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1.方程$(x-1)(x+2)=0$的两个根为(
A.$x_1=-1,x_2=2$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=-2$
D
).A.$x_1=-1,x_2=2$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=-2$
D.$x_1=1,x_2=-2$
答案
1.D
解析
【分析】
本题采用因式分解法求解一元二次方程，解题核心依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”。我们只需分别令两个一次因式等于0，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求解这两个一次方程就能得到原方程的根，再匹配对应选项即可。
【解析】
已知方程$(x-1)(x+2)=0$，根据乘积为0的性质可得：
$x-1=0$ 或 $x+2=0$
解$x-1=0$，得$x_1=1$；
解$x+2=0$，得$x_2=-2$。
因此方程的两个根为$x_1=1,x_2=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解方程；零乘积性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心考查对因式分解法解方程原理的理解，计算量小，掌握基本方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题采用因式分解法求解一元二次方程，解题核心依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”。我们只需分别令两个一次因式等于0，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求解这两个一次方程就能得到原方程的根，再匹配对应选项即可。
【解析】
已知方程$(x-1)(x+2)=0$，根据乘积为0的性质可得：
$x-1=0$ 或 $x+2=0$
解$x-1=0$，得$x_1=1$；
解$x+2=0$，得$x_2=-2$。
因此方程的两个根为$x_1=1,x_2=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解方程；零乘积性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心考查对因式分解法解方程原理的理解，计算量小，掌握基本方法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的解是（
A.$x_1=3,x_2=1$
B.$x_1=2,x_2=0$
C.$x_1=3,x_2=-2$
D.$x_1=-2,x_2=-1$
B
）.A.$x_1=3,x_2=1$
B.$x_1=2,x_2=0$
C.$x_1=3,x_2=-2$
D.$x_1=-2,x_2=-1$
答案
2.B
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的求解，观察方程左边没有常数项，优先选择因式分解法解题更简便。解题思路为：先对左边的多项式提取公因式进行因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解得到方程的两个根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘法的性质，乘积为0则至少有一个因式为0，因此有：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解这两个一元一次方程，得：
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
对应选项可知答案为B。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.一元二次方程的解
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，重点考查提取公因式法因式分解的应用，解题步骤简单，掌握因式分解法解一元二次方程的原理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程的求解，观察方程左边没有常数项，优先选择因式分解法解题更简便。解题思路为：先对左边的多项式提取公因式进行因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解得到方程的两个根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x - 2) = 0$
根据乘法的性质，乘积为0则至少有一个因式为0，因此有：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解这两个一元一次方程，得：
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
对应选项可知答案为B。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.一元二次方程的解
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，重点考查提取公因式法因式分解的应用，解题步骤简单，掌握因式分解法解一元二次方程的原理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3.若代数式$x^2 -6x +5$的值等于12，那么x的值为(
A.1或5
B.7或-1
C.-1或-5
D.-7或1
B
).A.1或5
B.7或-1
C.-1或-5
D.-7或1
答案
3.B
解析
【分析】
首先根据代数式的值等于12这一等量关系列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，选择简便的因式分解法求解方程，得到x的取值后对应选项即可。思考时要注意移项要变号，因式分解时十字相乘的符号不要出错。
【解析】
根据题意可列方程：
$x^2 -6x +5 = 12$
移项整理得：
$x^2 -6x -7 = 0$
对左边因式分解，十字相乘可得：
$(x - 7)(x + 1) = 0$
