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1. 下图是一个横断面为抛物线形状的拱桥.当水面在 l 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m,水面宽4 m.建立如图所示的平面直角坐标系,则抛物线对应的函数表达式为().
A.$y=-2x^2$
B.$y=2x^2$
C.$y=-\frac{1}{2}x^2$
D.$y=\frac{1}{2}x^2$
A.$y=-2x^2$
B.$y=2x^2$
C.$y=-\frac{1}{2}x^2$
D.$y=\frac{1}{2}x^2$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数解析式的求解，解题思路如下：首先观察坐标系特点，抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此可将解析式设为顶点式$y=ax^2$（$a≠0$）；其次抛物线开口向下，$a$为负数，可先排除开口向上的选项；再结合已知条件：水面宽4m、拱顶离水面2m，得到抛物线上的点坐标为$(2,-2)$，将该点代入解析式即可求出$a$的值，得到正确的函数表达式。
【解析】
解：
∵抛物线的顶点为坐标原点$(0,0)$，对称轴为y轴，
∴设该抛物线对应的函数表达式为$ y = ax^2 $（$ a ≠ 0 $）。
由题意可知，水面宽4m，拱顶离水面2m，因此抛物线经过点$ (2,-2) $，
将$ x=2 $，$ y=-2 $代入$ y = ax^2 $得：
$ -2 = a × 2^2 $
即$ 4a = -2 $，解得$ a = -\frac{1}{2} $。
∴抛物线对应的函数表达式为$ y = -\frac{1}{2}x^2 $，故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是结合坐标系的特征选择最简的解析式形式，再代入已知点求解系数，掌握待定系数法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数解析式的求解，解题思路如下：首先观察坐标系特点，抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此可将解析式设为顶点式$y=ax^2$（$a≠0$）；其次抛物线开口向下，$a$为负数，可先排除开口向上的选项；再结合已知条件：水面宽4m、拱顶离水面2m，得到抛物线上的点坐标为$(2,-2)$，将该点代入解析式即可求出$a$的值，得到正确的函数表达式。
【解析】
解：
∵抛物线的顶点为坐标原点$(0,0)$，对称轴为y轴，
∴设该抛物线对应的函数表达式为$ y = ax^2 $（$ a ≠ 0 $）。
由题意可知，水面宽4m，拱顶离水面2m，因此抛物线经过点$ (2,-2) $，
将$ x=2 $，$ y=-2 $代入$ y = ax^2 $得：
$ -2 = a × 2^2 $
即$ 4a = -2 $，解得$ a = -\frac{1}{2} $。
∴抛物线对应的函数表达式为$ y = -\frac{1}{2}x^2 $，故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是结合坐标系的特征选择最简的解析式形式，再代入已知点求解系数，掌握待定系数法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 赵州桥的桥拱是抛物线形.建立如图所示的平面直角坐标系,其函数表达式为$y = -\frac{1}{25}x^2$.当水位线在AB位置时,水面宽AB为30 m,则水面离桥顶的高度h是().
A.5 m
B.6 m
C.8 m
D.9 m
A.5 m
B.6 m
C.8 m
D.9 m
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确抛物线对称轴为y轴，顶点O即桥顶，坐标为(0,0)。已知水面宽度AB为30m，根据抛物线的对称性，可得点B的横坐标为30÷2=15，要求水面离桥顶的高度h，就是求x=15时对应函数值的绝对值，因为此处y值为负，高度取正数即可。
【解析】
解：
∵水面宽AB=30m，且该抛物线关于y轴对称，
∴点B的横坐标为$\frac{30}{2}=15$，
将$x=15$代入函数表达式$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{25}×15^2=-\frac{225}{25}=-9$，
∵桥顶O的纵坐标为0，
∴水面离桥顶的高度$h=|y|=9\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用、抛物线的对称性、函数值计算
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题关键是结合抛物线的对称性确定自变量的取值，再代入解析式计算对应函数值，将图形的长度和函数点的坐标对应即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确抛物线对称轴为y轴，顶点O即桥顶，坐标为(0,0)。已知水面宽度AB为30m，根据抛物线的对称性，可得点B的横坐标为30÷2=15，要求水面离桥顶的高度h，就是求x=15时对应函数值的绝对值，因为此处y值为负，高度取正数即可。
【解析】
解：
∵水面宽AB=30m，且该抛物线关于y轴对称，
∴点B的横坐标为$\frac{30}{2}=15$，
将$x=15$代入函数表达式$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{25}×15^2=-\frac{225}{25}=-9$，
∵桥顶O的纵坐标为0，
∴水面离桥顶的高度$h=|y|=9\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的应用、抛物线的对称性、函数值计算
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题关键是结合抛物线的对称性确定自变量的取值，再代入解析式计算对应函数值，将图形的长度和函数点的坐标对应即可求解。
【难度系数】
0.8
3. 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示.现测得，当水面宽AB为1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m，则高于水面1.8 m处，涵洞宽ED是().
