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8. 如图，∠A = 60°，∠B = 40°，∠C = 30°，则∠D + ∠E 等于(
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
C
)A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案
8. C
解析
证明：设DC与BE交于点O，
∵∠DOE是△OBC的外角，
∴∠DOE=∠B+∠C=40°+30°=70°，
∵∠A=60°，
∴∠DOE+∠A=70°+60°=130°，
∵∠D+∠E+∠DOE=180°，
∴∠D+∠E=180°-∠DOE=180°-130°+∠A=50°。
答案：C
∵∠DOE是△OBC的外角，
∴∠DOE=∠B+∠C=40°+30°=70°，
∵∠A=60°，
∴∠DOE+∠A=70°+60°=130°，
∵∠D+∠E+∠DOE=180°，
∴∠D+∠E=180°-∠DOE=180°-130°+∠A=50°。
答案：C
9. 如图，△ABC 中，∠B = 40°，∠C = 30°，D 为边 BC 上一点，将△ADC 沿直线 AD 折叠后，点 C 落到点 E 处，若 DE//AB，则∠ADE 的度数为
$110^{\circ}$
.答案
9. $110^{\circ}$
10. 如图，在△ABC 中，∠BCD = 30°，∠ACB = 80°，CD 是边 AB 上的高，AE 是∠CAB 的平分线，则∠AEB 的度数是
$100^{\circ}$
.答案
10. $100^{\circ}$
解析
解：
∵∠ACB=80°，∠BCD=30°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=80°-30°=50°.
∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAB=180°-∠ADC-∠ACD=180°-90°-50°=40°.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=20°.
在△ABC中，∠B=180°-∠CAB-∠ACB=180°-40°-80°=60°.
在△AEB中，∠AEB=180°-∠BAE-∠B=180°-20°-60°=100°.
故∠AEB的度数是$100^{\circ}$.
∵∠ACB=80°，∠BCD=30°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=80°-30°=50°.
∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAB=180°-∠ADC-∠ACD=180°-90°-50°=40°.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=20°.
在△ABC中，∠B=180°-∠CAB-∠ACB=180°-40°-80°=60°.
在△AEB中，∠AEB=180°-∠BAE-∠B=180°-20°-60°=100°.
故∠AEB的度数是$100^{\circ}$.
11. 如图，AD 是△ABC 的高，CE 是△ACB 的角平分线，F 是 AC 的中点，∠ACB = 50°，∠BAD = 65°，求∠AEC 的度数.
答案
11. 解：$\because AD$是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ ADB = 90^{\circ}$。
$\because ∠ BAD = 65^{\circ}$，$\therefore ∠ ABD = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$。
$\because CE$是$△ ACB$的角平分线，$∠ ACB = 50^{\circ}$，
$\therefore ∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB = 25^{\circ}$，
$\therefore ∠ AEC = ∠ ABD + ∠ ECB = 25^{\circ} + 25^{\circ} = 50^{\circ}$。
$\because ∠ BAD = 65^{\circ}$，$\therefore ∠ ABD = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$。
$\because CE$是$△ ACB$的角平分线，$∠ ACB = 50^{\circ}$，
$\therefore ∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB = 25^{\circ}$，
$\therefore ∠ AEC = ∠ ABD + ∠ ECB = 25^{\circ} + 25^{\circ} = 50^{\circ}$。
12. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，P 为线段 AD 上的一个动点，PE⊥AD 交直线 BC 于点 E.
(1) 若∠B = 30°，∠ACB = 80°，求∠E 的度数；
(2) 当点 P 在线段 AD 上运动时，猜想∠E 与∠B，∠ACB 的数量关系，并证明.
(1) 若∠B = 30°，∠ACB = 80°，求∠E 的度数；
(2) 当点 P 在线段 AD 上运动时，猜想∠E 与∠B，∠ACB 的数量关系，并证明.
答案
12. 解：（1）$\because ∠ B = 30^{\circ}$，$∠ ACB = 80^{\circ}$，$\therefore ∠ BAC = 70^{\circ}$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ DAC = 35^{\circ}$，$\therefore ∠ ADC = 65^{\circ}$。
$\because PE ⊥ AD$，$\therefore ∠ E = 25^{\circ}$。
（2）$∠ E = \frac{1}{2}(∠ ACB - ∠ B)$。证明如下：
如答图，设$∠ B = n^{\circ}$，$∠ ACB = m^{\circ}$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2 = \frac{1}{2}∠ BAC$。
$\because ∠ B + ∠ ACB + ∠ BAC = 180^{\circ}$，$∠ B = n^{\circ}$，$∠ ACB = m^{\circ}$，
$\therefore ∠ BAC = (180 - n - m)^{\circ}$，
$\therefore ∠ 1 = \frac{1}{2}(180 - n - m)^{\circ}$，
$\therefore ∠ 3 = ∠ B + ∠ 1 = n^{\circ} + \frac{1}{2}(180 - n - m)^{\circ} = 90^{\circ} + \frac{1}{2}n^{\circ} - \frac{1}{2}m^{\circ}$。
$\because PE ⊥ AD$，$\therefore ∠ DPE = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ E = 90^{\circ} - (90^{\circ} + \frac{1}{2}n^{\circ} - \frac{1}{2}m^{\circ}) = \frac{1}{2}(m^{\circ} - n^{\circ}) = \frac{1}{2}(∠ ACB - ∠ B)$。
