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7.已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程$x^2 -5x +6=0$的两个根，则此直角三角形的斜边长是
$\sqrt{13}$
.答案
7.$\sqrt{13}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：第一步，先求解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，得到的两个根就是直角三角形两条直角边的长度；第二步，已知直角三角形两条直角边，根据勾股定理即可计算出斜边的长度。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$：
对式子因式分解得：$(x-2)(x-3)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$，即直角三角形的两条直角边长分别为2和3。
根据勾股定理，直角三角形斜边长$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入$a=2$，$b=3$得：
斜边长$=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
解一元二次方程；勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程的解法与直角三角形性质的综合基础题，熟练掌握一元二次方程的求解方法和勾股定理的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分两步思考：第一步，先求解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，得到的两个根就是直角三角形两条直角边的长度；第二步，已知直角三角形两条直角边，根据勾股定理即可计算出斜边的长度。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$：
对式子因式分解得：$(x-2)(x-3)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$，即直角三角形的两条直角边长分别为2和3。
根据勾股定理，直角三角形斜边长$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入$a=2$，$b=3$得：
斜边长$=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
解一元二次方程；勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程的解法与直角三角形性质的综合基础题，熟练掌握一元二次方程的求解方法和勾股定理的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8.“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解一元高次方程$x^3 - x = 0$，它的根是
-1,0,1
。答案
8.$-1,0,1$
解析
【分析】
解高次方程的核心思路是“降次”，即将高次方程转化为我们已经掌握的一元一次或一元二次方程求解。本题可先对等式左侧的多项式进行因式分解，再利用“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，把三次方程拆分为三个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的所有根。
【解析】
解：对原方程$x^3 - x = 0$左侧因式分解：
1. 先提取公因式$x$，可得：
$x(x^2 - 1) = 0$
2. 再利用平方差公式分解$x^2-1$，可得：
$x(x+1)(x-1) = 0$
根据乘积为0的因式性质，可得：
$x=0$ 或 $x+1=0$ 或 $x-1=0$
分别求解三个一元一次方程：
解得$x_1=0$，$x_2=-1$，$x_3=1$。
【答案】
$-1,0,1$
【知识点】
降次思想，因式分解，解方程
【点评】
本题是降次思想在解方程中的基础应用，通过因式分解将三次方程转化为一次方程求解是解简单高次方程的常用方法，熟练掌握因式分解的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解高次方程的核心思路是“降次”，即将高次方程转化为我们已经掌握的一元一次或一元二次方程求解。本题可先对等式左侧的多项式进行因式分解，再利用“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，把三次方程拆分为三个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的所有根。
【解析】
解：对原方程$x^3 - x = 0$左侧因式分解：
1. 先提取公因式$x$，可得：
$x(x^2 - 1) = 0$
2. 再利用平方差公式分解$x^2-1$，可得：
$x(x+1)(x-1) = 0$
根据乘积为0的因式性质，可得：
$x=0$ 或 $x+1=0$ 或 $x-1=0$
分别求解三个一元一次方程：
解得$x_1=0$，$x_2=-1$，$x_3=1$。
【答案】
$-1,0,1$
【知识点】
降次思想，因式分解，解方程
【点评】
本题是降次思想在解方程中的基础应用，通过因式分解将三次方程转化为一次方程求解是解简单高次方程的常用方法，熟练掌握因式分解的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.小明在解关于$x$的方程$(x-1)^2=2x-2$时，过程如下：
解:原方程变形为$(x-1)^2=2(x-1)$……第①步
两边同除以$(x-1)$，得$x-1=2$……第②步
原方程的解为$x=3$……第③步
(1)小明的做法从第
(2)请你写出正确的解答过程.
解:原方程变形为$(x-1)^2=2(x-1)$……第①步
两边同除以$(x-1)$，得$x-1=2$……第②步
原方程的解为$x=3$……第③步
(1)小明的做法从第
②
步开始出现错误，错误的原因是方程两边同除以$(x-1)$,需要$x-1\ne0$
.(2)请你写出正确的解答过程.
答案
9.(1)② 方程两边同除以$(x-1)$,需要$x-1\ne0$
(2)移项,得$(x-1)^2-2(x-1)=0$,
将方程的左边分解因式,得$(x-1)(x-3)=0$,
$\therefore x-1=0$或$x-3=0$,即$x_1=1$,$x_2=3$.
(2)移项,得$(x-1)^2-2(x-1)=0$,
将方程的左边分解因式,得$(x-1)(x-3)=0$,
$\therefore x-1=0$或$x-3=0$,即$x_1=1$,$x_2=3$.
