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1. 2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景.这次机器人马拉松比赛里程约为21 km，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军.北京天工机器人平均速度约为松延动力机器人平均速度的$\frac{4}{3}$，用时比松延动力机器人少$\frac{7}{8}$h，松延动力机器人的平均速度是多少千米/时？
答案
解:设松延动力机器人的平均速度是$x\ \mathrm{km/h}$.
根据题意,得$\dfrac{21}{x}-\dfrac{21}{\dfrac{4}{3}x}=\dfrac{7}{8}$,解得$x=6$.
经检验,$x=6$是原分式方程的解,且符合题意.
答:松延动力机器人的平均速度是$6\ \mathrm{km/h}$.
根据题意,得$\dfrac{21}{x}-\dfrac{21}{\dfrac{4}{3}x}=\dfrac{7}{8}$,解得$x=6$.
经检验,$x=6$是原分式方程的解,且符合题意.
答:松延动力机器人的平均速度是$6\ \mathrm{km/h}$.
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的关系推导等量关系。首先我们直接将要求的松延动力机器人的平均速度设为未知数x km/h，那么北京天工机器人的平均速度可表示为$\frac{4}{3}x$ km/h。题干给出的关键等量关系为：松延动力机器人的用时 - 北京天工机器人的用时 = $\frac{7}{8}$h，两者的用时都可以用总路程21km除以各自的速度表示，代入等量关系即可列出分式方程，解方程后注意要检验根是否满足原方程且符合实际意义。
【解析】
解：设松延动力机器人的平均速度是$x\ \mathrm{km/h}$，则北京天工机器人的平均速度为$\frac{4}{3}x\ \mathrm{km/h}$。
根据题意列方程：
$\dfrac{21}{x}-\dfrac{21}{\dfrac{4}{3}x}=\dfrac{7}{8}$
化简得：$\dfrac{21}{x}-\dfrac{63}{4x}=\dfrac{7}{8}$
通分计算左边：$\dfrac{84-63}{4x}=\dfrac{21}{4x}=\dfrac{7}{8}$
交叉相乘得：$28x=168$
解得$x=6$
经检验，$x=6$时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际题意。
答：松延动力机器人的平均速度是$6\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
$6\ \mathrm{km/h}$
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式，分式方程检验
【点评】
本题结合科技热点场景考查分式方程的实际应用，解题关键是准确提取题干中的等量关系，注意分式方程求解后必须双重检验，既要检验是否为原方程的根，也要检验是否符合实际意义，属于分式方程应用的基础常规题型。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的分式方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的关系推导等量关系。首先我们直接将要求的松延动力机器人的平均速度设为未知数x km/h，那么北京天工机器人的平均速度可表示为$\frac{4}{3}x$ km/h。题干给出的关键等量关系为：松延动力机器人的用时 - 北京天工机器人的用时 = $\frac{7}{8}$h，两者的用时都可以用总路程21km除以各自的速度表示，代入等量关系即可列出分式方程，解方程后注意要检验根是否满足原方程且符合实际意义。
【解析】
解：设松延动力机器人的平均速度是$x\ \mathrm{km/h}$，则北京天工机器人的平均速度为$\frac{4}{3}x\ \mathrm{km/h}$。
根据题意列方程：
$\dfrac{21}{x}-\dfrac{21}{\dfrac{4}{3}x}=\dfrac{7}{8}$
化简得：$\dfrac{21}{x}-\dfrac{63}{4x}=\dfrac{7}{8}$
通分计算左边：$\dfrac{84-63}{4x}=\dfrac{21}{4x}=\dfrac{7}{8}$
交叉相乘得：$28x=168$
解得$x=6$
经检验，$x=6$时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际题意。
答：松延动力机器人的平均速度是$6\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
$6\ \mathrm{km/h}$
【知识点】
分式方程的应用，行程问题公式，分式方程检验
【点评】
本题结合科技热点场景考查分式方程的实际应用，解题关键是准确提取题干中的等量关系，注意分式方程求解后必须双重检验，既要检验是否为原方程的根，也要检验是否符合实际意义，属于分式方程应用的基础常规题型。
【难度系数】
0.7
2. 保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏.据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量多0.15吨.已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的1.2倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量.