A.1.2 m
B.1 m
C.0.8 m
D.0.6 m
▲y
A.1.2 m
B.1 m
C.0.8 m
D.0.6 m
▲y
答案
C
解析
【分析】
首先观察坐标系可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设抛物线解析式为最简形式$y=ax^2(a≠0)$。第一步先根据已知的水面宽度AB和顶点到水面的距离，确定抛物线上已知点的坐标，代入解析式求出a的值，得到完整的抛物线表达式；第二步计算高于水面1.8m处对应的y坐标，将y值代入解析式求出对应的x值，ED的宽度即为两个x值的差的绝对值。
【解析】
设抛物线的解析式为$ y = ax^2 $（$ a ≠ 0 $）。
由题意得，水面AB宽1.6m，顶点O到水面的距离为2.4m，因此点B的坐标为$ (0.8, -2.4) $。
将$ (0.8, -2.4) $代入解析式得：
$ -2.4 = a × 0.8^2 $
解得$ a = -\frac{15}{4} $，即抛物线解析式为$ y = -\frac{15}{4}x^2 $。
高于水面1.8m处的纵坐标为：$ -2.4 + 1.8 = -0.6 $
将$ y = -0.6 $代入解析式得：
$ -0.6 = -\frac{15}{4}x^2 $
解得$ x = \pm 0.4 $
因此涵洞宽$ ED = 0.4 - (-0.4) = 0.8 \, \mathrm{m} $。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，核心是利用坐标系将实际长度转化为点的坐标，通过求函数解析式、代值计算即可得到结果，解题时要注意坐标的正负与实际位置的对应关系。
【难度系数】
0.7
首先观察坐标系可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设抛物线解析式为最简形式$y=ax^2(a≠0)$。第一步先根据已知的水面宽度AB和顶点到水面的距离，确定抛物线上已知点的坐标，代入解析式求出a的值，得到完整的抛物线表达式；第二步计算高于水面1.8m处对应的y坐标，将y值代入解析式求出对应的x值，ED的宽度即为两个x值的差的绝对值。
【解析】
设抛物线的解析式为$ y = ax^2 $（$ a ≠ 0 $）。
由题意得，水面AB宽1.6m，顶点O到水面的距离为2.4m，因此点B的坐标为$ (0.8, -2.4) $。
将$ (0.8, -2.4) $代入解析式得：
$ -2.4 = a × 0.8^2 $
解得$ a = -\frac{15}{4} $，即抛物线解析式为$ y = -\frac{15}{4}x^2 $。
高于水面1.8m处的纵坐标为：$ -2.4 + 1.8 = -0.6 $
将$ y = -0.6 $代入解析式得：
$ -0.6 = -\frac{15}{4}x^2 $
解得$ x = \pm 0.4 $
因此涵洞宽$ ED = 0.4 - (-0.4) = 0.8 \, \mathrm{m} $。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，核心是利用坐标系将实际长度转化为点的坐标，通过求函数解析式、代值计算即可得到结果，解题时要注意坐标的正负与实际位置的对应关系。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如图，有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16 m，跨度为40 m.现把它的示意图放在平面直角坐标系中，则此抛物线对应的函数表达式为。
4. 如图，有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16 m，跨度为40 m.现把它的示意图放在平面直角坐标系中，则此抛物线对应的函数表达式为。
答案
解：由题意得，抛物线的顶点坐标为$(20,16)$，且抛物线过点$(0,0)$。
设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-20)^2+16$，
将$(0,0)$代入上式，得：
$0=a·(0-20)^2+16$，
解得$a=-\dfrac{1}{25}$，
展开整理得$y=-\dfrac{1}{25}(x-20)^2+16=-\dfrac{1}{25}x^2+\dfrac{8}{5}x$。
故答案为：$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{25}x^2+\dfrac{8}{5}x\ (0≤ x≤ 40)}$。
