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6.随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用.经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，则一架无人机平均每小时喷洒农药 （
A.32亩
B.45亩
C.60亩
D.75亩
C
）A.32亩
B.45亩
C.60亩
D.75亩
答案
6.C
解析
【分析】
本题属于分式方程的工程类应用问题，解题核心是抓住“无人机喷洒比人工喷洒节约13小时”这一时间差等量关系。首先可设人工每小时喷洒的亩数为未知数，根据效率的倍数关系表示出无人机的喷洒效率，再结合“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示两种方式的工作时间，依据时间差列分式方程求解即可，注意分式方程需要验根。
【解析】
解：设一个人平均每小时喷洒农药$x$亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药$7.5x$亩。
根据题意列方程得：
$\frac{120}{x}-\frac{120}{7.5x}=13$
整理方程左边得：$\frac{120}{x}-\frac{16}{x}=13$，即$\frac{104}{x}=13$
解得：$x=8$
检验：当$x=8$时，$7.5x=60≠0$，因此$x=8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则无人机每小时喷洒农药的亩数为$7.5×8=60$（亩）
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、工程问题计算
【点评】
本题是分式方程实际应用的典型题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程，求解后要注意双重验证，既要验证所得根是否为原分式方程的根，也要验证是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
本题属于分式方程的工程类应用问题，解题核心是抓住“无人机喷洒比人工喷洒节约13小时”这一时间差等量关系。首先可设人工每小时喷洒的亩数为未知数，根据效率的倍数关系表示出无人机的喷洒效率，再结合“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示两种方式的工作时间，依据时间差列分式方程求解即可，注意分式方程需要验根。
【解析】
解：设一个人平均每小时喷洒农药$x$亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药$7.5x$亩。
根据题意列方程得：
$\frac{120}{x}-\frac{120}{7.5x}=13$
整理方程左边得：$\frac{120}{x}-\frac{16}{x}=13$，即$\frac{104}{x}=13$
解得：$x=8$
检验：当$x=8$时，$7.5x=60≠0$，因此$x=8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则无人机每小时喷洒农药的亩数为$7.5×8=60$（亩）
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、工程问题计算
【点评】
本题是分式方程实际应用的典型题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系列方程，求解后要注意双重验证，既要验证所得根是否为原分式方程的根，也要验证是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
7.某玩具商店为了儿童节提前储备货物，用3000元购进一批儿童玩具，接着又用5400元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元，则第一批玩具每套的进价是
50
元。答案
7.50
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题首先要找准核心等量关系：第二批购进的玩具数量=第一批购进玩具数量×1.5。我们可以先设第一批玩具每套的进价为x元，那么第二批每套进价就是（x+10）元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两批玩具的购进数量，代入等量关系列出分式方程求解即可，最后注意要检验解是否符合分式方程要求和实际意义。
【解析】
解：设第一批玩具每套的进价是x元，则第二批玩具每套的进价是（x+10）元。
根据题意，第二批所购数量是第一批的1.5倍，可列方程：
$1.5×\frac{3000}{x}=\frac{5400}{x+10}$
化简方程左边得：$\frac{4500}{x}=\frac{5400}{x+10}$
交叉相乘去分母得：$4500(x+10)=5400x$
展开得：$4500x + 45000 = 5400x$
移项合并同类项得：$900x = 45000$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，原方程分母$x=50≠0$，$x+10=60≠0$，且进价为正数符合实际意义，所以$x=50$是原方程的解。
【答案】
50
【知识点】
分式方程的应用、分式方程求解、实际问题检验
【点评】
本题是分式方程在购物问题中的典型应用，解题核心是结合“总价、单价、数量”三者的关系找到正确的等量关系列方程，求解后要注意对分式方程的根进行双重检验，既要保证根是原方程的解，也要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题首先要找准核心等量关系：第二批购进的玩具数量=第一批购进玩具数量×1.5。我们可以先设第一批玩具每套的进价为x元，那么第二批每套进价就是（x+10）元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两批玩具的购进数量，代入等量关系列出分式方程求解即可，最后注意要检验解是否符合分式方程要求和实际意义。
【解析】
解：设第一批玩具每套的进价是x元，则第二批玩具每套的进价是（x+10）元。
根据题意，第二批所购数量是第一批的1.5倍，可列方程：
$1.5×\frac{3000}{x}=\frac{5400}{x+10}$
化简方程左边得：$\frac{4500}{x}=\frac{5400}{x+10}$
交叉相乘去分母得：$4500(x+10)=5400x$
展开得：$4500x + 45000 = 5400x$
移项合并同类项得：$900x = 45000$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，原方程分母$x=50≠0$，$x+10=60≠0$，且进价为正数符合实际意义，所以$x=50$是原方程的解。
【答案】
50
【知识点】
分式方程的应用、分式方程求解、实际问题检验
【点评】
本题是分式方程在购物问题中的典型应用，解题核心是结合“总价、单价、数量”三者的关系找到正确的等量关系列方程，求解后要注意对分式方程的根进行双重检验，既要保证根是原方程的解，也要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
8.甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4 000 m.甲、乙两人同时从家出发去科技馆,甲同学先步行800 m,然后乘公交车,乙同学骑自行车.已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍,公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍,结果甲同学比乙同学晚到2.5 min.求乙到达科技馆时,甲离科技馆还有多远.
