12 (新情境)（2024 苏州工业园区月考）“秋风起，蟹脚痒”，随着大闸蟹的大量上市，某大闸蟹销售公司前三个月的月销售利润逐月增长，第1个月的销售利润为20万元，第3个月的销售利润为28.8万元. 假设从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率相同.
（1）求从第1个月到第3个月每月销售利润的平均增长率；
（2）进入第4个月，大闸蟹产量逐渐下降，第4个月的销售利润比第3个月的销售利润下降了20%，求从第1个月到第4个月的销售利润之和.

解：​$(1)$​设从第​$1$​个月到第​$3$​个月每月销售利润的平均增长率为​$x$​由题意得​$20(1 + x)^2 = 28.8$​​$1 + x = \pm 1.2$​解得​$x_{1} = 0.2 = 20\%，$​​$x_{2} = -2.2($​舍去​$)$​答：从第​$1$​个月到第​$3$​个月每月销售利润的平均增长率为​$20\%。$​​$(2)20 + 20×(1 + 20\%) + 28.8 + 28.8×(1 - 20\%)= 95.84($​万元​$)$​答：从第​$1$​个月到第​$4$​个月的销售利润之和为​$95.84$​万元。

13 我们知道,计算n边形的对角线条数公式为$\frac{1}{2}n(n-3)$.如果一个n边形共有20条对角线,那么可以得到方程$\frac{1}{2}n(n-3)=20$.解得$n=8$或$n=-5$(舍去),所以这个n边形是八边形.根据以上内容,问:
(1) 若一个多边形共有9条对角线,求这个多边形的边数;
(2) 小明说:“我求得一个n边形共有10条对角线”,你认为小明同学的说法正确吗?为什么?

解：​$(1)$​根据题意，得​$\frac {1}{2}n(n - 3) = 9$​​$ n(n - 3) = 18$​​$ n^2 - 3n - 18 = 0$​​$ (n - 6)(n + 3) = 0$​​$ $​解得​$n = 6$​或​$n = -3($​舍去​$)$​ 答：这个多边形的边数是​$6。$​​$ (2)$​小明同学的说法不正确，理由如下： 根据题意，得​$\frac {1}{2}n(n - 3) = 10，$​​$n^2 - 3n - 20 = 0$​​$ ∆= b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-20) = 9 + 80 = 89$​​$ n = \frac {3\pm \sqrt {89}}{2}$​ ∵​$n$​的值不是正整数 ∴小明同学的说法不正确

14 (易错题)“民以食为天，食以粮为先”，粮食安全事关国计民生. 为了确保粮食安全，优选品种，某农业科技公司对原有小麦进行改良种植研究，在保持种植面积不变的情况下，今年小麦平均亩产量在去年的基础上增加了$a\%$，每千克售价也在去年的基础上上涨了$2a\%$，全部售出后总收入将增加$15.5\%$.
（1）求$a$的值；
（2）如果明年的种植面积仍然不变，预计明年小麦平均亩产量将在今年的基础上增加$a\%$，每千克售价将在今年的基础上上涨$\dfrac{8}{5}a\%$，求全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分数.

解：​$(1)$​根据题意，得​$(1 + a\%)(1 + 2a\%) = 1 + 15.5\%$​整理得​$a^2+150a-775=0$​​$ $​解得​$a_{1}=5，$​​$a_{2}=-155($​不合题意，舍去) 答：​$a$​的值为​$5。$​​$ (2)(1 + 5\%)×(1 + \frac {8}{5}×5\%) - 1= 0.134 = 13.4\%$​ 答：全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分数为​$13.4\%。$​