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1. 下列方程为一元一次方程的是 （）
A.$\frac{1}{y} + y = 2$
B.$x + 2 = 3y$
C.$x^2 = 2x$
D.$y + 1 = 2$
A.$\frac{1}{y} + y = 2$
B.$x + 2 = 3y$
C.$x^2 = 2x$
D.$y + 1 = 2$
答案
D
解析
根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数为1，且等号两边均为整式的方程是一元一次方程。逐一判断：
1. 选项A：方程分母含有未知数，属于分式方程，不符合一元一次方程要求；
2. 选项B：方程含有x、y两个未知数，是二元方程，不符合要求；
3. 选项C：未知数x的最高次数为2，是一元二次方程，不符合要求；
4. 选项D：仅含未知数y，未知数次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义。
1. 选项A：方程分母含有未知数，属于分式方程，不符合一元一次方程要求；
2. 选项B：方程含有x、y两个未知数，是二元方程，不符合要求；
3. 选项C：未知数x的最高次数为2，是一元二次方程，不符合要求；
4. 选项D：仅含未知数y，未知数次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义。
2. 下列方程中,解为$x=2$的方程是（）
A.$-x+6=2x$
B.$4-2(x-1)=1$
C.$3x-2=3$
D.$\frac{1}{2}x+1=0$
A.$-x+6=2x$
B.$4-2(x-1)=1$
C.$3x-2=3$
D.$\frac{1}{2}x+1=0$
答案
A
解析
将x=2分别代入各方程的左右两边验证：
1. 代入选项A：左边=-2+6=4，右边=2×2=4，左边=右边，x=2是该方程的解；
2. 代入选项B：左边=4-2×(2-1)=2≠1，x=2不是该方程的解；
3. 代入选项C：左边=3×2-2=4≠3，x=2不是该方程的解；
4. 代入选项D：左边=$\frac{1}{2}$×2+1=2≠0，x=2不是该方程的解。
1. 代入选项A：左边=-2+6=4，右边=2×2=4，左边=右边，x=2是该方程的解；
2. 代入选项B：左边=4-2×(2-1)=2≠1，x=2不是该方程的解；
3. 代入选项C：左边=3×2-2=4≠3，x=2不是该方程的解；
4. 代入选项D：左边=$\frac{1}{2}$×2+1=2≠0，x=2不是该方程的解。
3. 解方程 $1-\dfrac{x+3}{6}=\dfrac{x}{2}$，去分母，得 （）
A.$1-x-3=3x$
B.$6-x-3=3x$
C.$6-x+3=3x$
D.$1-x+3=3x$
A.$1-x-3=3x$
B.$6-x-3=3x$
C.$6-x+3=3x$
D.$1-x+3=3x$
答案
B
解析
方程两边同时乘分母的最小公倍数6，得$1×6 - (x+3) = \frac{x}{2}×6$，去括号后得到$6 - x - 3 = 3x$。
4. 下列等式变形中,错误的有 （）
① 由等式 $8x = 4$,得 $x = 2$;② 由等式 $\frac{3x}{5} = \frac{5}{3}$,两边同除以 $\frac{3}{5}$,得 $x = 1$;③ 由等式 $x - 2 = 2x + 3$,得 $x = 5$;④ 由等式 $-3(x - 1) = 9$,得 $x - 1 = -3$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
① 由等式 $8x = 4$,得 $x = 2$;② 由等式 $\frac{3x}{5} = \frac{5}{3}$,两边同除以 $\frac{3}{5}$,得 $x = 1$;③ 由等式 $x - 2 = 2x + 3$,得 $x = 5$;④ 由等式 $-3(x - 1) = 9$,得 $x - 1 = -3$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
逐个验证等式变形：
① 等式$8x=4$两边同时除以8，得$x=\frac{1}{2}≠2$，变形错误；
② 等式$\frac{3x}{5}=\frac{5}{3}$两边同除以$\frac{3}{5}$，得$x=\frac{25}{9}≠1$，变形错误；
③ 等式$x-2=2x+3$移项计算得$x=-5≠5$，变形错误；
④ 等式$-3(x-1)=9$两边同时除以$-3$，得$x-1=-3$，变形正确。
综上错误的变形共3个。
① 等式$8x=4$两边同时除以8，得$x=\frac{1}{2}≠2$，变形错误；
② 等式$\frac{3x}{5}=\frac{5}{3}$两边同除以$\frac{3}{5}$，得$x=\frac{25}{9}≠1$，变形错误；
③ 等式$x-2=2x+3$移项计算得$x=-5≠5$，变形错误；
④ 等式$-3(x-1)=9$两边同时除以$-3$，得$x-1=-3$，变形正确。
综上错误的变形共3个。