答案
8. 解:设甲步行的速度为 x m/min,则乙骑自行车的速度为 4x m/min,公交车的速度是 8x m/min.
由题意,得$\frac{4\ 000}{4x}+2.5=\frac{800}{x}+\frac{4\ 000-800}{8x}$.
解得 $x=80$.
经检验,$x=80$ 是分式方程的解,且符合题意.
则 $2.5×8x=1\ 600$.
答:乙到达科技馆时,甲离科技馆还有 1 600 m.
由题意,得$\frac{4\ 000}{4x}+2.5=\frac{800}{x}+\frac{4\ 000-800}{8x}$.
解得 $x=80$.
经检验,$x=80$ 是分式方程的解,且符合题意.
则 $2.5×8x=1\ 600$.
答:乙到达科技馆时,甲离科技馆还有 1 600 m.
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度，题目给出了三个速度的倍比关系，选择最小量甲步行的速度设为未知数，即可用含未知数的式子表示出乙的骑行速度和公交车速度，简化计算。2. 找准等量关系：甲走完全程的总时间=乙走完全程的时间+甲晚到的2.5min，据此列分式方程。3. 解出未知数后必须检验，既要确认是分式方程的根，也要符合实际意义。4. 乙到达科技馆时甲还剩2.5min路程，此时甲乘坐公交车，剩余路程=公交车速度×2.5min，直接计算即可得到结果。
【解析】
解：设甲步行的速度为$x$ m/min，则乙骑自行车的速度为$4x$ m/min，公交车的速度是$8x$ m/min。
由题意得：
$\frac{4\ 000}{4x}+2.5=\frac{800}{x}+\frac{4\ 000-800}{8x}$
去分母、整理计算后解得 $x=80$。
经检验，$x=80$ 是原分式方程的解，且符合实际意义。
乙到达科技馆时，甲剩余的路程为公交车2.5min行驶的路程：
$2.5×8x=2.5×8×80=1\ 600$（m）
【答案】
乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1 600 m
【知识点】
分式方程的应用、行程问题等量关系、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程结合行程问题的典型应用题，解题关键是合理根据速度倍比关系设未知数，准确抓取时间的等量关系列方程，要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，最后计算剩余路程时可直接利用晚到时间求解，简化运算。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度，题目给出了三个速度的倍比关系，选择最小量甲步行的速度设为未知数，即可用含未知数的式子表示出乙的骑行速度和公交车速度，简化计算。2. 找准等量关系：甲走完全程的总时间=乙走完全程的时间+甲晚到的2.5min，据此列分式方程。3. 解出未知数后必须检验，既要确认是分式方程的根，也要符合实际意义。4. 乙到达科技馆时甲还剩2.5min路程，此时甲乘坐公交车，剩余路程=公交车速度×2.5min，直接计算即可得到结果。
【解析】
解：设甲步行的速度为$x$ m/min，则乙骑自行车的速度为$4x$ m/min，公交车的速度是$8x$ m/min。
由题意得：
$\frac{4\ 000}{4x}+2.5=\frac{800}{x}+\frac{4\ 000-800}{8x}$
去分母、整理计算后解得 $x=80$。
经检验，$x=80$ 是原分式方程的解，且符合实际意义。
乙到达科技馆时，甲剩余的路程为公交车2.5min行驶的路程：
$2.5×8x=2.5×8×80=1\ 600$（m）
【答案】
乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1 600 m
【知识点】
分式方程的应用、行程问题等量关系、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程结合行程问题的典型应用题，解题关键是合理根据速度倍比关系设未知数，准确抓取时间的等量关系列方程，要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，最后计算剩余路程时可直接利用晚到时间求解，简化运算。
【难度系数】
0.6
9. 为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程。一项地基基础加固处理工程由A，B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工30天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工60天后完成了此项工程。
(1)求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天；
(2)由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A，B两个工程公司各施工建设了多少天。
(1)求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天；
(2)由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A，B两个工程公司各施工建设了多少天。
答案
9. 解:(1)设 B 工程公司单独完成需要 x 天.
根据题意,得 $30×\frac{1}{180}+60(\frac{1}{180}+\frac{1}{x})=1$.
解得 $x=120$.
经检验,$x=120$ 是分式方程的解,且符合题意.
答:B 工程公司单独完成此项工程需要 120 天.
(2)根据题意,得 $m×\frac{1}{180}+n×\frac{1}{120}=1$.
整理,得 $n=120-\frac{2}{3}m$.
$\because m＜46,n＜92,\therefore 120-\frac{2}{3}m＜92$.
解得 $42＜m＜46$.
$\because m$ 为正整数,$\therefore m=43,44,45$.
又 $120-\frac{2}{3}m$ 为正整数,$\therefore m=45,n=90$.
