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1.如图是用尺规作$∠ AOB$的平分线OC的示意图，那么这样作图的依据是 （
A.SAS
B.AAS
C.SSS
D.ASA
C
）A.SAS
B.AAS
C.SSS
D.ASA
答案
1.C
解析
【分析】要确定角平分线尺规作图的依据，需先梳理作图步骤对应的边的等量关系：首先以O为圆心画弧得到OD=OE，再分别以D、E为圆心画等半径弧得到DC=EC，OC为公共边，可通过三边对应相等证三角形全等，进而得到角相等，对应全等判定定理即可得出答案。
【解析】连接CD、CE，由尺规作图的步骤可知：
1. 以O为圆心画弧时，OD和OE是同圆的半径，故$OD=OE$；
2. 分别以D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长度为半径画弧时，CD和CE是等圆的半径，故$CD=CE$；
3. OC是$△ ODC$和$△ OEC$的公共边，即$OC=OC$。
因此$△ ODC$和$△ OEC$三边对应相等，可通过SSS判定两三角形全等，对应角$∠ DOC=∠ EOC$，即OC平分$∠ AOB$，故作图依据为SSS。
【答案】C
【知识点】尺规作角平分线；全等三角形的判定
【点评】本题属于基础题，主要考查角平分线尺规作图的原理，解题核心是从作图操作中提取相等的线段，结合全等三角形判定定理分析即可。
【难度系数】0.8
【解析】连接CD、CE，由尺规作图的步骤可知：
1. 以O为圆心画弧时，OD和OE是同圆的半径，故$OD=OE$；
2. 分别以D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长度为半径画弧时，CD和CE是等圆的半径，故$CD=CE$；
3. OC是$△ ODC$和$△ OEC$的公共边，即$OC=OC$。
因此$△ ODC$和$△ OEC$三边对应相等，可通过SSS判定两三角形全等，对应角$∠ DOC=∠ EOC$，即OC平分$∠ AOB$，故作图依据为SSS。
【答案】C
【知识点】尺规作角平分线；全等三角形的判定
【点评】本题属于基础题，主要考查角平分线尺规作图的原理，解题核心是从作图操作中提取相等的线段，结合全等三角形判定定理分析即可。
【难度系数】0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$BA=BC$，$∠ B=80°$，观察图中尺规作图的痕迹，则$∠ DCE$的度数为（
A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
B
）A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件BA=BC入手，可判断△ABC为等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，先计算出∠ACB的度数；再观察尺规作图的痕迹，识别出CE是∠ACD的角平分线；最后根据邻补角的性质求出∠ACD的度数，利用角平分线的定义即可求出∠DCE的度数。
【解析】
1. 计算∠ACB的度数：
∵ $ BA=BC $，$ ∠ B=80° $，
∴ $ △ ABC $ 是等腰三角形，$ ∠ A=∠ ACB $。
根据三角形内角和为 $ 180° $，得：
$ ∠ ACB=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50° $。
2. 计算∠ACD的度数：
∵ 点B、C、D共线，$ ∠ ACB $ 和 $ ∠ ACD $ 是邻补角，
∴ $ ∠ ACD=180°-∠ ACB=180°-50°=130° $。
3. 计算∠DCE的度数：
由尺规作图痕迹可知，CE是$ ∠ ACD $的角平分线，
∴ $ ∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×130°=65° $。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和、角平分线作图
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是准确识别角平分线的尺规作图痕迹，结合等腰三角形角度计算的相关知识即可求解，注重对基础知识和识图能力的考察。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件BA=BC入手，可判断△ABC为等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，先计算出∠ACB的度数；再观察尺规作图的痕迹，识别出CE是∠ACD的角平分线；最后根据邻补角的性质求出∠ACD的度数，利用角平分线的定义即可求出∠DCE的度数。
【解析】
1. 计算∠ACB的度数：
∵ $ BA=BC $，$ ∠ B=80° $，
∴ $ △ ABC $ 是等腰三角形，$ ∠ A=∠ ACB $。
根据三角形内角和为 $ 180° $，得：
$ ∠ ACB=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50° $。
2. 计算∠ACD的度数：
∵ 点B、C、D共线，$ ∠ ACB $ 和 $ ∠ ACD $ 是邻补角，
∴ $ ∠ ACD=180°-∠ ACB=180°-50°=130° $。
3. 计算∠DCE的度数：
由尺规作图痕迹可知，CE是$ ∠ ACD $的角平分线，
∴ $ ∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×130°=65° $。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和、角平分线作图
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是准确识别角平分线的尺规作图痕迹，结合等腰三角形角度计算的相关知识即可求解，注重对基础知识和识图能力的考察。
【难度系数】
0.7
