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例1 如图6.2.5，已知∠α和∠β，请用直尺和圆规作图.
（1）作∠AOB，使得∠AOB=∠α+∠β；
（2）作∠COD，使得∠COD=∠β−∠α.
（1）作∠AOB，使得∠AOB=∠α+∠β；
（2）作∠COD，使得∠COD=∠β−∠α.
答案
解：
(1) 作法：
① 作射线OA；
② 用尺规作∠AOM = ∠α；
③ 在∠AOM的外部，以OM为一边，用尺规作∠MOB = ∠β；
则∠AOB即为所求作的角，满足∠AOB = ∠α + ∠β。
(2) 作法：
① 作射线OC；
② 用尺规作∠COE = ∠β；
③ 在∠COE的内部，以OE为一边，用尺规作∠EOD = ∠α；
则∠COD即为所求作的角，满足∠COD = ∠β - ∠α。
(1) 作法：
① 作射线OA；
② 用尺规作∠AOM = ∠α；
③ 在∠AOM的外部，以OM为一边，用尺规作∠MOB = ∠β；
则∠AOB即为所求作的角，满足∠AOB = ∠α + ∠β。
(2) 作法：
① 作射线OC；
② 用尺规作∠COE = ∠β；
③ 在∠COE的内部，以OE为一边，用尺规作∠EOD = ∠α；
则∠COD即为所求作的角，满足∠COD = ∠β - ∠α。
例2 如图6.2.6，∠AOD=80°，射线OC从∠AOD的边OA出发，绕点O向边OD旋转，OB平分∠AOC，当∠BOC：∠COD=1：2时，求∠AOB的大小。
图6.2.6
图6.2.6答案
解：
设∠BOC = x，
∵ OB平分∠AOC，
∴ ∠AOB = ∠BOC = x，∠AOC = 2x。
∵ ∠BOC:∠COD = 1:2，
∴ ∠COD = 2x。
∵ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 80°，
∴ 2x + 2x = 80°，
解得x = 20°，
即∠AOB = 20°。
答：∠AOB的大小为20°。
设∠BOC = x，
∵ OB平分∠AOC，
∴ ∠AOB = ∠BOC = x，∠AOC = 2x。
∵ ∠BOC:∠COD = 1:2，
∴ ∠COD = 2x。
∵ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 80°，
∴ 2x + 2x = 80°，
解得x = 20°，
即∠AOB = 20°。
答：∠AOB的大小为20°。
1. 射线BD在∠ABC内部,下列式子中不能说明BD是∠ABC的平分线的是 （）
A.$∠ ABC=2∠ ABD$
B.$∠ ABD+∠ CBD=∠ ABC$
C.$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC$
D.$∠ ABD=∠ CBD$
A.$∠ ABC=2∠ ABD$
B.$∠ ABD+∠ CBD=∠ ABC$
C.$∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC$
D.$∠ ABD=∠ CBD$
答案
B
解析
根据角平分线的定义：从角的顶点出发，将一个角分成两个相等的角的射线是这个角的平分线，逐一分析：
1. 选项A：由∠ABC=2∠ABD，可得∠ABD=∠CBD，能说明BD是∠ABC的平分线；
2. 选项B：射线BD在∠ABC内部时，恒有∠ABD+∠CBD=∠ABC，无法推出∠ABD和∠CBD相等，不能说明BD是∠ABC的平分线；
3. 选项C：由∠CBD=1/2∠ABC，可得∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC，能说明BD是∠ABC的平分线；
4. 选项D：∠ABD=∠CBD直接符合角平分线的定义，能说明BD是∠ABC的平分线。
1. 选项A：由∠ABC=2∠ABD，可得∠ABD=∠CBD，能说明BD是∠ABC的平分线；
2. 选项B：射线BD在∠ABC内部时，恒有∠ABD+∠CBD=∠ABC，无法推出∠ABD和∠CBD相等，不能说明BD是∠ABC的平分线；
3. 选项C：由∠CBD=1/2∠ABC，可得∠ABD=∠CBD=1/2∠ABC，能说明BD是∠ABC的平分线；
4. 选项D：∠ABD=∠CBD直接符合角平分线的定义，能说明BD是∠ABC的平分线。
2. 对于任意的$∠α$和$∠β$，下列关于其大小关系的说法正确的是 （）
A.$∠α＞∠β$
B.不是$∠α＞∠β$，就是$∠α＜∠β$
C.$∠α=∠β$
D.$∠α＞∠β$，$∠α=∠β$，$∠α＜∠β$这三种关系中必有一种正确
A.$∠α＞∠β$
B.不是$∠α＞∠β$，就是$∠α＜∠β$
C.$∠α=∠β$
D.$∠α＞∠β$，$∠α=∠β$，$∠α＜∠β$这三种关系中必有一种正确
答案
D
解析
对于任意两个角∠α和∠β，角的大小关系有且仅有三种可能：∠α＞∠β、∠α=∠β、∠α＜∠β，三者中必定有且只有一种成立。选项A直接判定∠α＞∠β，不符合任意角的情况，错误；选项B漏掉了两角相等的情况，错误；选项C直接判定∠α=∠β，不符合任意角的情况，错误；选项D的描述符合角的大小比较的基本性质，正确。
3. 如图，$∠ AOB$可以看成由$OA$绕点$O$按逆时针方向旋转而成，$∠ AOC$可以看成由$OA$绕点$O$按逆时针方向旋转而成，则$∠ AOB$与$∠ AOC$的大小关系为。
答案
解：由图可知，射线OB在∠AOC的内部，因此$∠ AOB ＜ ∠ AOC$。
