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1.方程$(x-1)(x+2)=0$的两个根为(
A.$x_1=-1,x_2=2$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=-2$
D
).A.$x_1=-1,x_2=2$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=-2$
答案
1.D
解析
【分析】
解答本题可利用因式分解法解一元二次方程的思路：当两个因式的乘积为0时，至少有一个因式的值为0，因此只需分别令两个一次因式等于0，解对应的一元一次方程即可得到原方程的根，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据“若两个数的乘积为0，则其中至少有一个数为0”的性质，由$(x-1)(x+2)=0$可得：
$x-1=0$ 或 $x+2=0$
解$x-1=0$，得$x_1=1$；
解$x+2=0$，得$x_2=-2$。
因此方程的两个根为$x_1=1,x_2=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查因式分解法的应用，熟练掌握相关原理就能快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
解答本题可利用因式分解法解一元二次方程的思路：当两个因式的乘积为0时，至少有一个因式的值为0，因此只需分别令两个一次因式等于0，解对应的一元一次方程即可得到原方程的根，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据“若两个数的乘积为0，则其中至少有一个数为0”的性质，由$(x-1)(x+2)=0$可得：
$x-1=0$ 或 $x+2=0$
解$x-1=0$，得$x_1=1$；
解$x+2=0$，得$x_2=-2$。
因此方程的两个根为$x_1=1,x_2=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，核心考查因式分解法的应用，熟练掌握相关原理就能快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
2.一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的解是（
A.$x_1=3,x_2=1$
B.$x_1=2,x_2=0$
C.$x_1=3,x_2=-2$
D.$x_1=-2,x_2=-1$
B
）.A.$x_1=3,x_2=1$
B.$x_1=2,x_2=0$
C.$x_1=3,x_2=-2$
D.$x_1=-2,x_2=-1$
答案
2.B
解析
【分析】
首先观察给定的一元二次方程，发现方程不含常数项，左侧多项式存在公因式$x$可提取，因此优先选择因式分解法求解。解题思路为：先对左侧多项式因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，最后对照选项选出对应答案即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 2x = 0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘法零积性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，$x_1=0$；
当$x-2=0$时，$x_2=2$。
因此方程的解为$x_1=2,x_2=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零积性质的应用
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，熟练掌握因式分解法的适用特征，就能快速准确求出方程的解，无需使用更繁琐的配方法、公式法求解。
【难度系数】
0.9
首先观察给定的一元二次方程，发现方程不含常数项，左侧多项式存在公因式$x$可提取，因此优先选择因式分解法求解。解题思路为：先对左侧多项式因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，最后对照选项选出对应答案即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 2x = 0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘法零积性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，$x_1=0$；
当$x-2=0$时，$x_2=2$。
因此方程的解为$x_1=2,x_2=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零积性质的应用
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查题，熟练掌握因式分解法的适用特征，就能快速准确求出方程的解，无需使用更繁琐的配方法、公式法求解。
【难度系数】
0.9
3.若代数式$x^2 -6x +5$的值等于12，那么x的值为(
A.1或5
B.7或-1
C.-1或-5
D.-7或1
B
).A.1或5
B.7或-1
C.-1或-5
D.-7或1
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先根据“代数式的值等于12”这一条件列出等式，将问题转化为解一元二次方程的问题；随后把方程整理为一元二次方程的标准形式，再选择合适的方法（如因式分解法、配方法等）求解方程，最后将解和选项对应即可得到答案。
【解析】
根据题意可列方程：
$x^2 -6x +5 = 12$
移项整理得标准一元二次方程：
$x^2 -6x -7 = 0$
用因式分解法解方程，将方程左边分解因式：
$(x - 7)(x + 1) = 0$
则有$x - 7 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_1 = 7$，$x_2 = -1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