则$x - 7 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_1 = 7$，$x_2 = -1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据代数式的取值建立方程，以及解一元二次方程的能力，熟练掌握一元二次方程的因式分解、公式、配方法等常用解法，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
首先根据代数式的值等于12这一等量关系列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的一般形式，选择简便的因式分解法求解方程，得到x的取值后对应选项即可。思考时要注意移项要变号，因式分解时十字相乘的符号不要出错。
【解析】
根据题意可列方程：
$x^2 -6x +5 = 12$
移项整理得：
$x^2 -6x -7 = 0$
对左边因式分解，十字相乘可得：
$(x - 7)(x + 1) = 0$
则$x - 7 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_1 = 7$，$x_2 = -1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根据代数式的取值建立方程，以及解一元二次方程的能力，熟练掌握一元二次方程的因式分解、公式、配方法等常用解法，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
4.解方程$2(4x-3)^2=3(4x-3)$最适当的方法是(
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
D
).A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
答案
4.D
解析
【分析】
首先观察方程的结构特征，方程左右两边都含有相同的整式$(4x-3)$，解题时优先考虑能否通过移项提取公因式简化计算。再逐一分析各解法的适用条件：直接开平方法适用于一边是含未知数的完全平方式、另一边是常数的方程，本题右边含未知数，不适用；配方法和公式法需要先将方程展开整理为一般形式，计算步骤更繁琐；而移项后提取公因式即可将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，计算最简便，因此优先选择因式分解法。
【解析】
观察方程$2(4x-3)^2=3(4x-3)$的结构，左右两边均含有公因式$4x-3$：
1. 先移项，将右边的项移到左边，得$2(4x-3)^2 - 3(4x-3)=0$；
2. 提取公因式$4x-3$，可得$(4x-3)[2(4x-3)-3]=0$，即可直接降次求解，无需展开整理为一元二次方程的一般形式，计算量最小。
其余方法对比：直接开平方法要求方程右边为常数，本题不满足；配方法、公式法需要先展开方程整理为一般形式，步骤更繁琐，因此最适当的方法是因式分解法。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程最优解法的选择，解题时需先观察方程的结构特征，优先选择计算最简便的方法，能够有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
首先观察方程的结构特征，方程左右两边都含有相同的整式$(4x-3)$，解题时优先考虑能否通过移项提取公因式简化计算。再逐一分析各解法的适用条件：直接开平方法适用于一边是含未知数的完全平方式、另一边是常数的方程，本题右边含未知数，不适用；配方法和公式法需要先将方程展开整理为一般形式，计算步骤更繁琐；而移项后提取公因式即可将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，计算最简便，因此优先选择因式分解法。
【解析】
观察方程$2(4x-3)^2=3(4x-3)$的结构，左右两边均含有公因式$4x-3$：
1. 先移项，将右边的项移到左边，得$2(4x-3)^2 - 3(4x-3)=0$；
2. 提取公因式$4x-3$，可得$(4x-3)[2(4x-3)-3]=0$，即可直接降次求解，无需展开整理为一元二次方程的一般形式，计算量最小。
其余方法对比：直接开平方法要求方程右边为常数，本题不满足；配方法、公式法需要先展开方程整理为一般形式，步骤更繁琐，因此最适当的方法是因式分解法。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程最优解法的选择，解题时需先观察方程的结构特征，优先选择计算最简便的方法，能够有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.8
5.解方程.
(1) $x(x-2)=x-2$.
(2) $(2x-1)^2=(3-x)^2$.
(3) $(x-2)(x+3)=-6$.
(4) $(x+1)(x-1)+2(x+3)=8$.
(1) $x(x-2)=x-2$.
(2) $(2x-1)^2=(3-x)^2$.
(3) $(x-2)(x+3)=-6$.
(4) $(x+1)(x-1)+2(x+3)=8$.
答案
5.(1)$x_1=2,x_2=1$.
(2)$x_1=-2,x_2=\frac{4}{3}$.
(3)$x_1=0,x_2=-1$.
(4)$x_1=1,x_2=-3$.
(2)$x_1=-2,x_2=\frac{4}{3}$.
(3)$x_1=0,x_2=-1$.
(4)$x_1=1,x_2=-3$.
解析
【分析】
这四道题均为一元二次方程求解类题目，解题核心思路是利用“降次”思想，优先选择因式分解法简化计算：首先将方程整理为右侧为0的形式，再观察式子特点选择提公因式法、平方差公式法，或先展开化简再因式分解，将二次方程转化为两个一次方程求解，注意不要随意约去含未知数的整式，避免漏根。
【解析】
(1) 移项得：$x(x-2)-(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$得：$(x-2)(x-1)=0$
则$x-2=0$或$x-1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
(2) 移项得：$(2x-1)^2-(3-x)^2=0$
利用平方差公式因式分解得：$[(2x-1)-(3-x)][(2x-1)+(3-x)]=0$
化简括号内的式子得：$(3x-4)(x+2)=0$
则$3x-4=0$或$x+2=0$
解得$x_1=\frac{4}{3}$，$x_2=-2$。
(3) 先展开左侧式子得：$x^2+3x-2x-6=-6$
整理移项得：$x^2+x=0$
提取公因式$x$得：$x(x+1)=0$
