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7.已知直角三角形的两直角边的长恰好是方程$x^2 -5x +6=0$的两个根，则此直角三角形的斜边长是
$\sqrt{13}$
.答案
7.$\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，先求解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，得到的两个正根就是直角三角形的两条直角边长；第二步，利用勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，代入计算即可得到斜边长。也可以利用一元二次方程根与系数的关系，直接求两根的平方和，避免求解具体根，简化计算。
【解析】
方法一：先解方程求直角边长
1. 解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即两直角边的长分别为2和3。
2. 根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$
方法二：利用根与系数的关系计算
设方程的两个根为$a$、$b$，即两直角边长为$a$、$b$，根据韦达定理可得：
$a + b = 5$，$ab = 6$
由勾股定理，斜边长的平方为$a^2 + b^2$，变形得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13$
因此斜边长为$\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 勾股定理
3. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程和直角三角形性质结合的基础题型，难度不大，解题时注意直角三角形的边长均为正数，无需考虑方程的负根，两种解题方法可灵活选择。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，先求解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，得到的两个正根就是直角三角形的两条直角边长；第二步，利用勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，代入计算即可得到斜边长。也可以利用一元二次方程根与系数的关系，直接求两根的平方和，避免求解具体根，简化计算。
【解析】
方法一：先解方程求直角边长
1. 解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即两直角边的长分别为2和3。
2. 根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$
方法二：利用根与系数的关系计算
设方程的两个根为$a$、$b$，即两直角边长为$a$、$b$，根据韦达定理可得：
$a + b = 5$，$ab = 6$
由勾股定理，斜边长的平方为$a^2 + b^2$，变形得：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13$
因此斜边长为$\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 勾股定理
3. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程和直角三角形性质结合的基础题型，难度不大，解题时注意直角三角形的边长均为正数，无需考虑方程的负根，两种解题方法可灵活选择。
【难度系数】
0.8
8.“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解一元高次方程$x^3 - x = 0$，它的根是
-1,0,1
。答案
8.$-1,0,1$
解析
【分析】
解高次方程的核心思想是降次，即将高次方程转化为我们熟悉的低次方程求解。本题可先通过提取公因式，再结合平方差公式对左侧多项式进行因式分解，利用“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的原理，将三次方程转化为三个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的所有根。
【解析】
解：对原方程$x^3 - x = 0$进行因式分解：
1. 提取公因式$x$，可得：$x(x^2 - 1) = 0$
2. 利用平方差公式分解$x^2-1$，可得：$x(x+1)(x-1) = 0$
根据乘积为0的因式性质，得：
$x=0$ 或 $x+1=0$ 或 $x-1=0$
分别求解得：$x_1=0$，$x_2=-1$，$x_3=1$
【答案】
$-1,0,1$
【知识点】
降次思想、因式分解、高次方程求解
【点评】
本题是降次思想的基础应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、公式法等常见的因式分解方法，能将高次方程转化为低次方程求解，属于基础题型，掌握方法后可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.9
解高次方程的核心思想是降次，即将高次方程转化为我们熟悉的低次方程求解。本题可先通过提取公因式，再结合平方差公式对左侧多项式进行因式分解，利用“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的原理，将三次方程转化为三个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的所有根。
【解析】
解：对原方程$x^3 - x = 0$进行因式分解：
1. 提取公因式$x$，可得：$x(x^2 - 1) = 0$
2. 利用平方差公式分解$x^2-1$，可得：$x(x+1)(x-1) = 0$
根据乘积为0的因式性质，得：
$x=0$ 或 $x+1=0$ 或 $x-1=0$
分别求解得：$x_1=0$，$x_2=-1$，$x_3=1$
【答案】
$-1,0,1$
【知识点】
降次思想、因式分解、高次方程求解
【点评】
本题是降次思想的基础应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、公式法等常见的因式分解方法，能将高次方程转化为低次方程求解，属于基础题型，掌握方法后可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.9
9.小明在解关于$x$的方程$(x-1)^2=2x-2$时，过程如下：
解:原方程变形为$(x-1)^2=2(x-1)$……第①步
两边同除以$(x-1)$，得$x-1=2$……第②步
原方程的解为$x=3$……第③步
(1)小明的做法从第
(2)请你写出正确的解答过程.
解:原方程变形为$(x-1)^2=2(x-1)$……第①步
两边同除以$(x-1)$，得$x-1=2$……第②步
原方程的解为$x=3$……第③步
(1)小明的做法从第
②
步开始出现错误，错误的原因是方程两边同除以$(x-1)$,需要$x-1\ne0$
.(2)请你写出正确的解答过程.