解一元二次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据代数式的值列方程的能力以及一元二次方程的求解能力，解题时注意移项的符号变化，熟练掌握一元二次方程的常见解法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“代数式的值等于12”这一条件列出等式，将问题转化为解一元二次方程的问题；随后把方程整理为一元二次方程的标准形式，再选择合适的方法（如因式分解法、配方法等）求解方程，最后将解和选项对应即可得到答案。
【解析】
根据题意可列方程：
$x^2 -6x +5 = 12$
移项整理得标准一元二次方程：
$x^2 -6x -7 = 0$
用因式分解法解方程，将方程左边分解因式：
$(x - 7)(x + 1) = 0$
则有$x - 7 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_1 = 7$，$x_2 = -1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
解一元二次方程，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据代数式的值列方程的能力以及一元二次方程的求解能力，解题时注意移项的符号变化，熟练掌握一元二次方程的常见解法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4.解方程$2(4x-3)^2=3(4x-3)$最适当的方法是(
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
D
).A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
答案
4.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确各类一元二次方程解法的适用特征，再结合题干方程的结构判断最优解法：首先观察方程可发现左右两边都含有相同的整式因式$(4x-3)$，若将右边的项移到左边，可直接提取公因式将方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，无需展开整理方程，计算量最小。再逐一排除其他方法：直接开平方法要求右边为非负常数，本题右边含未知数，不符合；配方法、公式法均需先将方程展开为一般形式，步骤更繁琐，因此最适当的方法为因式分解法。
【解析】
观察方程结构：方程两边均含有公因式$4x-3$，按如下步骤判断：
1. 先移项得：$2(4x-3)^2 - 3(4x-3) = 0$
2. 提取公因式$4x-3$可得：$(4x-3)[2(4x-3)-3] = 0$，直接转化为两个一元一次方程即可求解，步骤最简。
对比其他选项：
A.直接开平方法仅适用于左边为完全平方式、右边为非负常数的一元二次方程，本题右边含未知数项，不适用；
B.配方法、C.公式法均需先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式，计算更繁琐，不是最优解法。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；因式分解法解一元二次方程；提取公因式
【点评】
本题考查一元二次方程最优解法的选取，解题核心是先观察方程的结构特征，优先选择计算量小、操作简便的解法，当方程两边存在公共的整式因式时，因式分解法是首选解法，可有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确各类一元二次方程解法的适用特征，再结合题干方程的结构判断最优解法：首先观察方程可发现左右两边都含有相同的整式因式$(4x-3)$，若将右边的项移到左边，可直接提取公因式将方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，无需展开整理方程，计算量最小。再逐一排除其他方法：直接开平方法要求右边为非负常数，本题右边含未知数，不符合；配方法、公式法均需先将方程展开为一般形式，步骤更繁琐，因此最适当的方法为因式分解法。
【解析】
观察方程结构：方程两边均含有公因式$4x-3$，按如下步骤判断：
1. 先移项得：$2(4x-3)^2 - 3(4x-3) = 0$
2. 提取公因式$4x-3$可得：$(4x-3)[2(4x-3)-3] = 0$，直接转化为两个一元一次方程即可求解，步骤最简。
对比其他选项：
A.直接开平方法仅适用于左边为完全平方式、右边为非负常数的一元二次方程，本题右边含未知数项，不适用；
B.配方法、C.公式法均需先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式，计算更繁琐，不是最优解法。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；因式分解法解一元二次方程；提取公因式
【点评】
本题考查一元二次方程最优解法的选取，解题核心是先观察方程的结构特征，优先选择计算量小、操作简便的解法，当方程两边存在公共的整式因式时，因式分解法是首选解法，可有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
5.解方程.
(1) $x(x-2)=x-2$.
(2) $(2x-1)^2=(3-x)^2$.
(3) $(x-2)(x+3)=-6$.
(4) $(x+1)(x-1)+2(x+3)=8$.
(1) $x(x-2)=x-2$.
(2) $(2x-1)^2=(3-x)^2$.
(3) $(x-2)(x+3)=-6$.
(4) $(x+1)(x-1)+2(x+3)=8$.
答案
5.(1)$x_1=2,x_2=1$.
(2)$x_1=-2,x_2=\frac{4}{3}$.
(3)$x_1=0,x_2=-1$.
(4)$x_1=1,x_2=-3$.
(2)$x_1=-2,x_2=\frac{4}{3}$.
(3)$x_1=0,x_2=-1$.
(4)$x_1=1,x_2=-3$.