则$x=0$或$x+1=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
(4) 先展开化简左侧式子得：$x^2-1+2x+6=8$
整理移项得：$x^2+2x-3=0$
因式分解得：$(x+3)(x-1)=0$
则$x+3=0$或$x-1=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=1$；
(2)$x_1=-2,x_2=\frac{4}{3}$；
(3)$x_1=0,x_2=-1$；
(4)$x_1=1,x_2=-3$。
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.平方差公式
3.整式乘法运算
【点评】
这几道题是解一元二次方程的基础题型，熟练掌握因式分解法可大幅提升解题效率，解题时需注意先将方程整理为右侧为0的形式，不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
这四道题均为一元二次方程求解类题目，解题核心思路是利用“降次”思想，优先选择因式分解法简化计算：首先将方程整理为右侧为0的形式，再观察式子特点选择提公因式法、平方差公式法，或先展开化简再因式分解，将二次方程转化为两个一次方程求解，注意不要随意约去含未知数的整式，避免漏根。
【解析】
(1) 移项得：$x(x-2)-(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$得：$(x-2)(x-1)=0$
则$x-2=0$或$x-1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
(2) 移项得：$(2x-1)^2-(3-x)^2=0$
利用平方差公式因式分解得：$[(2x-1)-(3-x)][(2x-1)+(3-x)]=0$
化简括号内的式子得：$(3x-4)(x+2)=0$
则$3x-4=0$或$x+2=0$
解得$x_1=\frac{4}{3}$，$x_2=-2$。
(3) 先展开左侧式子得：$x^2+3x-2x-6=-6$
整理移项得：$x^2+x=0$
提取公因式$x$得：$x(x+1)=0$
则$x=0$或$x+1=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
(4) 先展开化简左侧式子得：$x^2-1+2x+6=8$
整理移项得：$x^2+2x-3=0$
因式分解得：$(x+3)(x-1)=0$
则$x+3=0$或$x-1=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=1$；
(2)$x_1=-2,x_2=\frac{4}{3}$；
(3)$x_1=0,x_2=-1$；
(4)$x_1=1,x_2=-3$。
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.平方差公式
3.整式乘法运算
【点评】
这几道题是解一元二次方程的基础题型，熟练掌握因式分解法可大幅提升解题效率，解题时需注意先将方程整理为右侧为0的形式，不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
6.关于x的一元二次方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=2$，则这个方程可能是(
A.$(x+1)(x+2)=0$
B.$(x-1)(x-2)=0$
C.$(x+1)(x-2)=0$
D.$(x-1)(x+2)=0$
C
).A.$(x+1)(x+2)=0$
B.$(x-1)(x-2)=0$
C.$(x+1)(x-2)=0$
D.$(x-1)(x+2)=0$
答案
6.C
解析
【分析】
解题有两种常用思路：方法一（逆推法）：根据因式分解法解一元二次方程的原理，若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$(x-x_1)(x-x_2)=0$，将已知的两个根代入该式即可得到对应方程，再匹配选项。方法二（代入排除法）：将两个根分别代入各选项的方程，能同时满足两个根使等式成立的选项即为正确答案。
【解析】
方法1：根据因式分解法解一元二次方程的逆用，若方程的两根为$x_1=-1$，$x_2=2$，则方程可写为：
$(x - x_1)(x - x_2)=0$
代入根的值得：$(x - (-1))(x - 2)=0$
化简得：$(x+1)(x-2)=0$，对应选项C。
方法2：代入验证：
将$x=-1$代入各选项：
A选项：$(-1+1)(-1+2)=0$，成立；
B选项：$(-1-1)(-1-2)=6≠0$，排除；
C选项：$(-1+1)(-1-2)=0$，成立；
D选项：$(-1-1)(-1+2)=-2≠0$，排除。
再将$x=2$代入剩余的A、C选项：
A选项：$(2+1)(2+2)=12≠0$，排除；
C选项：$(2+1)(2-2)=0$，成立。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，既可以通过因式分解法的原理逆推方程，也可以用代入排除法快速筛选答案，核心是理解一元二次方程的根与方程表达式的对应关系。
【难度系数】
0.9
解题有两种常用思路：方法一（逆推法）：根据因式分解法解一元二次方程的原理，若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$(x-x_1)(x-x_2)=0$，将已知的两个根代入该式即可得到对应方程，再匹配选项。方法二（代入排除法）：将两个根分别代入各选项的方程，能同时满足两个根使等式成立的选项即为正确答案。
【解析】
方法1：根据因式分解法解一元二次方程的逆用，若方程的两根为$x_1=-1$，$x_2=2$，则方程可写为：
$(x - x_1)(x - x_2)=0$
代入根的值得：$(x - (-1))(x - 2)=0$
化简得：$(x+1)(x-2)=0$，对应选项C。
方法2：代入验证：
将$x=-1$代入各选项：
A选项：$(-1+1)(-1+2)=0$，成立；
B选项：$(-1-1)(-1-2)=6≠0$，排除；
C选项：$(-1+1)(-1-2)=0$，成立；
D选项：$(-1-1)(-1+2)=-2≠0$，排除。
再将$x=2$代入剩余的A、C选项：
A选项：$(2+1)(2+2)=12≠0$，排除；
C选项：$(2+1)(2-2)=0$，成立。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，既可以通过因式分解法的原理逆推方程，也可以用代入排除法快速筛选答案，核心是理解一元二次方程的根与方程表达式的对应关系。
【难度系数】
0.9