答案
9.(1)② 方程两边同除以$(x-1)$,需要$x-1\ne0$
(2)移项,得$(x-1)^2-2(x-1)=0$,
将方程的左边分解因式,得$(x-1)(x-3)=0$,
$\therefore x-1=0$或$x-3=0$,即$x_1=1$,$x_2=3$.
(2)移项,得$(x-1)^2-2(x-1)=0$,
将方程的左边分解因式,得$(x-1)(x-3)=0$,
$\therefore x-1=0$或$x-3=0$,即$x_1=1$,$x_2=3$.
解析
【分析】
(1) 依据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才仍然成立。小明第②步直接将方程两边除以(x-1)，未考虑x-1可能为0的情况，会漏掉x=1的解，因此错误从第②步开始。
(2) 正确解题思路为：先将方程移项使右边为0，再对左边提取公因式(x-1)进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的全部解。
【解析】
(1) 首先判断错误步骤：第②步除以(x-1)时，未确认x-1≠0，违反等式的性质，会导致漏解。
(2) 正确解答步骤：
移项，得$(x-1)^2 - 2(x-1) = 0$，
将方程左边提取公因式分解因式，得$(x-1)(x-1-2)=0$，即$(x-1)(x-3)=0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得$x-1=0$或$x-3=0$，
分别解两个一元一次方程，得$x_1=1$，$x_2=3$。
【答案】
(1) ②；方程两边同除以$(x-1)$,需要$x-1\ne0$
(2) 移项,得$(x-1)^2-2(x-1)=0$,
将方程的左边分解因式,得$(x-1)(x-3)=0$,
$\therefore x-1=0$或$x-3=0$,即$x_1=1$,$x_2=3$.
【知识点】
因式分解法解方程、等式的性质、一元二次方程的解
【点评】
本题重点考查解一元二次方程的注意事项，解题时不能随意除以可能为0的整式，否则容易出现漏解的问题，熟练掌握因式分解法等一元二次方程的解法是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 依据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才仍然成立。小明第②步直接将方程两边除以(x-1)，未考虑x-1可能为0的情况，会漏掉x=1的解，因此错误从第②步开始。
(2) 正确解题思路为：先将方程移项使右边为0，再对左边提取公因式(x-1)进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的全部解。
【解析】
(1) 首先判断错误步骤：第②步除以(x-1)时，未确认x-1≠0，违反等式的性质，会导致漏解。
(2) 正确解答步骤：
移项，得$(x-1)^2 - 2(x-1) = 0$，
将方程左边提取公因式分解因式，得$(x-1)(x-1-2)=0$，即$(x-1)(x-3)=0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得$x-1=0$或$x-3=0$，
分别解两个一元一次方程，得$x_1=1$，$x_2=3$。
【答案】
(1) ②；方程两边同除以$(x-1)$,需要$x-1\ne0$
(2) 移项,得$(x-1)^2-2(x-1)=0$,
将方程的左边分解因式,得$(x-1)(x-3)=0$,
$\therefore x-1=0$或$x-3=0$,即$x_1=1$,$x_2=3$.
【知识点】
因式分解法解方程、等式的性质、一元二次方程的解
【点评】
本题重点考查解一元二次方程的注意事项，解题时不能随意除以可能为0的整式，否则容易出现漏解的问题，熟练掌握因式分解法等一元二次方程的解法是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
10.已知$△ ABC$的一条边$BC$的长为5,另两条边$AB$,$AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+1)x+3(m-2)=0$的两个实数根.
(1)求证:无论$m$为何值,方程总有两个实数根.
(2)当$m$为何值时,$△ ABC$是等腰三角形?并求$△ ABC$的周长.
(1)求证:无论$m$为何值,方程总有两个实数根.
(2)当$m$为何值时,$△ ABC$是等腰三角形?并求$△ ABC$的周长.
答案
10.(1)证明:$\because \Delta=[-(m+1)]^2-12(m-2)=m^2-10m+25=(m-5)^2\ge0$,
$\therefore$无论m为何值,方程总有两个实数根.
(2)若BC为腰,则方程必有一个根为5,$\therefore 5^2-5(m+1)+3(m-2)=0$,解得$m=7$.
$\therefore$方程为$x^2-8x+15=0$,解得$x_1=3$,$x_2=5$.
$\therefore$等腰三角形的三边长为5,5,3,周长为$5+5+3=13$；
若BC为底边,则方程有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(m-5)^2=0$,解得$m=5$.
$\therefore$方程为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$,
$\therefore$等腰三角形的三边长为5,3,3,周长为$5+3+3=11$.
综上所述,$m$为7或5时$△ ABC$为等腰三角形,$△ ABC$的周长为11或13.
$\therefore$无论m为何值,方程总有两个实数根.
(2)若BC为腰,则方程必有一个根为5,$\therefore 5^2-5(m+1)+3(m-2)=0$,解得$m=7$.