3.如图,已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分∠AOB.①作射线OC;②在OA和OB上,分别截取OD,OE,使OD=OE;③分别以D,E为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,在∠AOB内,两弧交于点C.作法合理的顺序是
②③①
.(填序号)答案
3.②③①
解析
【分析】
要确定作角平分线的合理步骤，需结合尺规作角平分线的逻辑梳理：首先要在角的两条边上确定两个到顶点距离相等的点，才能后续通过作弧找到到这两个点距离相等的交点，最后连接顶点和交点得到角平分线。第一步需先在OA、OB上截取等长线段OD、OE，对应步骤②；第二步作弧得到到D、E距离相等的交点C，对应步骤③；最后作射线OC得到角平分线，对应步骤①，即可推出正确顺序。
【解析】
尺规作角平分线的正确操作顺序如下：
1. 首先在∠AOB的两边OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE，即先执行步骤②；
2. 接下来分别以D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，在∠AOB内两弧交于点C，即执行步骤③；
3. 最后作射线OC，此时OC就是∠AOB的角平分线，对应步骤①。
因此作法合理的顺序为②③①。
【答案】
②③①
【知识点】
尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线的尺规作图步骤，牢记作图的操作流程即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定作角平分线的合理步骤，需结合尺规作角平分线的逻辑梳理：首先要在角的两条边上确定两个到顶点距离相等的点，才能后续通过作弧找到到这两个点距离相等的交点，最后连接顶点和交点得到角平分线。第一步需先在OA、OB上截取等长线段OD、OE，对应步骤②；第二步作弧得到到D、E距离相等的交点C，对应步骤③；最后作射线OC得到角平分线，对应步骤①，即可推出正确顺序。
【解析】
尺规作角平分线的正确操作顺序如下：
1. 首先在∠AOB的两边OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE，即先执行步骤②；
2. 接下来分别以D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧，在∠AOB内两弧交于点C，即执行步骤③；
3. 最后作射线OC，此时OC就是∠AOB的角平分线，对应步骤①。
因此作法合理的顺序为②③①。
【答案】
②③①
【知识点】
尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线的尺规作图步骤，牢记作图的操作流程即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 尺规作图.
(1)如图1,画出直线MN的垂线PQ;
(2)如图2,画出△ABC的边BC上的高AD.
(1)如图1,画出直线MN的垂线PQ;
(2)如图2,画出△ABC的边BC上的高AD.
答案
4. 解:(1)(2)如图所示，作图结果见
、
。解析
【分析】
本题考查尺规作垂线的基本操作，(1)是过直线MN上的点P作MN的垂线，需用到过直线上一点作已知直线垂线的尺规作图方法；(2)是过直线BC外的点A作BC所在直线的垂线，也就是△ABC的高，用到过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图方法，两种作图核心都是利用“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的原理确定垂线的另一个点，按照对应步骤操作即可完成作图。
【解析】
(1) 作直线MN的垂线PQ步骤：
① 以点P为圆心，取任意长为半径画弧，与直线MN交于左右两个交点；
② 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点距离$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在MN上下方各交于1点，过这两个交点作直线PQ，PQ就是所求的MN的垂线。
(2) 作△ABC边BC上的高AD步骤：
① 若需要则先延长BC，以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，与BC所在直线交于两个点；
② 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点距离$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在BC下方交于1点；
③ 连接点A与该交点，连线交BC所在直线于点D，AD就是所求的BC边上的高。
【答案】
(1)(2)如图所示，作图结果见、。
【知识点】
尺规作垂线，三角形的高
【点评】
本题属于基础作图题，考查尺规作垂线的基本技能，掌握过直线上、直线外一点作已知直线垂线的操作步骤即可正确解题，是后续复杂尺规作图的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查尺规作垂线的基本操作，(1)是过直线MN上的点P作MN的垂线，需用到过直线上一点作已知直线垂线的尺规作图方法；(2)是过直线BC外的点A作BC所在直线的垂线，也就是△ABC的高，用到过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图方法，两种作图核心都是利用“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的原理确定垂线的另一个点，按照对应步骤操作即可完成作图。
【解析】
(1) 作直线MN的垂线PQ步骤：
① 以点P为圆心，取任意长为半径画弧，与直线MN交于左右两个交点；
② 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点距离$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在MN上下方各交于1点，过这两个交点作直线PQ，PQ就是所求的MN的垂线。
