7. 如图19-6，直线$y = \frac{1}{2}x + 1$与$x$轴交于点$A$，点$A$关于$y$轴的对称点为$A'$，经过点$A'$和$y$轴上的点$B(0,2)$的直线设为$y = kx + b$．
(1) 求点$A'$的坐标；
(2) 确定直线$A'B$对应的函数表达式．

(1)令 $y = 0$,则 $\frac{1}{2}x + 1 = 0$, $ \therefore x = - 2$, $ \therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$. $ \because$ 点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A'$, $ \therefore$ 点 $A'$ 的坐标为 $(2,0)$. (2)由题意和(1)知,直线 $A'B$ 过 $A'(2,0)$ 和 $B(0,2)$, $ \therefore \begin{cases}2k + b = 0 \\ b = 2 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = - 1 \\ b = 2 \end{cases}$ $ \therefore$ 直线 $A'B$ 对应的函数表达式为 $y = - x + 2$.

8. 如图19-7，已知直线$l_1$经过点$A(0,-1)$与点$P(2,3)$，另一条直线$l_2$经过点$P$，且与$y$轴交于点$B(0,m)$．

(1) 求直线$l_1$的解析式；
(2) 若$\triangle APB$的面积为$3$，求$m$的值．

(1)设直线 $l_1$ 的解析式为 $y = kx + b (k \neq 0)$,则 $\begin{cases}b = - 1 \\ 2k + b = 3 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$ $ \therefore$ 直线 $l_1$ 的解析式为 $y = 2x - 1$. (2)过点 $P$ 作 $PH \perp y$ 轴于点 $H$,则 $PH = 2$. $ \because S_{\triangle APB} = \frac{1}{2}AB \cdot PH = 3$, $ \therefore \frac{1}{2}AB \times 2 = 3$, $ \therefore AB = 3$. $ \because$ 点 $A$ 的坐标为 $(0, - 1)$, $ \therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(0, 2)$ 或 $(0, - 4)$, $ \therefore m$ 的值为 2 或 -4.