设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-20)^2+16$，
将$(0,0)$代入上式，得：
$0=a·(0-20)^2+16$，
解得$a=-\dfrac{1}{25}$，
展开整理得$y=-\dfrac{1}{25}(x-20)^2+16=-\dfrac{1}{25}x^2+\dfrac{8}{5}x$。
故答案为：$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{25}x^2+\dfrac{8}{5}x\ (0≤ x≤ 40)}$。
解析
【分析】
解题时首先从题干和图像提取关键信息：抛物线跨度为40m，因此抛物线与x轴交于(0,0)和(40,0)两点，最大高度为16m，说明抛物线顶点纵坐标为16，而抛物线对称轴是两个交点横坐标的中点，即x=20，因此可得顶点坐标为(20,16)。已知抛物线顶点坐标时，选择顶点式设解析式计算最简便，再代入已知的过点(0,0)求出参数a，最后整理为一般式，同时注意实际问题中自变量x的取值范围是0到40。
【解析】
由题意可知，抛物线过点(0,0)和(40,0)，最大高度为16m，因此抛物线的顶点坐标为(20,16)。
设抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），将顶点坐标(20,16)代入得：
$y=a(x-20)^2+16$
再将点(0,0)代入上式：
$0=a×(0-20)^2+16$
计算得：$400a+16=0$，解得$a=-\dfrac{1}{25}$。
将$a=-\dfrac{1}{25}$代入顶点式展开整理得：
$y=-\dfrac{1}{25}(x-20)^2+16=-\dfrac{1}{25}x^2+\dfrac{8}{5}x$
结合实际意义，自变量x的取值范围为$0≤ x≤40$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{25}x^2+\dfrac{8}{5}x\ (0≤ x≤ 40)}$
【知识点】
二次函数顶点式应用；二次函数图像性质；二次函数实际建模
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是准确提取图像和题干中的抛物线关键特征，优先选择顶点式简化计算过程，同时不要遗漏实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.75
解题时首先从题干和图像提取关键信息：抛物线跨度为40m，因此抛物线与x轴交于(0,0)和(40,0)两点，最大高度为16m，说明抛物线顶点纵坐标为16，而抛物线对称轴是两个交点横坐标的中点，即x=20，因此可得顶点坐标为(20,16)。已知抛物线顶点坐标时，选择顶点式设解析式计算最简便，再代入已知的过点(0,0)求出参数a，最后整理为一般式，同时注意实际问题中自变量x的取值范围是0到40。
【解析】
由题意可知，抛物线过点(0,0)和(40,0)，最大高度为16m，因此抛物线的顶点坐标为(20,16)。
设抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），将顶点坐标(20,16)代入得：
$y=a(x-20)^2+16$
再将点(0,0)代入上式：
$0=a×(0-20)^2+16$
计算得：$400a+16=0$，解得$a=-\dfrac{1}{25}$。
将$a=-\dfrac{1}{25}$代入顶点式展开整理得：
$y=-\dfrac{1}{25}(x-20)^2+16=-\dfrac{1}{25}x^2+\dfrac{8}{5}x$
结合实际意义，自变量x的取值范围为$0≤ x≤40$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{25}x^2+\dfrac{8}{5}x\ (0≤ x≤ 40)}$
【知识点】
二次函数顶点式应用；二次函数图像性质；二次函数实际建模
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是准确提取图像和题干中的抛物线关键特征，优先选择顶点式简化计算过程，同时不要遗漏实际问题中自变量的取值范围。
【难度系数】
0.75
5. 一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度是4 m，拱高是2 m.当水面下降1 m后，水面的宽度是.
