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8. [2025 济宁任城区期中] 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ C=90°, AC=8, BC=4$, 折叠 $△ ABC$, 使点 A 与点 B 重合, 折痕 DE 与 AB 交于点 D, 与 AC 交于点 E, 则 CE 的长为
3
.答案
3
根据折叠的性质可得$BE=AE$. 设$CE=x$, 则$BE=AE=8 -x$. 根据勾股定理, 可得$BC^2 + CE^2 = BE^2$,$\therefore 4^2 +x^2=(8 -x)^2$,解得$x=3$.
根据折叠的性质可得$BE=AE$. 设$CE=x$, 则$BE=AE=8 -x$. 根据勾股定理, 可得$BC^2 + CE^2 = BE^2$,$\therefore 4^2 +x^2=(8 -x)^2$,解得$x=3$.
9. [2025芜湖期末]一个直角三角形的两条边长分别为3和4,则它的第三条边长为
5或$\sqrt{7}$
.答案
5或$\sqrt{7}$
①当两条边均为直角边时,由勾股定理,可得斜边长为$\sqrt{3^2 +4^2}=5$. ②当一条边为直角边、一条边为斜边时,可得斜边长为4,直角边长为3(在直角三角形中,斜边最长),由勾股定理,可得另一条直角边长为$\sqrt{4^2 -3^2}=\sqrt{7}$.
①当两条边均为直角边时,由勾股定理,可得斜边长为$\sqrt{3^2 +4^2}=5$. ②当一条边为直角边、一条边为斜边时,可得斜边长为4,直角边长为3(在直角三角形中,斜边最长),由勾股定理,可得另一条直角边长为$\sqrt{4^2 -3^2}=\sqrt{7}$.
10. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $a,b,c$ 分别是 $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 所对边的边长,且 $a + b = 23$, $c = 17$,求 $Rt△ ABC$ 的面积.
答案
解:$\because a + b=23$,$\therefore (a + b)^2=a^2 +b^2 +2ab=529$,
$\therefore 2ab=529 -(a^2 +b^2)=529 -c^2=529 -289=240$,
$\therefore \frac{1}{2}ab=60$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC$的面积是60.
$\therefore 2ab=529 -(a^2 +b^2)=529 -c^2=529 -289=240$,
$\therefore \frac{1}{2}ab=60$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC$的面积是60.
11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$CD ⊥ AB$于点$D$,$AC = 6$,$BC = 8$.
(1)求$CD$的长;
(2)求$△ ACD$的面积.
(1)求$CD$的长;
(2)求$△ ACD$的面积.
答案
解:(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,
由勾股定理得,$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{6^2 +8^2}=10$.
$\because CD ⊥ AB$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$(等面积法),
$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,
由勾股定理得,$AD=\sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{6^2 -(4.8)^2}=3.6$,
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}×3.6×4.8=8.64$.
由勾股定理得,$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{6^2 +8^2}=10$.
$\because CD ⊥ AB$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$(等面积法),
$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=4.8$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,
由勾股定理得,$AD=\sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{6^2 -(4.8)^2}=3.6$,
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· CD=\frac{1}{2}×3.6×4.8=8.64$.
12. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,$BC$的垂直平分线交$BC$于点$D$,交$AB$于点$E$,连接$CE$.
(1)求证:$BE^2 - AE^2 = AC^2$.
(2)若$AC=8$,$BD=\dfrac{17}{2}$,求$△ ACE$的周长.
(1)求证:$BE^2 - AE^2 = AC^2$.
(2)若$AC=8$,$BD=\dfrac{17}{2}$,求$△ ACE$的周长.
答案
(1)证明:$\because ∠ A=90°$,$\therefore CE^2 = AE^2 + AC^2$.
$\because DE$是$BC$的垂直平分线,$\therefore CE=BE$,
$\therefore BE^2 = AE^2 + AC^2$,$\therefore BE^2 - AE^2 = AC^2$.
(2)解:$\because DE$是$BC$的垂直平分线,
$\therefore BC=2BD=17$,$BE=CE$.
$\because ∠ A=90°$,$\therefore AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{17^2 -8^2}=15$,
$\therefore △ ACE$的周长为$AE + CE + AC=AE + BE + AC=AB + AC=15 +8=23$.
$\because DE$是$BC$的垂直平分线,$\therefore CE=BE$,
$\therefore BE^2 = AE^2 + AC^2$,$\therefore BE^2 - AE^2 = AC^2$.
(2)解:$\because DE$是$BC$的垂直平分线,
$\therefore BC=2BD=17$,$BE=CE$.
$\because ∠ A=90°$,$\therefore AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{17^2 -8^2}=15$,
$\therefore △ ACE$的周长为$AE + CE + AC=AE + BE + AC=AB + AC=15 +8=23$.
13. 分类讨论思想|推理能力 [2026郑州中原区期中] 如图，点A是射线BM外的一点，连接AB。若AB =5 cm，点A到BM的距离为3 cm，动点P从点B出发沿射线BM以2 cm/s的速度运动。设运动的时间为t s，当△ABP为直角三角形时，求t的值。
答案
解:①
,当$∠ APB=90°$时,由题意可知$AP=3\ \mathrm{cm}$.在$\mathrm{Rt}△ ABP$中,$AP=3\ \mathrm{cm}$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,
根据勾股定理得,$BP=\sqrt{AB^2 - AP^2}=\sqrt{5^2 -3^2}=4(\mathrm{cm})$,
$\therefore 2t=4$,解得$t=2$.
②
,当$∠ BAP=90°$时,过点$A$作$AH ⊥ BM$于点$H$,由题意可知$AH=3\ \mathrm{cm}$.$\because AB=5\ \mathrm{cm}$,$BP=2t\ \mathrm{cm}$,$AH=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore BH=4\ \mathrm{cm}$,
$\therefore HP=(2t -4)\mathrm{cm}$.
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中,根据勾股定理,得$AP^2 = BP^2 - AB^2=(2t)^2 -5^2=4t^2 -25$,
在$\mathrm{Rt}△ APH$中,$AP^2 = AH^2 + HP^2=3^2 +(2t -4)^2=9 +(2t -4)^2$,
$\therefore 4t^2 -25=9 +(2t -4)^2$,解得$t=\frac{25}{8}$.
综上所述,当$△ ABP$为直角三角形时,$t$的值为$2$或$\frac{25}{8}$.