解析
【分析】
(1) 解题时需结合等式的性质判断步骤正误：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立。第①步将右侧提公因式变形是正确的，第②步直接除以$(x-1)$时，没有考虑$(x-1)$可能等于0的情况，此时该操作不符合等式性质，还会丢失根，因此错误从第②步开始。
(2) 正确求解该方程时，应先移项将所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x-1)$进行因式分解，转化为两个一次式乘积为0的形式，再分别求解两个一次方程即可得到所有解，避免漏根。
【解析】
(1) 第①步变形为$(x-1)^2=2(x-1)$是恒等变形，正确；第②步两边同除以$(x-1)$，忽略了$(x-1)$可能为0的情况，若$x-1=0$，该除法无意义，且会丢失$x=1$这个解，因此从第②步开始出错。
(2) 正确解答过程：
移项，得$(x-1)^2-2(x-1)=0$，
将方程左边提取公因式分解因式，得$(x-1)(x-1-2)=0$，即$(x-1)(x-3)=0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”可得：$x-1=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
【答案】
(1) ② 方程两边同除以$(x-1)$,需要$x-1\ne0$
(2) 移项,得$(x-1)^2-2(x-1)=0$,
将方程的左边分解因式,得$(x-1)(x-3)=0$,
$\therefore x-1=0$或$x-3=0$,即$x_1=1$,$x_2=3$.
【知识点】
等式的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础易错题型，需要注意利用等式性质变形时，不能随意除以可能为0的整式，对于含有公共因式的一元二次方程，优先选用因式分解法求解可有效避免漏根。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时需结合等式的性质判断步骤正误：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立。第①步将右侧提公因式变形是正确的，第②步直接除以$(x-1)$时，没有考虑$(x-1)$可能等于0的情况，此时该操作不符合等式性质，还会丢失根，因此错误从第②步开始。
(2) 正确求解该方程时，应先移项将所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x-1)$进行因式分解，转化为两个一次式乘积为0的形式，再分别求解两个一次方程即可得到所有解，避免漏根。
【解析】
(1) 第①步变形为$(x-1)^2=2(x-1)$是恒等变形，正确；第②步两边同除以$(x-1)$，忽略了$(x-1)$可能为0的情况，若$x-1=0$，该除法无意义，且会丢失$x=1$这个解，因此从第②步开始出错。
(2) 正确解答过程：
移项，得$(x-1)^2-2(x-1)=0$，
将方程左边提取公因式分解因式，得$(x-1)(x-1-2)=0$，即$(x-1)(x-3)=0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”可得：$x-1=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
【答案】
(1) ② 方程两边同除以$(x-1)$,需要$x-1\ne0$
(2) 移项,得$(x-1)^2-2(x-1)=0$,
将方程的左边分解因式,得$(x-1)(x-3)=0$,
$\therefore x-1=0$或$x-3=0$,即$x_1=1$,$x_2=3$.
【知识点】
等式的性质；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是解一元二次方程的基础易错题型，需要注意利用等式性质变形时，不能随意除以可能为0的整式，对于含有公共因式的一元二次方程，优先选用因式分解法求解可有效避免漏根。
【难度系数】
0.8
10.已知$△ ABC$的一条边$BC$的长为5,另两条边$AB$,$AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+1)x+3(m-2)=0$的两个实数根.
(1)求证:无论$m$为何值,方程总有两个实数根.
(2)当$m$为何值时,$△ ABC$是等腰三角形?并求$△ ABC$的周长.
(1)求证:无论$m$为何值,方程总有两个实数根.
(2)当$m$为何值时,$△ ABC$是等腰三角形?并求$△ ABC$的周长.
答案
10.(1)证明:$\because \Delta=[-(m+1)]^2-12(m-2)=m^2-10m+25=(m-5)^2\ge0$,
$\therefore$无论m为何值,方程总有两个实数根.
(2)若BC为腰,则方程必有一个根为5,$\therefore 5^2-5(m+1)+3(m-2)=0$,解得$m=7$.
$\therefore$方程为$x^2-8x+15=0$,解得$x_1=3$,$x_2=5$.
$\therefore$等腰三角形的三边长为5,5,3,周长为$5+5+3=13$；
若BC为底边,则方程有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(m-5)^2=0$,解得$m=5$.
$\therefore$方程为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$,
$\therefore$等腰三角形的三边长为5,3,3,周长为$5+3+3=11$.
综上所述,$m$为7或5时$△ ABC$为等腰三角形,$△ ABC$的周长为11或13.
$\therefore$无论m为何值,方程总有两个实数根.
