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1. 如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4 m处跳起投篮，球的轨迹是抛物线. 球运行的水平距离为2.5 m时达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮圈. 若已知篮圈中心到地面的距离是3.05 m，则此时抛物线的表达式是（
A.$y=-2x^2+4$；
B.$y=-0.2x^2+3.05$；
C.$y=-0.2x^2+3.5$；
D.$y=-0.2x^2+2.5$。
C
）A.$y=-2x^2+4$；
B.$y=-0.2x^2+3.05$；
C.$y=-0.2x^2+3.5$；
D.$y=-0.2x^2+2.5$。
答案
1. C.
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图像可知抛物线的顶点在y轴上，坐标为(0,3.5)，因此优先选择顶点式设抛物线的解析式，可简化计算；其次找到抛物线上另一个已知点即篮圈中心的坐标，代入所设解析式求出未知系数，即可得到抛物线表达式，也可结合选项特征快速排除错误答案。
【解析】
解：由题意得抛物线的顶点坐标为$(0,3.5)$，因此设抛物线的解析式为$y=ax^2+3.5$（$a≠0$）。
篮圈中心距小张水平距离为4m，小张位于原点左侧2.5m处，因此篮圈中心的横坐标为$4-2.5=1.5$，纵坐标为篮圈高度3.05m，即篮圈中心坐标为$(1.5,3.05)$，且该点在抛物线上。
将$(1.5,3.05)$代入解析式得：
$3.05=a×1.5^2+3.5$
计算得：$2.25a=3.05-3.5=-0.45$
解得：$a=-0.2$
因此抛物线的表达式为$y=-0.2x^2+3.5$。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是准确定位顶点坐标和抛物线上已知点的坐标，选择合适的解析式形式可以大幅降低计算量，也可通过顶点纵坐标直接排除不符合的选项，提升解题速度。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图像可知抛物线的顶点在y轴上，坐标为(0,3.5)，因此优先选择顶点式设抛物线的解析式，可简化计算；其次找到抛物线上另一个已知点即篮圈中心的坐标，代入所设解析式求出未知系数，即可得到抛物线表达式，也可结合选项特征快速排除错误答案。
【解析】
解：由题意得抛物线的顶点坐标为$(0,3.5)$，因此设抛物线的解析式为$y=ax^2+3.5$（$a≠0$）。
篮圈中心距小张水平距离为4m，小张位于原点左侧2.5m处，因此篮圈中心的横坐标为$4-2.5=1.5$，纵坐标为篮圈高度3.05m，即篮圈中心坐标为$(1.5,3.05)$，且该点在抛物线上。
将$(1.5,3.05)$代入解析式得：
$3.05=a×1.5^2+3.5$
计算得：$2.25a=3.05-3.5=-0.45$
解得：$a=-0.2$
因此抛物线的表达式为$y=-0.2x^2+3.5$。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是准确定位顶点坐标和抛物线上已知点的坐标，选择合适的解析式形式可以大幅降低计算量，也可通过顶点纵坐标直接排除不符合的选项，提升解题速度。
【难度系数】
0.7
2. 若用12 m长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积(木条宽度和损耗忽略不计)为 （
A.$36\ \mathrm{m}^2$；
B.$24\ \mathrm{m}^2$；
C.$16\ \mathrm{m}^2$；
D.$6\ \mathrm{m}^2$。
D
）A.$36\ \mathrm{m}^2$；
B.$24\ \mathrm{m}^2$；
C.$16\ \mathrm{m}^2$；
D.$6\ \mathrm{m}^2$。
答案
2. D.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解实际问题最大值的题目，解题思路如下：首先观察“日”字形窗框的结构，可知窗框包含3条水平边、2条竖直边；其次合理设未知数，用含未知数的代数式表示出另一组边的长度，结合矩形面积公式写出面积关于未知数的二次函数关系式；最后利用二次函数的性质，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，计算顶点纵坐标即为最大透光面积。
【解析】
设窗框的水平边长为$ x \, \mathrm{m} $，已知木条总长度为12m，3条水平边总长度为$ 3x \, \mathrm{m} $，则2条竖直边的总长度为$ (12-3x) \, \mathrm{m} $，因此每条竖直边长为$ \frac{12-3x}{2} \, \mathrm{m} $。
设窗户透光面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x · \frac{12-3x}{2}\\&= -\frac{3}{2}x^2 +6x\end{aligned}$
该二次函数的二次项系数$ a=-\frac{3}{2}＜0 $，图象开口向下，函数存在最大值。当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-\frac{3}{2})}=2 $时，$ S $取最大值，代入计算得：
$ S_{\mathrm{max}}=-\frac{3}{2}×2^2 +6×2=6 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；实际问题列函数式
【点评】
本题结合生活场景考察二次函数的应用，解题关键是准确梳理窗框边长的数量关系，正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，解题时需注意未知数的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解实际问题最大值的题目，解题思路如下：首先观察“日”字形窗框的结构，可知窗框包含3条水平边、2条竖直边；其次合理设未知数，用含未知数的代数式表示出另一组边的长度，结合矩形面积公式写出面积关于未知数的二次函数关系式；最后利用二次函数的性质，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，计算顶点纵坐标即为最大透光面积。
【解析】
设窗框的水平边长为$ x \, \mathrm{m} $，已知木条总长度为12m，3条水平边总长度为$ 3x \, \mathrm{m} $，则2条竖直边的总长度为$ (12-3x) \, \mathrm{m} $，因此每条竖直边长为$ \frac{12-3x}{2} \, \mathrm{m} $。
设窗户透光面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x · \frac{12-3x}{2}\\&= -\frac{3}{2}x^2 +6x\end{aligned}$
该二次函数的二次项系数$ a=-\frac{3}{2}＜0 $，图象开口向下，函数存在最大值。当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-\frac{3}{2})}=2 $时，$ S $取最大值，代入计算得：
$ S_{\mathrm{max}}=-\frac{3}{2}×2^2 +6×2=6 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；实际问题列函数式
【点评】
本题结合生活场景考察二次函数的应用，解题关键是准确梳理窗框边长的数量关系，正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数性质求解最值，解题时需注意未知数的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3. 某旅行社组织某地二日游. 如果预订人数为10人，那么每人收费400元. 如果增加人数，那么每增加1人，每人需少收20元. 增加多少人可以使旅行社收入最多？
（
A.5；
B.4；
C.3；
D.2.
