1. 小文的练习册上有这样一道题:如图,$AD ⊥ BC$于点$D$,$EG ⊥ BC$于点$G$,$∠ 1 = ∠ E$,求证:$AD$平分$∠ BAC$.以下是小文给出的解题过程,请补全下列过程和依据.
证明:$\because AD ⊥ BC$于点$D$,$EG ⊥ BC$于点$G$,
$\therefore ∠ ADC = ∠$ $=$ .
$\therefore AD //$ ().
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2($$),∠ 3 = ∠ E($$)$.
$\because ∠ 1 = ∠ E$,
$\therefore ∠ 2 =$ ().
$\therefore AD$平分$∠ BAC($角平分线的定义$)$.

$EGC;90°;EG;同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同位角相等;∠3;等量代换$

2. 如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在CD,DC的延长线上,BE平分∠ABC,交AF于点O,已知∠ADE+∠BCF=180°,∠ABC=2∠E.
(1)AB与EF的位置关系如何?为什么?
(2)若AF平分∠BAD,证明:∠E+∠F=90°.

(1)解:$AB// EF$.
理由如下:因为$BE$平分$∠ ABC$,
所以$∠ ABC=2∠ ABE$,
因为$∠ ABC=2∠ E$,
所以$∠ ABE=∠ E$,
所以$AB// EF$;
(2)证明:因为$∠ ADE + ∠ BCF = 180°$, $∠ ADE + ∠ ADF = 180°$,
所以$∠ ADF = ∠ BCF$,
所以$AD// BC$,
所以$∠ BAD+∠ ABC=180°$.
因为$BE$平分$∠ ABC$,$AF$平分$∠ BAD$,
所以$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAD$,
所以$∠ ABE+∠ BAF=90°$,
所以$∠ EOF=∠ AOB=90°$,
所以$∠ E+∠ F=90°$.

3. (2025 四川成都树德实验中学期末)已知直线 AB // CD,点 M,N 分别在直线 AB,CD 上.

(1)如图①,点 E 在直线 AB,CD 之间,求证:∠MEN=∠AME+∠CNE;
(2)如图②,若点 E 在直线 CD 下方,∠BME 与∠DNE 的平分线交于点 F,判断∠E 与∠F 的数量关系并证明.

(1)证明:如解图①,过点$E$作$EF// AB$,

因为$AB// CD$,
所以$AB// EF// CD$,
所以$∠ AME=∠ 1$,$∠ CNE=∠ 2$,
所以$∠ MEN=∠ 1+∠ 2=∠ AME+∠ CNE$;
(2)解:$∠ E=2∠ F$,证明如下:
如解图②,过点$E$作$EL// CD$,过点$F$作$FT// AB$,

因为$AB// CD$,
所以$AB// CD// EL// FT$,
所以$∠ 5=∠ 3+∠ 4$,$∠ MEN+∠ 5=∠ 1+∠ 2$,$∠ 3=∠ 6$,$∠ MFN+∠ 6=∠ 1$,
所以$∠ MEN=∠ 1+∠ 2-∠ 5=∠ 1+∠ 2-(∠ 3+∠ 4)$,$∠ MFN=∠ 1-∠ 6=∠ 1-∠ 3$.
因为$∠ BME$与$∠ DNE$的平分线交于点$F$,
所以$∠ 1=∠ 2$,$∠ 3=∠ 4$,
所以$∠ MEN=2∠ 1-2∠ 3=2(∠ 1-∠ 3)=2∠ MFN$,即$∠ MEN=2∠ MFN$,得证.

4. (2025河南郑州经开外国语学校期末)将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C重合放在一起,其中$∠ A=30°,∠ B=60°,∠ CDE=∠ E=45°$.
【操作探究】
(1)如图①,当$∠ ACD=25°$时,$∠ BCE$的度数为;
(2)由(1)猜想$∠ ACD$与$∠ BCE$的数量关系,并证明;
【拓展延伸】
(3)如图②,三角尺ABC固定不动,三角尺DCE绕顶点C旋转,当点D在直线BC的上方且在直线AC右侧时,求这两块三角尺存在一组边互相平行时$∠ BCD$所有可能的值.

解:(1)$155°$;
(2)猜想:$∠ ACD+∠ BCE=180°$.
证明: 因为 $∠ BCD = 90° - ∠ ACD$, $∠ ACE = 90°-∠ ACD$,
所以 $∠ BCE = ∠ ACD + ∠ BCD + ∠ ACE = ∠ ACD + 90°-∠ ACD+90°-∠ ACD=180°-∠ ACD$,
即 $∠ ACD+∠ BCE=180°$;
(3)因为点 $D$ 在直线 $BC$ 的上方且在直线 $AC$ 右侧,
所以当这两块三角尺存在一组边互相平行时,有以下三种情况:
①当 $CD// AB$ 时,如解图①所示,
所以$∠ ACD=∠ A=30°$,
所以$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°+30°=120°$;
②当 $DE// AC$ 时,如解图②所示,
所以$∠ ACD=∠ CDE=45°$,
所以$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°+45°=135°$;
③当 $DE// AB$ 时,过点 $C$ 作 $CF// AB$,如解图③所示,
所以 $AB// CF// DE$,
所以$∠ ACF=∠ A=30°$,$∠ DCF=∠ CDE=45°$,
所以$∠ ACD=∠ ACF+∠ DCF=75°$,
所以$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=90°+75°=165°$.
综上所述,$∠ BCD$ 所有可能的值为 $120°$或 $135°$或 $165°$.