(2)若BC为腰,则方程必有一个根为5,$\therefore 5^2-5(m+1)+3(m-2)=0$,解得$m=7$.
$\therefore$方程为$x^2-8x+15=0$,解得$x_1=3$,$x_2=5$.
$\therefore$等腰三角形的三边长为5,5,3,周长为$5+5+3=13$；
若BC为底边,则方程有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(m-5)^2=0$,解得$m=5$.
$\therefore$方程为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$,
$\therefore$等腰三角形的三边长为5,3,3,周长为$5+3+3=11$.
综上所述,$m$为7或5时$△ ABC$为等腰三角形,$△ ABC$的周长为11或13.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，可通过根的判别式判断，只需计算Δ并证明Δ≥0即可，先写出Δ的表达式，展开化简后判断取值范围就能完成证明。
（2）△ABC为等腰三角形时需分类讨论：①若BC为腰，说明x=5是方程的根，将x=5代入方程求出m，再解方程得到另一条边长，验证三边关系后计算周长；②若BC为底边，说明AB=AC，即方程有两个相等的实数根，可得Δ=0，求出m后解方程得到AB、AC的长度，验证三边关系后计算周长，最后综合两种情况得出结论。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(m+1)x+3(m-2)=0$，
根的判别式$\Delta = [-(m+1)]^2 - 4×1×3(m-2)$
$=m^2+2m+1-12m+24$
$=m^2-10m+25$
$=(m-5)^2$
∵任意实数的平方均为非负数，即$(m-5)^2≥0$，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根。
（2）解：分两种情况讨论：
①当BC为等腰三角形的腰时，x=5是方程的一个根，
将x=5代入方程得：$5^2 -5(m+1)+3(m-2)=0$
化简得：$14-2m=0$，解得$m=7$。
将$m=7$代入原方程得$x^2-8x+15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3,x_2=5$。
此时三角形三边长为5、5、3，满足三角形三边关系，周长为$5+5+3=13$。
②当BC为等腰三角形的底边时，AB=AC，即方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(m-5)^2=0$，解得$m=5$。
将$m=5$代入原方程得$x^2-6x+9=0$，
因式分解得$(x-3)^2=0$，解得$x_1=x_2=3$。
此时三角形三边长为5、3、3，满足三角形三边关系，周长为$5+3+3=11$。
综上，当m=5或7时，△ABC为等腰三角形，周长为11或13。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）m的值为5或7，△ABC的周长为11或13。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合了一元二次方程与等腰三角形的相关知识，重点考查分类讨论思想，解题时要注意分情况讨论后验证三边是否满足三角形的构成条件，避免漏解或出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，可通过根的判别式判断，只需计算Δ并证明Δ≥0即可，先写出Δ的表达式，展开化简后判断取值范围就能完成证明。
（2）△ABC为等腰三角形时需分类讨论：①若BC为腰，说明x=5是方程的根，将x=5代入方程求出m，再解方程得到另一条边长，验证三边关系后计算周长；②若BC为底边，说明AB=AC，即方程有两个相等的实数根，可得Δ=0，求出m后解方程得到AB、AC的长度，验证三边关系后计算周长，最后综合两种情况得出结论。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(m+1)x+3(m-2)=0$，
根的判别式$\Delta = [-(m+1)]^2 - 4×1×3(m-2)$
$=m^2+2m+1-12m+24$
$=m^2-10m+25$
$=(m-5)^2$
∵任意实数的平方均为非负数，即$(m-5)^2≥0$，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根。
（2）解：分两种情况讨论：
①当BC为等腰三角形的腰时，x=5是方程的一个根，
将x=5代入方程得：$5^2 -5(m+1)+3(m-2)=0$
化简得：$14-2m=0$，解得$m=7$。
将$m=7$代入原方程得$x^2-8x+15=0$，
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3,x_2=5$。
此时三角形三边长为5、5、3，满足三角形三边关系，周长为$5+5+3=13$。
②当BC为等腰三角形的底边时，AB=AC，即方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(m-5)^2=0$，解得$m=5$。
将$m=5$代入原方程得$x^2-6x+9=0$，
因式分解得$(x-3)^2=0$，解得$x_1=x_2=3$。
此时三角形三边长为5、3、3，满足三角形三边关系，周长为$5+3+3=11$。
综上，当m=5或7时，△ABC为等腰三角形，周长为11或13。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）m的值为5或7，△ABC的周长为11或13。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合了一元二次方程与等腰三角形的相关知识，重点考查分类讨论思想，解题时要注意分情况讨论后验证三边是否满足三角形的构成条件，避免漏解或出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