答案
解:设生产一吨优质纸张需要的木材质量为$x$吨,则生产一吨优质纸张需要的废纸的质量为$(x-0.15)$吨.由题意,得
$\dfrac{750}{x-0.15}=\dfrac{700}{x}×1.2$,解得$x=1.4$.
经检验,$x=1.4$是原分式方程的解,且符合题意.
答:生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨.
$\dfrac{750}{x-0.15}=\dfrac{700}{x}×1.2$,解得$x=1.4$.
经检验,$x=1.4$是原分式方程的解,且符合题意.
答:生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨.
解析
【分析】
本题是分式方程的实际应用问题，解题思路如下：首先直接设所求的生产一吨优质纸张需要的木材质量为未知数x吨，根据“生产一吨优质纸张所用木材的质量比废纸多0.15吨”，可表示出生产一吨纸需要的废纸质量为$(x-0.15)$吨。其次找核心等量关系：750吨废纸生产的纸张质量=700吨木材生产的纸张质量×1.2，而纸张总质量=原料总质量÷生产一吨纸所需该原料的质量，据此可列出分式方程。最后求解方程，分式方程需检验根是否符合方程要求和实际意义，即可得到最终结果。
【解析】
解:设生产一吨优质纸张需要的木材质量为$x$吨,则生产一吨优质纸张需要的废纸的质量为$(x-0.15)$吨。
由题意,得
$\dfrac{750}{x-0.15}=\dfrac{700}{x}×1.2$
去分母得：$750x=840(x-0.15)$
展开整理得：$90x=126$
解得$x=1.4$。
经检验,$x=1.4$时原分式方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际题意。
答:生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨。
【答案】
生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨。
【知识点】
分式方程的应用、列方程解应用题、分式方程检验
【点评】
本题是典型的生产类分式方程应用题，解题核心是理清原料总量、单位产品原料消耗量、产品总产量三者的数量关系，列出正确的方程。求解时要注意分式方程需进行双重检验，既要验证根是原方程的解，也要验证根符合实际意义，能够考查学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程的实际应用问题，解题思路如下：首先直接设所求的生产一吨优质纸张需要的木材质量为未知数x吨，根据“生产一吨优质纸张所用木材的质量比废纸多0.15吨”，可表示出生产一吨纸需要的废纸质量为$(x-0.15)$吨。其次找核心等量关系：750吨废纸生产的纸张质量=700吨木材生产的纸张质量×1.2，而纸张总质量=原料总质量÷生产一吨纸所需该原料的质量，据此可列出分式方程。最后求解方程，分式方程需检验根是否符合方程要求和实际意义，即可得到最终结果。
【解析】
解:设生产一吨优质纸张需要的木材质量为$x$吨,则生产一吨优质纸张需要的废纸的质量为$(x-0.15)$吨。
由题意,得
$\dfrac{750}{x-0.15}=\dfrac{700}{x}×1.2$
去分母得：$750x=840(x-0.15)$
展开整理得：$90x=126$
解得$x=1.4$。
经检验,$x=1.4$时原分式方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际题意。
答:生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨。
【答案】
生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨。
【知识点】
分式方程的应用、列方程解应用题、分式方程检验
【点评】
本题是典型的生产类分式方程应用题，解题核心是理清原料总量、单位产品原料消耗量、产品总产量三者的数量关系，列出正确的方程。求解时要注意分式方程需进行双重检验，既要验证根是原方程的解，也要验证根符合实际意义，能够考查学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
3.笔、墨、纸、砚是我国特有的书法绘画工具，其被称为“文房四宝”，这一名称起源于南北朝时期.某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”若干套.已知A型号的单价比B型号的单价少20元，且用800元购进A型号的数量与用1000元购进B型号的数量相同.求两种型号“文房四宝”的单价.
答案
解:设$B$型号“文房四宝”的单价为$x$元,则$A$型号“文房四宝”的单价为$(x-20)$元.依题意,得$\dfrac{800}{x-20}=\dfrac{1\ 000}{x}$.解得$x=100$.
经检验,$x=100$是原分式方程的解,且符合题意.