5. 已知3是关于x的方程$2(x-a)=3(7-2x)-2$的解，则a的值是（）
A.$-5$
B.$5$
C.$\frac{5}{2}$
D.$-\frac{5}{2}$
A.$-5$
B.$5$
C.$\frac{5}{2}$
D.$-\frac{5}{2}$
答案
C
解析
将x=3代入方程$2(x-a)=3(7-2x)-2$，得：
$2(3-a)=3×(7-2×3)-2$
计算右边得：$3×1 - 2=1$
去括号：$6-2a=1$
移项：$-2a=1-6$，即$-2a=-5$
系数化为1：$a=\frac{5}{2}$
$2(3-a)=3×(7-2×3)-2$
计算右边得：$3×1 - 2=1$
去括号：$6-2a=1$
移项：$-2a=1-6$，即$-2a=-5$
系数化为1：$a=\frac{5}{2}$
6. 如果$ x=-2 $是关于$ x $的方程$ ax+b=5-2x $的解，那么$ 3+4a-2b $的值为（）
A.1
B.−15
C.21
D.5
A.1
B.−15
C.21
D.5
答案
B
解析
把$x=-2$代入方程$ax+b=5-2x$，得：$-2a + b = 5 - 2×(-2)$，化简得$-2a + b = 9$。将等式两边同时乘$-2$，得$4a - 2b = -18$。把$4a-2b=-18$代入$3+4a-2b$，计算得$3 + (-18) = -15$。
7. 方程$2x+6=0$的解是.
答案
$\boldsymbol{x=-3}$
解析
解：
移项，得 $2x = -6$，
系数化为1，得 $x = -3$。
移项，得 $2x = -6$，
系数化为1，得 $x = -3$。
8. 写一个一元一次方程，使得它的一个解为1，则这个方程为.
答案
解：$x-1=0$（答案不唯一）
9. x 的3倍与4的和等于x的5倍与2的差，方程可列为.
答案
解：
x的3倍表示为$3x$，与4的和为$3x+4$；x的5倍表示为$5x$，与2的差为$5x-2$，根据两者相等的关系，可列方程为：
$3x+4=5x-2$
x的3倍表示为$3x$，与4的和为$3x+4$；x的5倍表示为$5x$，与2的差为$5x-2$，根据两者相等的关系，可列方程为：
$3x+4=5x-2$
10.《九章算术》中有这样一个问题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.问人数,金价各几何? 其大意是:假设合伙买金,每人出 400 钱,则多出 3 400 钱;每人出 300 钱,则多出 100 钱.根据题意,合伙买金人共有人.
答案
解：设合伙买金人共有x人。
根据题意列方程：
$400x - 3400 = 300x - 100$
移项得：$400x - 300x = 3400 - 100$
合并同类项得：$100x = 3300$
系数化为1得：$x = 33$
答：合伙买金人共有33人。
根据题意列方程：
$400x - 3400 = 300x - 100$
移项得：$400x - 300x = 3400 - 100$
合并同类项得：$100x = 3300$
系数化为1得：$x = 33$
答：合伙买金人共有33人。
11. 某文艺团体组织了一场慈善义演，共售出1 800张门票，已知成人票每张80元，学生票每张50元，共得票款126 000元，则成人票售出了张.
答案
解：设成人票售出了x张，则学生票售出了$(1800 - x)$张。
根据题意列方程：
$80x + 50(1800 - x) = 126000$
去括号，得：
$80x + 90000 - 50x = 126000$
移项、合并同类项，得：
$30x = 36000$
系数化为1，得：
$x = 1200$
答：成人票售出了1200张。
根据题意列方程：
$80x + 50(1800 - x) = 126000$
去括号，得：
$80x + 90000 - 50x = 126000$
移项、合并同类项，得：
$30x = 36000$
系数化为1，得：
$x = 1200$
答：成人票售出了1200张。
12. 对于非零的两个数$a,b$,规定$a\oplus b=ab+(a-b)$,若$2\oplus (x-1)=2x+4$,则$x$的值为.
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
解：
根据题中规定的运算，将$2\oplus (x-1)$展开可得：
$2(x-1) + [2 - (x-1)] = 2x + 4$
去括号：
$2x - 2 + 2 - x + 1 = 2x + 4$
合并同类项：
$x + 1 = 2x + 4$
移项：
$x - 2x = 4 - 1$
合并同类项：
$-x = 3$
系数化为1：
$x = -3$
根据题中规定的运算，将$2\oplus (x-1)$展开可得：
$2(x-1) + [2 - (x-1)] = 2x + 4$
去括号：
$2x - 2 + 2 - x + 1 = 2x + 4$
合并同类项：
$x + 1 = 2x + 4$
移项：
$x - 2x = 4 - 1$
合并同类项：
$-x = 3$
系数化为1：
$x = -3$
