]{25}$,③错误
④ $\frac{\sqrt{8}-2}{2}\approx0.414,\frac{5}{6}\approx0.833,\frac{\sqrt{8}-2}{2}＜\frac{5}{6}$,④正确
7 用科学计算器按如图所示的操作步骤，若输入的数值是3，则输出的值为
1.2
.(精确到0.1)答案
1.2 【解析】由题意可得输出的值为$\frac{\sqrt{3}+2}{3}\approx1.2$. 故答案为 1.2.
8[2025广东惠州质检]用计算器求下列各式的近似值(精确到0.01):
(1)$\frac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt[3]{2}-π$;
(2)$\sqrt{11}×\sqrt{2}÷\frac{1}{\sqrt{6}}$.
(1)$\frac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt[3]{2}-π$;
(2)$\sqrt{11}×\sqrt{2}÷\frac{1}{\sqrt{6}}$.
答案
(1) $\frac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt[3]{2}-π\approx-0.76$.
(2) $\sqrt{11}×\sqrt{2}÷\frac{1}{\sqrt{6}}\approx11.49$.
(2) $\sqrt{11}×\sqrt{2}÷\frac{1}{\sqrt{6}}\approx11.49$.
9 小涛家的客厅是面积为28平方米的正方形.
(1)请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是无理数？
(2)x的整数部分是多少？
(3)如果结果精确到0.1米,请估计x的值,并用计算器验证你的估计.
(1)请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是无理数？
(2)x的整数部分是多少？
(3)如果结果精确到0.1米,请估计x的值,并用计算器验证你的估计.
答案
(1)边长$x=\sqrt{28}$,是无理数.
(2)因为$25＜28＜36$,所以$5＜\sqrt{28}＜6$,所以$x$在5和6这两个相邻的整数之间,所以$x$的整数部分是5.
(3)如果结果精确到0.1米,那么$x\approx5.3$,用计算器可得$x\approx5.2915\approx5.3$.
(2)因为$25＜28＜36$,所以$5＜\sqrt{28}＜6$,所以$x$在5和6这两个相邻的整数之间,所以$x$的整数部分是5.
(3)如果结果精确到0.1米,那么$x\approx5.3$,用计算器可得$x\approx5.2915\approx5.3$.
10[2025浙江台州期中]某广场要建一个占地面积为4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能用计算器算出两种花园的围墙各有多长吗（精确到1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？
答案
当建圆形花园时,设圆的半径为$r$米,则有$π r^2=4000$,所以$r=\sqrt{\frac{4000}{π}}$(负值已舍去),则此时花园的围墙长为$2π r=2π×\sqrt{\frac{4000}{π}}\approx224$(米).
当建正方形花园时,设正方形边长为$a$米,则有$a^2=4000$,所以$a=\sqrt{4000}$(负值已舍去),则此时花园的围墙长为$4a=4×\sqrt{4000}\approx253$(米).
会选择建圆形花园. 理由:因为$253＞224$,所以建造成圆形花园时,花园的围墙长度会更短,建造成本更低,所以作为投资商,会选择建圆形花园.
当建正方形花园时,设正方形边长为$a$米,则有$a^2=4000$,所以$a=\sqrt{4000}$(负值已舍去),则此时花园的围墙长为$4a=4×\sqrt{4000}\approx253$(米).
会选择建圆形花园. 理由:因为$253＞224$,所以建造成圆形花园时,花园的围墙长度会更短,建造成本更低,所以作为投资商,会选择建圆形花园.