解析
【分析】
这四道题均为一元二次方程求解问题，解题时优先选择简便方法降低计算量：①若方程两边存在相同的含未知数因式，禁止直接除以该因式避免漏根，应先移项再提取公因式求解；②若方程左右两边均为完全平方式，可采用直接开平方法或平方差公式因式分解简化计算；③无简便结构的方程，先整理为一元二次方程的一般形式，优先尝试因式分解法求解，也可根据情况选择配方法、公式法计算。
【解析】
(1) 移项得：$x(x-2)-(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$得：$(x-2)(x-1)=0$
令每个因式为0，得$x-2=0$或$x-1=0$
解得：$x_1=2, x_2=1$
(2) 两边开平方得：$2x-1=\pm(3-x)$
分两种情况计算：
①当$2x-1=3-x$时，移项合并得$3x=4$，解得$x=\frac{4}{3}$
②当$2x-1=-(3-x)$时，化简得$2x-1=-3+x$，解得$x=-2$
综上，$x_1=-2, x_2=\frac{4}{3}$
(3) 展开左边整式得：$x^2+3x-2x-6=-6$
整理得：$x^2+x-6=-6$
移项合并同类项得：$x^2+x=0$
提取公因式$x$得：$x(x+1)=0$
令每个因式为0，得$x=0$或$x+1=0$
解得：$x_1=0, x_2=-1$
(4) 利用平方差公式展开并化简左边：
$x^2-1+2x+6=8$
整理得：$x^2+2x+5=8$
移项合并同类项得：$x^2+2x-3=0$
因式分解得：$(x+3)(x-1)=0$
令每个因式为0，得$x+3=0$或$x-1=0$
解得：$x_1=1, x_2=-3$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=1$；(2)$x_1=-2,x_2=\frac{4}{3}$；(3)$x_1=0,x_2=-1$；(4)$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
解一元二次方程；因式分解法；直接开平方法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查根据方程结构灵活选择简便解法的能力，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根问题，整式展开、移项时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
这四道题均为一元二次方程求解问题，解题时优先选择简便方法降低计算量：①若方程两边存在相同的含未知数因式，禁止直接除以该因式避免漏根，应先移项再提取公因式求解；②若方程左右两边均为完全平方式，可采用直接开平方法或平方差公式因式分解简化计算；③无简便结构的方程，先整理为一元二次方程的一般形式，优先尝试因式分解法求解，也可根据情况选择配方法、公式法计算。
【解析】
(1) 移项得：$x(x-2)-(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$得：$(x-2)(x-1)=0$
令每个因式为0，得$x-2=0$或$x-1=0$
解得：$x_1=2, x_2=1$
(2) 两边开平方得：$2x-1=\pm(3-x)$
分两种情况计算：
①当$2x-1=3-x$时，移项合并得$3x=4$，解得$x=\frac{4}{3}$
②当$2x-1=-(3-x)$时，化简得$2x-1=-3+x$，解得$x=-2$
综上，$x_1=-2, x_2=\frac{4}{3}$
(3) 展开左边整式得：$x^2+3x-2x-6=-6$
整理得：$x^2+x-6=-6$
移项合并同类项得：$x^2+x=0$
提取公因式$x$得：$x(x+1)=0$
令每个因式为0，得$x=0$或$x+1=0$
解得：$x_1=0, x_2=-1$
(4) 利用平方差公式展开并化简左边：
$x^2-1+2x+6=8$
整理得：$x^2+2x+5=8$
移项合并同类项得：$x^2+2x-3=0$
因式分解得：$(x+3)(x-1)=0$
令每个因式为0，得$x+3=0$或$x-1=0$
解得：$x_1=1, x_2=-3$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=1$；(2)$x_1=-2,x_2=\frac{4}{3}$；(3)$x_1=0,x_2=-1$；(4)$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
解一元二次方程；因式分解法；直接开平方法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查根据方程结构灵活选择简便解法的能力，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根问题，整式展开、移项时要注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.8
6.关于x的一元二次方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=2$，则这个方程可能是(
A.$(x+1)(x+2)=0$
B.$(x-1)(x-2)=0$
C.$(x+1)(x-2)=0$
D.$(x-1)(x+2)=0$
C
).A.$(x+1)(x+2)=0$
B.$(x-1)(x-2)=0$
C.$(x+1)(x-2)=0$
D.$(x-1)(x+2)=0$
答案
6.C
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个根，需要匹配对应的方程，解题核心是利用因式分解法解一元二次方程的逆向逻辑。我们知道，若一元二次方程因式分解后为两个一次因式乘积等于0的形式，则每个一次因式等于0时的解就是原方程的根；反过来，若已知方程的两个根$x_1$、$x_2$，就可以直接写出因式分解形式的方程：$(x-x_1)(x-x_2)=0$，代入根的数值后对比选项即可得到答案，代入时要注意符号不要写错。
【解析】
解：根据因式分解法解一元二次方程的逆用规律：若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则该方程可写为$\boldsymbol{(x - x_1)(x - x_2) = 0}$。
将$x_1=-1$，$x_2=2$代入上式，得：
$[x - (-1)](x - 2) = 0$
整理得：$(x+1)(x-2)=0$
对比各选项，C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确一元二次方程的根与分解后一次因式的对应关系，做题时注意代入负根时的符号变化，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的两个根，需要匹配对应的方程，解题核心是利用因式分解法解一元二次方程的逆向逻辑。我们知道，若一元二次方程因式分解后为两个一次因式乘积等于0的形式，则每个一次因式等于0时的解就是原方程的根；反过来，若已知方程的两个根$x_1$、$x_2$，就可以直接写出因式分解形式的方程：$(x-x_1)(x-x_2)=0$，代入根的数值后对比选项即可得到答案，代入时要注意符号不要写错。
【解析】
解：根据因式分解法解一元二次方程的逆用规律：若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则该方程可写为$\boldsymbol{(x - x_1)(x - x_2) = 0}$。
将$x_1=-1$，$x_2=2$代入上式，得：
$[x - (-1)](x - 2) = 0$
整理得：$(x+1)(x-2)=0$
对比各选项，C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确一元二次方程的根与分解后一次因式的对应关系，做题时注意代入负根时的符号变化，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.9