(2) 作△ABC边BC上的高AD步骤：
① 若需要则先延长BC，以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，与BC所在直线交于两个点；
② 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点距离$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在BC下方交于1点；
③ 连接点A与该交点，连线交BC所在直线于点D，AD就是所求的BC边上的高。
【答案】
(1)(2)如图所示，作图结果见
、。【知识点】
尺规作垂线，三角形的高
【点评】
本题属于基础作图题，考查尺规作垂线的基本技能，掌握过直线上、直线外一点作已知直线垂线的操作步骤即可正确解题，是后续复杂尺规作图的基础。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以点B为圆心,BC长为半径作弧,交AC于不同于点C的另一点D,连接BD;再分别以点C,D为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线BE交AC于点F.若$∠ A=40°$,则$∠ DBF$的度数为 (
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
A
)A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先△ABC是等腰三角形，已知顶角可先求出底角∠C的度数；其次由作图可知BD=BC，即△BDC也是等腰三角形，可求出∠CBD的度数；最后识别题中尺规作图是作∠CBD的角平分线，角平分线将角分为两个相等的小角，由此即可求出∠DBF的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，$AB=AC$，$∠ A=40°$，根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
2. 由作图可知，BD是以B为圆心、BC长为半径的弧与AC的交点，故$BD=BC$，因此△BDC为等腰三角形，可得：
$∠ BDC=∠ C=70°$
在△BDC中，根据三角形内角和：
$∠ CBD=180°-∠ BDC-∠ C=180°-70°-70°=40°$
3. 题中“分别以点C,D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE”是角平分线的尺规作图方法，因此BE平分$∠ CBD$，即：
$∠ DBF=\frac{1}{2}∠ CBD=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的尺规作图，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题的关键是正确识别尺规作图的类型，再结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理逐步推导角度即可。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：首先△ABC是等腰三角形，已知顶角可先求出底角∠C的度数；其次由作图可知BD=BC，即△BDC也是等腰三角形，可求出∠CBD的度数；最后识别题中尺规作图是作∠CBD的角平分线，角平分线将角分为两个相等的小角，由此即可求出∠DBF的度数。
【解析】
1. 在△ABC中，$AB=AC$，$∠ A=40°$，根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
2. 由作图可知，BD是以B为圆心、BC长为半径的弧与AC的交点，故$BD=BC$，因此△BDC为等腰三角形，可得：
$∠ BDC=∠ C=70°$
在△BDC中，根据三角形内角和：
$∠ CBD=180°-∠ BDC-∠ C=180°-70°-70°=40°$
3. 题中“分别以点C,D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE”是角平分线的尺规作图方法，因此BE平分$∠ CBD$，即：
$∠ DBF=\frac{1}{2}∠ CBD=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的尺规作图，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题的关键是正确识别尺规作图的类型，再结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理逐步推导角度即可。
【难度系数】
0.7
6.如图，已知$△ ABC$.
(1)求作$∠ BAC$的平分线$AP$；
(2)求作$BC$边的垂直平分线$MN$，与$BC$交于点$D$，与射线$AP$交于点$E$；
(3)过点$E$作$EG ⊥ AB$于点$G$，过点$E$作$EF ⊥ AC$的延长线于点$F$.求证：$BG=CF$.
(1)求作$∠ BAC$的平分线$AP$；
(2)求作$BC$边的垂直平分线$MN$，与$BC$交于点$D$，与射线$AP$交于点$E$；
(3)过点$E$作$EG ⊥ AB$于点$G$，过点$E$作$EF ⊥ AC$的延长线于点$F$.求证：$BG=CF$.
答案
6.（1）解:如图
，射线AP即为所求；（2）如图，直线MN、点E、点D即为所求；（3）连接EB，EC.∵ AE 平分∠BAC，EG ⊥ AB，EF ⊥ AC.
∴ ∠EAG = ∠EAF，∠AGE=∠AFE=90°.
∴ △AGE≌△AFE,(AAS)
∴ EG = EF.
∵ MN垂直平分线段BC，
∴ EB=EC. 在Rt△EGB和Rt△EFC中，
$\begin{cases} EB=EC, \\ EG=EF, \end{cases}$
∴ Rt△EGB≌Rt△EFC，(HL),
∴ BG=CF.
