4. 如图，$∠ AOB$ 是直角，$∠ BOC = 32°$，$OD$ 平分$∠ AOC$，则$∠ AOD =$ $°$。

$\boldsymbol{61}$

解：
∵ ∠AOB是直角，
∴ ∠AOB = 90°，
∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 32° = 122°，
又∵ OD平分∠AOC，
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×122° = 61°。

5. 如图，OE是$∠ AOD$的平分线，OC是$∠ BOD$的平分线.
(1) 如果$∠ AOD=90°$，$∠ BOD=40°$，那么$∠ COE$是多少度？
(2) 如果$∠ AOD=α$，$∠ BOD=β$，那么$∠ COE$是多少度？

解：
(1) ∵ OE是∠AOD的平分线，∠AOD=90°，
∴ ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}×90° = 45°$。
∵ OC是∠BOD的平分线，∠BOD=40°，
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×40° = 20°$。
∴ ∠COE = ∠DOE + ∠DOC = 45° + 20° = 65°。
(2) ∵ OE是∠AOD的平分线，∠AOD=α，
∴ ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}α$。
∵ OC是∠BOD的平分线，∠BOD=β，
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}β$。
∴ ∠COE = ∠DOE + ∠DOC = $\frac{1}{2}α + \frac{1}{2}β = \frac{1}{2}(α+β)$。

6. 如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF.
（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由；
（2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数.

解：
(1) $∠ EOF = ∠ EOB$，理由如下：
$\because ∠ DOE = 90°$，
$\therefore ∠ DOF + ∠ EOF = 90°$，
又$\because$ 点$O$在直线$AB$上，
$\therefore ∠ AOD + ∠ EOB = 180° - ∠ DOE = 90°$，
$\because OD$平分$∠ AOF$，
$\therefore ∠ AOD = ∠ DOF$，
根据等角的余角相等，可得$∠ EOF = ∠ EOB$。
(2) $\because OF$平分$∠ AOE$，
$\therefore ∠ AOF = ∠ EOF$，
由(1)知$∠ EOF = ∠ EOB$，
$\therefore ∠ AOF = ∠ EOF = ∠ EOB$，
又$\because ∠ AOF + ∠ EOF + ∠ EOB = 180°$，
$\therefore 3∠ BOE = 180°$，
$\therefore ∠ BOE = 60°$。

7. 如图，O为直线AB上的一点，OD平分∠AOC，∠EOD＝90°。
（1）当∠AOC＝40°时，求∠BOE的度数，并判断此时OE是否平分∠BOC。
（2）当∠AOC＝50°或60°时，OE是否仍平分∠BOC？请通过计算说明。

解：(1)
∵ OD平分∠AOC，∠AOC=40°
∴ ∠AOD = ∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC = 20°
∵ ∠EOD=90°
∴ ∠AOE = ∠AOD + ∠EOD = 20°+90°=110°
∵ O为直线AB上的点，∠AOB=180°
∴ ∠BOE = 180° - ∠AOE = 180° - 110° = 70°
∵ ∠COE = ∠EOD - ∠COD = 90° - 20° =70°
∴ ∠COE = ∠BOE
此时OE平分∠BOC。
(2) 当∠AOC=50°时：
∵ OD平分∠AOC
∴ ∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$×50°=25°
∵ ∠EOD=90°
∴ ∠COE=90° - ∠COD = 90° -25°=65°
∵ ∠BOE=180° - ∠AOD - ∠EOD = 180° -25° -90°=65°
∴ ∠COE=∠BOE，OE平分∠BOC。
当∠AOC=60°时：
∵ OD平分∠AOC
∴ ∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$×60°=30°
∵ ∠EOD=90°
∴ ∠COE=90° - ∠COD =90°-30°=60°
∵ ∠BOE=180° - ∠AOD - ∠EOD =180°-30°-90°=60°
∴ ∠COE=∠BOE，OE平分∠BOC。
综上，当∠AOC=50°或60°时，OE仍平分∠BOC。