答案
解：以抛物线的对称轴为y轴，初始水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线的顶点坐标为(0, 2)，且抛物线过点(2, 0)和(-2, 0)。
设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 + 2 $，
将点(2, 0)代入解析式，得：
$ 0 = a · 2^2 + 2 $，
解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
因此抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $。
当水面下降1m后，水面对应的纵坐标为 $ y = -1 $，
将 $ y = -1 $ 代入解析式：
$ -1 = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $，
整理得 $ x^2 = 6 $，
解得 $ x_1 = \sqrt{6} $，$ x_2 = -\sqrt{6} $，
此时水面的宽度为 $ |\sqrt{6} - (-\sqrt{6})| = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
答：水面的宽度是 $ 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
则抛物线的顶点坐标为(0, 2)，且抛物线过点(2, 0)和(-2, 0)。
设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 + 2 $，
将点(2, 0)代入解析式，得：
$ 0 = a · 2^2 + 2 $，
解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
因此抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $。
当水面下降1m后，水面对应的纵坐标为 $ y = -1 $，
将 $ y = -1 $ 代入解析式：
$ -1 = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $，
整理得 $ x^2 = 6 $，
解得 $ x_1 = \sqrt{6} $，$ x_2 = -\sqrt{6} $，
此时水面的宽度为 $ |\sqrt{6} - (-\sqrt{6})| = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
答：水面的宽度是 $ 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用题，解题核心是将实际拱桥问题转化为二次函数代数问题求解。首先要选取简便的平面直角坐标系，以抛物线对称轴为y轴、初始水面为x轴建系，可直接得到抛物线顶点和与x轴交点的坐标；再用待定系数法求出抛物线的解析式；最后代入水面下降1m后对应的纵坐标，求出对应横坐标，两个横坐标的差值绝对值即为所求水面宽度。
【解析】
以抛物线的对称轴为y轴，初始水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线的顶点坐标为(0, 2)，且抛物线过点(2, 0)和(-2, 0)。
设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 + 2 $，
将点(2, 0)代入解析式，得：
$ 0 = a · 2^2 + 2 $，
解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
因此抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $。
当水面下降1m后，水面对应的纵坐标为 $ y = -1 $，
将 $ y = -1 $ 代入解析式：
$ -1 = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $，
整理得 $ x^2 = 6 $，
解得 $ x_1 = \sqrt{6} $，$ x_2 = -\sqrt{6} $，
此时水面的宽度为 $ |\sqrt{6} - (-\sqrt{6})| = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的应用、待定系数法求解析式、二次函数求值
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的基础应用题，解题关键是合理建立平面直角坐标系，把实际问题转化为二次函数的代数计算问题，坐标系选取得当能大幅简化计算过程，解题时要注意坐标对应的实际含义。
【难度系数】
0.7
这是二次函数的实际应用题，解题核心是将实际拱桥问题转化为二次函数代数问题求解。首先要选取简便的平面直角坐标系，以抛物线对称轴为y轴、初始水面为x轴建系，可直接得到抛物线顶点和与x轴交点的坐标；再用待定系数法求出抛物线的解析式；最后代入水面下降1m后对应的纵坐标，求出对应横坐标，两个横坐标的差值绝对值即为所求水面宽度。
【解析】
以抛物线的对称轴为y轴，初始水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线的顶点坐标为(0, 2)，且抛物线过点(2, 0)和(-2, 0)。
设抛物线的解析式为 $ y = ax^2 + 2 $，
将点(2, 0)代入解析式，得：
$ 0 = a · 2^2 + 2 $，
解得 $ a = -\frac{1}{2} $，
因此抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $。
当水面下降1m后，水面对应的纵坐标为 $ y = -1 $，
将 $ y = -1 $ 代入解析式：
$ -1 = -\frac{1}{2}x^2 + 2 $，
整理得 $ x^2 = 6 $，
