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例1 (1) 已知$a=-2$，求$5a^2 - [3a - (2a - 3) + 4a^2]$的值；
(2) 已知$a^2 - ab = 8$，$ab - b^2 = -4$，求$a^2 - b^2$和$a^2 - 2ab + b^2$的值。
(2) 已知$a^2 - ab = 8$，$ab - b^2 = -4$，求$a^2 - b^2$和$a^2 - 2ab + b^2$的值。
答案
解：(1) 先化简原式：
$\begin{aligned}5a^2 - [3a - (2a - 3) + 4a^2]&=5a^2 - (3a - 2a + 3 + 4a^2)\\&=5a^2 - a - 3 - 4a^2\\&=a^2 - a - 3\end{aligned}$
将$a=-2$代入化简后的式子：
原式$=(-2)^2 - (-2) - 3 = 4 + 2 - 3 = 3$
(2) 计算$a^2 - b^2$：
$\begin{aligned}a^2 - b^2&=(a^2 - ab) + (ab - b^2)\\&=8 + (-4)\\&=4\end{aligned}$
计算$a^2 - 2ab + b^2$：
$\begin{aligned}a^2 - 2ab + b^2&=(a^2 - ab) - (ab - b^2)\\&=8 - (-4)\\&=12\end{aligned}$
综上，(1) 式子的值为$\boldsymbol{3}$；(2) $a^2 - b^2$的值为$\boldsymbol{4}$，$a^2 - 2ab + b^2$的值为$\boldsymbol{12}$。
$\begin{aligned}5a^2 - [3a - (2a - 3) + 4a^2]&=5a^2 - (3a - 2a + 3 + 4a^2)\\&=5a^2 - a - 3 - 4a^2\\&=a^2 - a - 3\end{aligned}$
将$a=-2$代入化简后的式子：
原式$=(-2)^2 - (-2) - 3 = 4 + 2 - 3 = 3$
(2) 计算$a^2 - b^2$：
$\begin{aligned}a^2 - b^2&=(a^2 - ab) + (ab - b^2)\\&=8 + (-4)\\&=4\end{aligned}$
计算$a^2 - 2ab + b^2$：
$\begin{aligned}a^2 - 2ab + b^2&=(a^2 - ab) - (ab - b^2)\\&=8 - (-4)\\&=12\end{aligned}$
综上，(1) 式子的值为$\boldsymbol{3}$；(2) $a^2 - b^2$的值为$\boldsymbol{4}$，$a^2 - 2ab + b^2$的值为$\boldsymbol{12}$。
例2 按图3-2所示的方式将点隔开分成5层，如果继续画下去，第6层画多少个点？第n层呢？
答案
解：观察图形，依次统计各层的点数：
第1层有1个点，
第2层有3个点，
第3层有5个点，
第4层有7个点，
第5层有9个点。
可得出规律：每层的点数依次增加2，是连续的奇数。
因此第6层的点数为：$9+2=11$
第$n$层的点数为：$2n-1$
答：第6层画11个点，第$n$层画$(2n-1)$个点。
第1层有1个点，
第2层有3个点，
第3层有5个点，
第4层有7个点，
第5层有9个点。
可得出规律：每层的点数依次增加2，是连续的奇数。
因此第6层的点数为：$9+2=11$
第$n$层的点数为：$2n-1$
答：第6层画11个点，第$n$层画$(2n-1)$个点。
例3 某快递公司承办A，B两地间的快递业务，收费标准为：当货物质量不超过10 kg时，收费10元/kg；当货物质量超过10 kg时，超过部分收费6元/kg.