解析
【分析】
(1) 作∠BAC的平分线需遵循角平分线的尺规作图规则，以A为圆心画弧截AB、AC得两个交点，再以两交点为圆心画弧取交点，连线即可得到AP。
(2) 作BC的垂直平分线，需分别以B、C为圆心画弧取上下两个交点，连线得到MN，再确定MN与BC的交点D、与AP的交点E即可。
(3) 要证明BG=CF，观察可知两条线段分别在Rt△EGB和Rt△EFC中，因此优先考虑证明这两个直角三角形全等：首先利用角平分线的性质可得EG=EF，再利用线段垂直平分线的性质可得EB=EC，最后用HL判定即可证明两个直角三角形全等，从而得到对应边相等。
【解析】
(1) 角平分线AP作法：①以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两个点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于一点；③过点A和该交点作射线AP，即为所求角平分线。
(2) BC垂直平分线MN作法：①分别以点B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧在BC两侧各交于一个点；②过两个交点作直线MN，MN与BC的交点即为D，与射线AP的交点即为E。
(3) 证明：连接EB、EC。
∵ AE平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC，
∴ ∠EAG=∠EAF，∠AGE=∠AFE=90°，
在△AGE和△AFE中：
$\begin{cases}∠AGE=∠AFE \\∠EAG=∠EAF \\AE=AE\end{cases}$
∴ △AGE≌△AFE（AAS），
∴ EG=EF。
∵ MN是BC的垂直平分线，
∴ 点E在MN上，故EB=EC。
在Rt△EGB和Rt△EFC中：
$\begin{cases}EB=EC \\EG=EF\end{cases}$
∴ Rt△EGB≌Rt△EFC（HL），
∴ BG=CF。
【答案】
6.（1）解:如图，射线AP即为所求；（2）如图，直线MN、点E、点D即为所求；（3）连接EB，EC.
∵ AE 平分∠BAC，EG ⊥ AB，EF ⊥ AC.
∴ ∠EAG = ∠EAF，∠AGE=∠AFE=90°.
∴ △AGE≌△AFE,(AAS)
∴ EG = EF.
∵ MN垂直平分线段BC，
∴ EB=EC. 在Rt△EGB和Rt△EFC中，
$\begin{cases} EB=EC, \\ EG=EF, \end{cases}$
∴ Rt△EGB≌Rt△EFC，(HL),
∴ BG=CF.
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合了尺规作图和几何证明，既考查了基本作图的操作规范，又考查了核心几何性质的应用，通过证明直角三角形全等来推导线段相等是几何的常用思路，需熟练掌握相关性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
(1) 作∠BAC的平分线需遵循角平分线的尺规作图规则，以A为圆心画弧截AB、AC得两个交点，再以两交点为圆心画弧取交点，连线即可得到AP。
(2) 作BC的垂直平分线，需分别以B、C为圆心画弧取上下两个交点，连线得到MN，再确定MN与BC的交点D、与AP的交点E即可。
(3) 要证明BG=CF，观察可知两条线段分别在Rt△EGB和Rt△EFC中，因此优先考虑证明这两个直角三角形全等：首先利用角平分线的性质可得EG=EF，再利用线段垂直平分线的性质可得EB=EC，最后用HL判定即可证明两个直角三角形全等，从而得到对应边相等。
【解析】
(1) 角平分线AP作法：①以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两个点；②分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于一点；③过点A和该交点作射线AP，即为所求角平分线。
(2) BC垂直平分线MN作法：①分别以点B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧在BC两侧各交于一个点；②过两个交点作直线MN，MN与BC的交点即为D，与射线AP的交点即为E。
(3) 证明：连接EB、EC。
∵ AE平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC，
∴ ∠EAG=∠EAF，∠AGE=∠AFE=90°，
在△AGE和△AFE中：
$\begin{cases}∠AGE=∠AFE \\∠EAG=∠EAF \\AE=AE\end{cases}$
∴ △AGE≌△AFE（AAS），
∴ EG=EF。
∵ MN是BC的垂直平分线，
∴ 点E在MN上，故EB=EC。
在Rt△EGB和Rt△EFC中：
$\begin{cases}EB=EC \\EG=EF\end{cases}$
∴ Rt△EGB≌Rt△EFC（HL），
∴ BG=CF。
【答案】
6.（1）解:如图
，射线AP即为所求；（2）如图，直线MN、点E、点D即为所求；（3）连接EB，EC.∵ AE 平分∠BAC，EG ⊥ AB，EF ⊥ AC.
∴ ∠EAG = ∠EAF，∠AGE=∠AFE=90°.
∴ △AGE≌△AFE,(AAS)
∴ EG = EF.
∵ MN垂直平分线段BC，
∴ EB=EC. 在Rt△EGB和Rt△EFC中，
$\begin{cases} EB=EC, \\ EG=EF, \end{cases}$
∴ Rt△EGB≌Rt△EFC，(HL),
∴ BG=CF.
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合了尺规作图和几何证明，既考查了基本作图的操作规范，又考查了核心几何性质的应用，通过证明直角三角形全等来推导线段相等是几何的常用思路，需熟练掌握相关性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