$100-20=80$(元).
答:$A$型号“文房四宝”的单价为80元,$B$型号“文房四宝”的单价为100元.
经检验,$x=100$是原分式方程的解,且符合题意.
$100-20=80$(元).
答:$A$型号“文房四宝”的单价为80元,$B$型号“文房四宝”的单价为100元.
解析
【分析】
本题是分式方程的实际应用问题，解题时先梳理题目中的等量关系：①A型号单价比B型号单价少20元；②用800元购进A型号的数量与用1000元购进B型号的数量相等。首先根据第一个数量关系设未知数，设B型号单价为x元，则A型号单价可表示为$(x-20)$元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出购买A、B两种型号的数量，结合第二个等量关系列出分式方程，求解后注意检验根是否符合原方程及实际意义，最后求出A型号的单价即可。
【解析】
设$B$型号“文房四宝”的单价为$x$元，则$A$型号“文房四宝”的单价为$(x-20)$元。
依题意，得：$\dfrac{800}{x-20}=\dfrac{1000}{x}$
交叉相乘得：$800x=1000(x-20)$
展开得：$800x=1000x-20000$
移项合并同类项得：$200x=20000$
解得：$x=100$
经检验，$x=100$是原分式方程的解，且符合实际题意。
则A型号单价为：$100-20=80$（元）
答：A型号“文房四宝”的单价为80元，B型号“文房四宝”的单价为100元。
【答案】
A型号“文房四宝”的单价为80元，B型号“文房四宝”的单价为100元。
【知识点】
分式方程的应用，分式方程的检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题型，解题的关键是找准题目中的等量关系列方程，需要特别注意解分式方程后必须进行两步检验，既要检验是否为原方程的根，还要检验是否符合实际情境要求。
【难度系数】
0.8
本题是分式方程的实际应用问题，解题时先梳理题目中的等量关系：①A型号单价比B型号单价少20元；②用800元购进A型号的数量与用1000元购进B型号的数量相等。首先根据第一个数量关系设未知数，设B型号单价为x元，则A型号单价可表示为$(x-20)$元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出购买A、B两种型号的数量，结合第二个等量关系列出分式方程，求解后注意检验根是否符合原方程及实际意义，最后求出A型号的单价即可。
【解析】
设$B$型号“文房四宝”的单价为$x$元，则$A$型号“文房四宝”的单价为$(x-20)$元。
依题意，得：$\dfrac{800}{x-20}=\dfrac{1000}{x}$
交叉相乘得：$800x=1000(x-20)$
展开得：$800x=1000x-20000$
移项合并同类项得：$200x=20000$
解得：$x=100$
经检验，$x=100$是原分式方程的解，且符合实际题意。
则A型号单价为：$100-20=80$（元）
答：A型号“文房四宝”的单价为80元，B型号“文房四宝”的单价为100元。
【答案】
A型号“文房四宝”的单价为80元，B型号“文房四宝”的单价为100元。
【知识点】
分式方程的应用，分式方程的检验
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题型，解题的关键是找准题目中的等量关系列方程，需要特别注意解分式方程后必须进行两步检验，既要检验是否为原方程的根，还要检验是否符合实际情境要求。
【难度系数】
0.8
4. 工程队对一条长 3 200 m 的道路进行绿化整修,按原计划修了 800 m 后,安排工人加班,每天绿化整修道路长度比原计划增加了20%,实际共用 28 天完成了全部工程.
(1)原计划每天绿化道路多少米?
(2)若原计划每天支付工人工资 5 000 元,安排加班后每天支付给工人的工资增加了40%,则完成此项工程,共需支付工人工资多少元?
(1)原计划每天绿化道路多少米?
(2)若原计划每天支付工人工资 5 000 元,安排加班后每天支付给工人的工资增加了40%,则完成此项工程,共需支付工人工资多少元?
答案
解:(1)设原计划每天绿化道路$x\ \mathrm{m}$.根据题意,得$\dfrac{800}{x}+\dfrac{3\ 200-800}{(1+20\%)x}=28$.解得$x=100$.
经检验,$x=100$是原分式方程的解,且符合题意.
答:原计划每天绿化道路$100\ \mathrm{m}$.
