8（2024苏州姑苏月考）如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB,BC,AC$相切于点$D,E,F$，已知$AB=4,AC=3,BC=5$，则$DE$的长是 （ ）
A. $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
B. $\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
C. $\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$
D. $\dfrac{4\sqrt{10}}{5}$

C

9 如图，P是$\odot O$外一点，PA，PB分别和$\odot O$相切于A，B两点，C是$\overset{\frown}{AB}$上任意一点，过点C作$\odot O$的切线分别交PA，PB于点D，E.
（1）若$△ PDE$的周长为10，则PA的长为______；
（2）连接CA，CB，若$∠ P=50°$，则$∠ BCA$的度数为______.

5
; $115^{\circ}$

10（2024 南京鼓楼模拟）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=58°$，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB,AC$分别相切于点$D,E$，连接$DE,BO$的延长线交$DE$于点$F$，则$∠ BFD=$______．

$29^{\circ}$

11（2024南京玄武月考）如图，以正方形ABCD的边AB为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边AD于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为________．

14

12 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$O$是$AB$上的一点,以点$O$为圆心,$OB$为半径的圆与$AB$交于点$E$,与$AC$交于点$D$,连接$DB$,$DE$,$OC$,$DE// OC$.
(1) 求证:$AC$是$\odot O$的切线;
(2) 若$AD=2$,$AE=1$,求$CD$的长.

​$ (1)$​证明：连接​$OD$​∵​$DE// OC，$​∴​$∠DEO=∠BOC，$​​$∠DOC=∠ODE$​∵​$∠DEO=∠ODE，$​∴​$∠BOC=∠DOC$​ 又∵​$OB = OD，$​​$OC = OC，$​∴​$\triangle BOC≌\triangle DOC(S AS)$​∴​$∠CDO=∠CBO = 90°$​​$ $​又​$OD$​是​$\odot O$​的半径，∴​$AC$​是​$\odot O$​的切线​$ (2)$​解：设​$\odot O$​的半径为​$x，$​则​$x^2+4=(x + 1)^2$​​$ $​解得​$x = 1.5$​∴​$AB = 4$​∵​$BC = CD，$​∴​$CD^2+16=(CD + 2)^2$​​$ $​解得​$CD = 3$​ ;

13 (2024 自贡)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$.
（1）图1中三组相等的线段分别是$CE=CF$，$AF=\_\_\_\_\_\_$，$BD=\_\_\_\_\_\_$；若$AC=3$，$BC=4$，则$\odot O$的半径长为______；
（2）如图2，延长$AC$到点$M$，使$AM=AB$，过点$M$作$MN⊥ AB$于点$N$.求证：$MN$是$\odot O$的切线.

$AD$ ; $BE$ ; 1
; ​$ (2)$​证明：过点​$O$​作​$OH\perp MN$​于点​$H，$​连接​$OD，$​​$OE，$​​$OF$​∵​$∠ANM = 90°=∠ACB，$​​$∠A=∠A，$​​$AM = AB$​∴​$\triangle AMN≌\triangle ABC(\mathrm {AAS})$​∴​$AN = AC$​∵​$AD = AF$​∴​$AN - AD = AC - AF，$​即​$DN = CF$​​$ $​易知​$CF = OE$​∴​$DN = OE$​∵​$∠ANM = 90°=∠ODN=∠OHN$​∴四边形​$OHND$​是矩形∴​$OH = DN$​∴​$OH = OE，$​即​$OH$​是​$\odot O$​的半径∵​$OH\perp MN$​∴​$MN$​是​$\odot O$​的切线 ;