解得 $ x_1 = \sqrt{6} $，$ x_2 = -\sqrt{6} $，
此时水面的宽度为 $ |\sqrt{6} - (-\sqrt{6})| = 2\sqrt{6} \, \mathrm{m} $。
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的应用、待定系数法求解析式、二次函数求值
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的基础应用题，解题关键是合理建立平面直角坐标系，把实际问题转化为二次函数的代数计算问题，坐标系选取得当能大幅简化计算过程，解题时要注意坐标对应的实际含义。
【难度系数】
0.7
6. 某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物，大门地面宽AB为4 m，顶部C离地面高度为4.4 m.现有一辆满载货物的货车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m.那么这辆货车顺利通过大门.（填“能”或“不能”）
答案
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。
由题意可得点A(-2, 0)，点B(2, 0)，抛物线顶点C(0, 4.4)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+4.4$，将B(2, 0)代入解析式：
$0 = a· 2^2 + 4.4$
解得$a=-1.1$，因此抛物线解析式为$y=-1.1x^2+4.4$。
货车装货宽度为2.4m，对应横坐标$x=\pm1.2$，将$x=1.2$代入解析式：
$y=-1.1×1.2^2 + 4.4 = 2.816$
因为$2.816＞2.8$，所以货车能顺利通过大门。
答：能。
由题意可得点A(-2, 0)，点B(2, 0)，抛物线顶点C(0, 4.4)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+4.4$，将B(2, 0)代入解析式：
$0 = a· 2^2 + 4.4$
解得$a=-1.1$，因此抛物线解析式为$y=-1.1x^2+4.4$。
货车装货宽度为2.4m，对应横坐标$x=\pm1.2$，将$x=1.2$代入解析式：
$y=-1.1×1.2^2 + 4.4 = 2.816$
因为$2.816＞2.8$，所以货车能顺利通过大门。
答：能。
解析
【分析】
要解决这个实际问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，将抛物线形大门转化为二次函数图像问题。首先选取AB所在直线为x轴、AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，能最大程度简化计算；接下来利用已知的大门宽度、顶点高度求出二次函数的解析式；再根据货车的装货宽度找到对应横坐标，代入解析式算出该位置的大门高度，最后将该高度和货物顶部高度比较，即可判断货车能否顺利通过。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。
由题意可得点A(-2, 0)，点B(2, 0)，抛物线顶点C(0, 4.4)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+4.4$，将B(2, 0)代入解析式：
$0 = a· 2^2 + 4.4$
解得$a=-1.1$，因此抛物线解析式为$y=-1.1x^2+4.4$。
货车装货宽度为2.4m，对应横坐标$x=\pm1.2$，将$x=1.2$代入解析式：
$y=-1.1×1.2^2 + 4.4 = 2.816$
因为$2.816＞2.8$，说明该位置的大门高度高于货物顶部高度，所以货车能顺利通过大门。
【答案】
能
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数求值
【点评】
这是二次函数解决实际问题的常规题型，核心是通过建立数学模型将实际问题转化为二次函数问题，解题关键是选择合适的坐标系简化计算，能有效考察学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个实际问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，将抛物线形大门转化为二次函数图像问题。首先选取AB所在直线为x轴、AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，能最大程度简化计算；接下来利用已知的大门宽度、顶点高度求出二次函数的解析式；再根据货车的装货宽度找到对应横坐标，代入解析式算出该位置的大门高度，最后将该高度和货物顶部高度比较，即可判断货车能否顺利通过。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。
由题意可得点A(-2, 0)，点B(2, 0)，抛物线顶点C(0, 4.4)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+4.4$，将B(2, 0)代入解析式：
$0 = a· 2^2 + 4.4$
解得$a=-1.1$，因此抛物线解析式为$y=-1.1x^2+4.4$。
货车装货宽度为2.4m，对应横坐标$x=\pm1.2$，将$x=1.2$代入解析式：
$y=-1.1×1.2^2 + 4.4 = 2.816$
因为$2.816＞2.8$，说明该位置的大门高度高于货物顶部高度，所以货车能顺利通过大门。
【答案】
能
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数求值
【点评】
这是二次函数解决实际问题的常规题型，核心是通过建立数学模型将实际问题转化为二次函数问题，解题关键是选择合适的坐标系简化计算，能有效考察学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