(2)$800÷100=8$(天),$28-8=20$(天),
$5\ 000×8+5\ 000×(1+40\%)×20=180\ 000$(元).
答:完成此项工程,共需支付工人工资180 000元.
经检验,$x=100$是原分式方程的解,且符合题意.
答:原计划每天绿化道路$100\ \mathrm{m}$.
(2)$800÷100=8$(天),$28-8=20$(天),
$5\ 000×8+5\ 000×(1+40\%)×20=180\ 000$(元).
答:完成此项工程,共需支付工人工资180 000元.
解析
【分析】
本题属于工程类应用题，解题核心依据“工作时间=工作总量÷工作效率”找等量关系。(1)问中总工期28天由两部分组成：一是按原计划修800m的施工时间，二是提速后修剩余路程的施工时间，据此设未知数列分式方程求解即可，注意分式方程求出解后需检验是否符合实际题意。(2)问先分别算出按原计划施工的天数和加班施工的天数，再结合对应日工资标准，求和即可得到总工资。
【解析】
(1)设原计划每天绿化道路$x\ \mathrm{m}$，则加班后每天绿化道路长度为$(1+20\%)x\ \mathrm{m}$。
根据总工期为28天，列方程得：
$\dfrac{800}{x}+\dfrac{3200-800}{(1+20\%)x}=28$
化简得$\dfrac{800}{x}+\dfrac{2000}{x}=28$，即$\dfrac{2800}{x}=28$，解得$x=100$。
检验：当$x=100$时，$(1+20\%)x=120≠0$，所以$x=100$是原分式方程的解，且符合实际施工的意义。
答：原计划每天绿化道路$100\ \mathrm{m}$。
(2)按原计划施工的天数：$800÷100=8$（天）
加班施工的天数：$28-8=20$（天）
加班后每日工资：$5000×(1+40\%)=7000$（元）
总工资：$5000×8 + 7000×20=40000+140000=180000$（元）
答：完成此项工程，共需支付工人工资180000元。
【答案】
(1) $100\ \mathrm{m}$；(2) $180000$元
【知识点】
分式方程的应用，工程问题计算，有理数混合运算
【点评】
本题是分式方程在工程场景中的典型应用，解题关键是准确拆分施工阶段，找准总工期对应的等量关系，解题时需注意分式方程要检验解的合理性，整体考查学生的基础应用能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于工程类应用题，解题核心依据“工作时间=工作总量÷工作效率”找等量关系。(1)问中总工期28天由两部分组成：一是按原计划修800m的施工时间，二是提速后修剩余路程的施工时间，据此设未知数列分式方程求解即可，注意分式方程求出解后需检验是否符合实际题意。(2)问先分别算出按原计划施工的天数和加班施工的天数，再结合对应日工资标准，求和即可得到总工资。
【解析】
(1)设原计划每天绿化道路$x\ \mathrm{m}$，则加班后每天绿化道路长度为$(1+20\%)x\ \mathrm{m}$。
根据总工期为28天，列方程得：
$\dfrac{800}{x}+\dfrac{3200-800}{(1+20\%)x}=28$
化简得$\dfrac{800}{x}+\dfrac{2000}{x}=28$，即$\dfrac{2800}{x}=28$，解得$x=100$。
检验：当$x=100$时，$(1+20\%)x=120≠0$，所以$x=100$是原分式方程的解，且符合实际施工的意义。
答：原计划每天绿化道路$100\ \mathrm{m}$。
(2)按原计划施工的天数：$800÷100=8$（天）
加班施工的天数：$28-8=20$（天）
加班后每日工资：$5000×(1+40\%)=7000$（元）
总工资：$5000×8 + 7000×20=40000+140000=180000$（元）
答：完成此项工程，共需支付工人工资180000元。
【答案】
(1) $100\ \mathrm{m}$；(2) $180000$元
【知识点】
分式方程的应用，工程问题计算，有理数混合运算
【点评】
本题是分式方程在工程场景中的典型应用，解题关键是准确拆分施工阶段，找准总工期对应的等量关系，解题时需注意分式方程要检验解的合理性，整体考查学生的基础应用能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