$\therefore$方程为$x^2-8x+15=0$,解得$x_1=3$,$x_2=5$.
$\therefore$等腰三角形的三边长为5,5,3,周长为$5+5+3=13$；
若BC为底边,则方程有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(m-5)^2=0$,解得$m=5$.
$\therefore$方程为$x^2-6x+9=0$,解得$x_1=x_2=3$,
$\therefore$等腰三角形的三边长为5,3,3,周长为$5+3+3=11$.
综上所述,$m$为7或5时$△ ABC$为等腰三角形,$△ ABC$的周长为11或13.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，可利用一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式$\Delta ≥ 0$即可。先计算该方程的判别式，化简后判断其取值范围就能完成证明。
(2) 已知$BC=5$，$△ ABC$为等腰三角形时需分两种情况讨论：①$BC$为腰，此时$x=5$是方程的一个根，将$x=5$代入方程可求出$m$的值，再解方程得到另一条边长，验证三边满足三角形三边关系后计算周长；②$BC$为底边，此时$AB=AC$，说明方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$，求出$m$的值后解方程得到$AB$、$AC$的长，同样验证三边关系后计算周长，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2-(m+1)x+3(m-2)=0$，其判别式为：
$\Delta=[-(m+1)]^2-4×1×3(m-2)$
$=m^2+2m+1-12m+24$
$=m^2-10m+25$
$=(m-5)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(m-5)^2≥0$，
∴ 无论$m$为何值，方程总有两个实数根。
(2) 分两种情况讨论：
① 若$BC$为等腰三角形的腰，则$x=5$是方程的一个根，将$x=5$代入方程得：
$5^2-5(m+1)+3(m-2)=0$
$25-5m-5+3m-6=0$
$-2m+14=0$
解得$m=7$。
此时方程为$x^2-8x+15=0$，因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
三角形三边长为5、5、3，满足$3+5＞5$，可构成三角形，周长为$5+5+3=13$。
② 若$BC$为等腰三角形的底边，则$AB=AC$，即方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(m-5)^2=0$，解得$m=5$。
此时方程为$x^2-6x+9=0$，即$(x-3)^2=0$，解得$x_1=x_2=3$。
三角形三边长为5、3、3，满足$3+3＞5$，可构成三角形，周长为$5+3+3=11$。
综上，当$m=5$或$m=7$时，$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
(1) 无论$m$为何值，方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $m$为5或7时$△ ABC$是等腰三角形，周长为11或13。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题型，重点考查分类讨论思想，解题时需注意对等腰三角形的腰和底边分类讨论，求出边长后要验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，可利用一元二次方程根的判别式的性质，只需证明判别式$\Delta ≥ 0$即可。先计算该方程的判别式，化简后判断其取值范围就能完成证明。
(2) 已知$BC=5$，$△ ABC$为等腰三角形时需分两种情况讨论：①$BC$为腰，此时$x=5$是方程的一个根，将$x=5$代入方程可求出$m$的值，再解方程得到另一条边长，验证三边满足三角形三边关系后计算周长；②$BC$为底边，此时$AB=AC$，说明方程有两个相等的实数根，即$\Delta=0$，求出$m$的值后解方程得到$AB$、$AC$的长，同样验证三边关系后计算周长，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2-(m+1)x+3(m-2)=0$，其判别式为：
$\Delta=[-(m+1)]^2-4×1×3(m-2)$
$=m^2+2m+1-12m+24$
$=m^2-10m+25$
$=(m-5)^2$
∵ 平方数具有非负性，即$(m-5)^2≥0$，
∴ 无论$m$为何值，方程总有两个实数根。
(2) 分两种情况讨论：
① 若$BC$为等腰三角形的腰，则$x=5$是方程的一个根，将$x=5$代入方程得：
$5^2-5(m+1)+3(m-2)=0$
$25-5m-5+3m-6=0$
$-2m+14=0$
解得$m=7$。
此时方程为$x^2-8x+15=0$，因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$。
三角形三边长为5、5、3，满足$3+5＞5$，可构成三角形，周长为$5+5+3=13$。
② 若$BC$为等腰三角形的底边，则$AB=AC$，即方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(m-5)^2=0$，解得$m=5$。
此时方程为$x^2-6x+9=0$，即$(x-3)^2=0$，解得$x_1=x_2=3$。
三角形三边长为5、3、3，满足$3+3＞5$，可构成三角形，周长为$5+3+3=11$。
综上，当$m=5$或$m=7$时，$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
(1) 无论$m$为何值，方程总有两个实数根，证明成立；
(2) $m$为5或7时$△ ABC$是等腰三角形，周长为11或13。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的综合题型，重点考查分类讨论思想，解题时需注意对等腰三角形的腰和底边分类讨论，求出边长后要验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.6