（1）设货物质量为x kg，写出当x不超过10 kg和x超过10 kg时，应分别收费多少元；
（2）当货物质量为6.5 kg和25 kg时，应分别收多少费用？
（1）设货物质量为x kg，写出当x不超过10 kg和x超过10 kg时，应分别收费多少元；
（2）当货物质量为6.5 kg和25 kg时，应分别收多少费用？
答案
解：
（1）当x不超过10 kg，即$0 ＜ x ≤ 10$时，收费为$10x$元；
当x超过10 kg，即$x ＞ 10$时，收费为：
$10×10 + 6(x-10) = 6x + 40$（元）。
（2）当货物质量为6.5 kg时，$6.5 ＜ 10$，代入$10x$得：
$10×6.5 = 65$（元）
当货物质量为25 kg时，$25 ＞ 10$，代入$6x+40$得：
$6×25 + 40 = 190$（元）
答：货物质量为6.5 kg时应收费用65元，货物质量为25 kg时应收费用190元。
（1）当x不超过10 kg，即$0 ＜ x ≤ 10$时，收费为$10x$元；
当x超过10 kg，即$x ＞ 10$时，收费为：
$10×10 + 6(x-10) = 6x + 40$（元）。
（2）当货物质量为6.5 kg时，$6.5 ＜ 10$，代入$10x$得：
$10×6.5 = 65$（元）
当货物质量为25 kg时，$25 ＞ 10$，代入$6x+40$得：
$6×25 + 40 = 190$（元）
答：货物质量为6.5 kg时应收费用65元，货物质量为25 kg时应收费用190元。
（1）单项式$-\dfrac{2π ab^2c}{3}$的系数是________，次数是________，多项式$xy - 2x + 1$的次数是________。
答案
解：
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，因此单项式$-\dfrac{2π ab^2c}{3}$的系数是$-\dfrac{2π}{3}$；
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，该单项式中字母$a,b,c$的指数分别为1、2、1，$1+2+1=4$，因此次数是4；
多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，多项式$xy-2x+1$中最高次项为$xy$，次数为2，因此该多项式的次数是2。
答案依次为：$-\dfrac{2π}{3}$；$4$；$2$。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，因此单项式$-\dfrac{2π ab^2c}{3}$的系数是$-\dfrac{2π}{3}$；
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，该单项式中字母$a,b,c$的指数分别为1、2、1，$1+2+1=4$，因此次数是4；
多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，多项式$xy-2x+1$中最高次项为$xy$，次数为2，因此该多项式的次数是2。
答案依次为：$-\dfrac{2π}{3}$；$4$；$2$。
(2) 计算：$b-[a-(b-a)]=$ .
答案
解：
$b-[a-(b-a)]$
$=b-(a-b+a)$
$=b-a+b-a$
$=2b-2a$
最终结果：$\boldsymbol{2b-2a}$
$b-[a-(b-a)]$
$=b-(a-b+a)$
$=b-a+b-a$
$=2b-2a$
最终结果：$\boldsymbol{2b-2a}$
（3）已知$x+y=3$，则$-2x-2y+1$的值为。
（4）如图，每个图案都由若干个小圆圈组成，照此规律，第$n$个图案中小圆圈的总个数用含$n$的代数式表示为。
（5）按照规律书写代数式：$x$，$-2x^2$，$3x^3$，$-4x^4$，$5x^5$，$-6x^6$，…第100项为，第101项为。
（4）如图，每个图案都由若干个小圆圈组成，照此规律，第$n$个图案中小圆圈的总个数用含$n$的代数式表示为。
（5）按照规律书写代数式：$x$，$-2x^2$，$3x^3$，$-4x^4$，$5x^5$，$-6x^6$，…第100项为，第101项为。
答案
解：
(3)
$\because x+y=3$
$\therefore -2x-2y+1=-2(x+y)+1=-2×3+1=-5$
(4)
第1个图案小圆圈个数为$1=1^2$，
第2个图案小圆圈个数为$4=2^2$，
第3个图案小圆圈个数为$9=3^2$，
以此类推，第$n$个图案中小圆圈的总个数为$n^2$。
(5)
观察规律可知：第$k$项的系数绝对值为$k$，奇数项系数为正，偶数项系数为负，$x$的次数为$k$。
因此第100项为$-100x^{100}$，第101项为$101x^{101}$。
答案依次为：$\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{n^2}$；$\boldsymbol{-100x^{100}}$；$\boldsymbol{101x^{101}}$。
(3)
$\because x+y=3$
$\therefore -2x-2y+1=-2(x+y)+1=-2×3+1=-5$
(4)
第1个图案小圆圈个数为$1=1^2$，
第2个图案小圆圈个数为$4=2^2$，
第3个图案小圆圈个数为$9=3^2$，
以此类推，第$n$个图案中小圆圈的总个数为$n^2$。
(5)
观察规律可知：第$k$项的系数绝对值为$k$，奇数项系数为正，偶数项系数为负，$x$的次数为$k$。
因此第100项为$-100x^{100}$，第101项为$101x^{101}$。
答案依次为：$\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{n^2}$；$\boldsymbol{-100x^{100}}$；$\boldsymbol{101x^{101}}$。