（
A
）A.5；
B.4；
C.3；
D.2.
答案
3. A.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：第一步，设变量，将增加的人数设为自变量x，旅行社总收入设为因变量y；第二步，根据题意分别写出增加人数后的总人数、人均收费的表达式；第三步，依据“总收入=总人数×人均收费”的等量关系列出y关于x的二次函数解析式；第四步，结合二次函数的性质，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，利用顶点横坐标公式求出对应x的值即可得到答案。
【解析】
设增加x人时，旅行社的收入为y元。
增加x人后，总人数为$(10+x)$人，每增加1人每人少收20元，因此人均收费为$(400-20x)$元。
根据总收入的计算公式可得：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(400-20x)\\&=-20x^2+200x+4000\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中$a=-20＜0$，因此抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值。
代入$a=-20$，$b=200$得：
$x=-\frac{200}{2×(-20)}=5$
即增加5人时旅行社收入最多。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是准确梳理数量关系，正确列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，是各类考试中的常见题型。
【难度系数】
0.75
这是一道利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：第一步，设变量，将增加的人数设为自变量x，旅行社总收入设为因变量y；第二步，根据题意分别写出增加人数后的总人数、人均收费的表达式；第三步，依据“总收入=总人数×人均收费”的等量关系列出y关于x的二次函数解析式；第四步，结合二次函数的性质，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，利用顶点横坐标公式求出对应x的值即可得到答案。
【解析】
设增加x人时，旅行社的收入为y元。
增加x人后，总人数为$(10+x)$人，每增加1人每人少收20元，因此人均收费为$(400-20x)$元。
根据总收入的计算公式可得：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(400-20x)\\&=-20x^2+200x+4000\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中$a=-20＜0$，因此抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值。
代入$a=-20$，$b=200$得：
$x=-\frac{200}{2×(-20)}=5$
即增加5人时旅行社收入最多。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是准确梳理数量关系，正确列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，是各类考试中的常见题型。
【难度系数】
0.75
二、填空题
4. 酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快. 研究发现酶的活性与温度有密切关系. 已知某种酶在一定温度范围内，其活性$y$(单位：U)关于温度$x$(单位：$°C$)有函数表达式$y=-\frac{1}{2}x^2 +25x +1000$. 若要使其催化反应最快，则温度应保持在
4. 酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快. 研究发现酶的活性与温度有密切关系. 已知某种酶在一定温度范围内，其活性$y$(单位：U)关于温度$x$(单位：$°C$)有函数表达式$y=-\frac{1}{2}x^2 +25x +1000$. 若要使其催化反应最快，则温度应保持在
25
$°C$.答案
4. 25.
解析
【分析】
要使催化反应最快，就是让酶的活性$y$取得最大值。题目给出的$y$关于$x$的函数是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处的函数值就是最大值，因此只需要计算二次函数顶点对应的横坐标，即可得到对应的最优温度。
【解析】
已知酶活性的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2 +25x +1000$，其中二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以该抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取最值。
本题中$b=25$，代入公式计算得：
$x=-\frac{25}{2×(-\frac{1}{2})}=25$
即温度为25℃时，酶活性最高，催化反应最快。
【答案】
25
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值应用
【点评】
本题结合生物场景考查二次函数的实际应用，解题关键是把“求最快反应温度”的实际问题转化为“求二次函数取最大值时的自变量取值”的数学问题，掌握二次函数最值的计算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要使催化反应最快，就是让酶的活性$y$取得最大值。题目给出的$y$关于$x$的函数是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处的函数值就是最大值，因此只需要计算二次函数顶点对应的横坐标，即可得到对应的最优温度。
【解析】
已知酶活性的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2 +25x +1000$，其中二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以该抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数取最值。
本题中$b=25$，代入公式计算得：
$x=-\frac{25}{2×(-\frac{1}{2})}=25$
即温度为25℃时，酶活性最高，催化反应最快。
【答案】
25
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值应用
【点评】
本题结合生物场景考查二次函数的实际应用，解题关键是把“求最快反应温度”的实际问题转化为“求二次函数取最大值时的自变量取值”的数学问题，掌握二次函数最值的计算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