答:A,B 两个工程公司各施工建设了 45 天和 90 天.
根据题意,得 $30×\frac{1}{180}+60(\frac{1}{180}+\frac{1}{x})=1$.
解得 $x=120$.
经检验,$x=120$ 是分式方程的解,且符合题意.
答:B 工程公司单独完成此项工程需要 120 天.
(2)根据题意,得 $m×\frac{1}{180}+n×\frac{1}{120}=1$.
整理,得 $n=120-\frac{2}{3}m$.
$\because m＜46,n＜92,\therefore 120-\frac{2}{3}m＜92$.
解得 $42＜m＜46$.
$\because m$ 为正整数,$\therefore m=43,44,45$.
又 $120-\frac{2}{3}m$ 为正整数,$\therefore m=45,n=90$.
答:A,B 两个工程公司各施工建设了 45 天和 90 天.
解析
【分析】
(1) 本题属于工程问题，解题时先将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷工作时间。已知A单独完成工程需180天，可得A的工作效率为$\frac{1}{180}$。设B单独完成需要x天，则B的工作效率为$\frac{1}{x}$。根据“A单独做30天的工作量+A、B合作60天的工作量=总工作量1”的等量关系列分式方程，求解后注意检验根是否符合题意。
(2) 结合总工作量为1的条件，可列等式得到m和n的数量关系，再结合$m＜46$、$n＜92$的限制列出不等式，求出m的取值范围，最后根据m、n均为正整数的要求，筛选出符合条件的解即可。
【解析】
(1) 设B工程公司单独完成此项工程需要x天，将总工作量记为单位“1”，则A的工作效率为$\frac{1}{180}$，B的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据题意列方程：
$30×\frac{1}{180}+60(\frac{1}{180}+\frac{1}{x})=1$
化简得：$\frac{1}{2}+\frac{60}{x}=1$
解得：$x=120$
检验：当$x=120$时，原分式方程分母不为0，所以$x=120$是原方程的解，且符合实际题意。
(2) 由题意得A、B的工作量之和为1，列方程：
$\frac{m}{180}+\frac{n}{120}=1$
整理得：$n=120-\frac{2}{3}m$
∵$m＜46$，$n＜92$
∴$120-\frac{2}{3}m＜92$，解得$m＞42$
即m的取值范围为$42＜m＜46$
∵m为正整数，
∴m可取43、44、45
又
∵$n=120-\frac{2}{3}m$也为正整数，
∴m需为3的倍数，仅$m=45$符合要求
此时$n=120-\frac{2}{3}×45=90$，满足$n＜92$，符合题意。
【答案】
(1) B工程公司单独建设完成此项工程需要120天；
(2) A工程公司施工建设了45天，B工程公司施工建设了90天。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，工程问题计算
【点评】
本题结合实际背景考查工程类应用题的解法，既要求掌握分式方程的列法、解法及验根规则，又需要结合不等式筛选符合实际意义的整数解，解题核心是理清工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系。
【难度系数】
0.6
(1) 本题属于工程问题，解题时先将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷工作时间。已知A单独完成工程需180天，可得A的工作效率为$\frac{1}{180}$。设B单独完成需要x天，则B的工作效率为$\frac{1}{x}$。根据“A单独做30天的工作量+A、B合作60天的工作量=总工作量1”的等量关系列分式方程，求解后注意检验根是否符合题意。
(2) 结合总工作量为1的条件，可列等式得到m和n的数量关系，再结合$m＜46$、$n＜92$的限制列出不等式，求出m的取值范围，最后根据m、n均为正整数的要求，筛选出符合条件的解即可。
【解析】
(1) 设B工程公司单独完成此项工程需要x天，将总工作量记为单位“1”，则A的工作效率为$\frac{1}{180}$，B的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据题意列方程：
$30×\frac{1}{180}+60(\frac{1}{180}+\frac{1}{x})=1$
化简得：$\frac{1}{2}+\frac{60}{x}=1$
解得：$x=120$
检验：当$x=120$时，原分式方程分母不为0，所以$x=120$是原方程的解，且符合实际题意。
(2) 由题意得A、B的工作量之和为1，列方程：
$\frac{m}{180}+\frac{n}{120}=1$
整理得：$n=120-\frac{2}{3}m$
∵$m＜46$，$n＜92$
∴$120-\frac{2}{3}m＜92$，解得$m＞42$
即m的取值范围为$42＜m＜46$
∵m为正整数，
∴m可取43、44、45
又
∵$n=120-\frac{2}{3}m$也为正整数，
∴m需为3的倍数，仅$m=45$符合要求
此时$n=120-\frac{2}{3}×45=90$，满足$n＜92$，符合题意。
【答案】
(1) B工程公司单独建设完成此项工程需要120天；
(2) A工程公司施工建设了45天，B工程公司施工建设了90天。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，工程问题计算
【点评】
本题结合实际背景考查工程类应用题的解法，既要求掌握分式方程的列法、解法及验根规则，又需要结合不等式筛选符合实际意义的整数解，解题核心是理清工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系。
【难度系数】
0.6
