一、选择题
1. 如图1，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似地看作抛物线，在如图2所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（）


A.$y=-\dfrac{14}{75}x^2 - \dfrac{8}{15}x + \dfrac{5}{2}$
B.$y=-\dfrac{14}{75}x^2 + \dfrac{8}{15}x + \dfrac{5}{2}$
C.$y=\dfrac{14}{75}x^2 - \dfrac{8}{15}x + \dfrac{5}{2}$
D.$y=\dfrac{14}{75}x^2 + \dfrac{8}{15}x + \dfrac{5}{2}$

1.A

【分析】
本题考查二次函数解析式的求解，解题思路如下：首先结合题意确定抛物线上三个关键点的坐标：①球网对应x=0的位置，垫球点A在球网左侧5米、高度0.5米，坐标为(-5, 0.5)；②过网点B在球网上方，高度为2.24+0.26=2.5米，坐标为(0, 2.5)；③落地点C在球网右侧2.5米、高度为0，坐标为(2.5, 0)。其次可先根据抛物线开口向下（排球上升后下落），二次项系数a＜0，排除C、D两个a为正的选项，再通过待定系数法列方程组求解系数，或代入剩余选项验证即可得到答案。
【解析】
解：根据题意得抛物线上三个关键点坐标：A(-5, 0.5)，B(0, 2.5)，C(2.5, 0)。
设排球运动路线的二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 把$B(0, 2.5)$代入解析式，得$c=2.5=\frac{5}{2}$，解析式简化为$y=ax^2+bx+\frac{5}{2}$；
2. 把$A(-5, 0.5)$、$C(2.5, 0)$分别代入简化后的解析式，得到方程组：
$\begin{cases}25a-5b+\frac{5}{2}=0.5 \\6.25a+2.5b+\frac{5}{2}=0 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}25a-5b=-2 ① \\25a+10b=-10 ② \end{cases}$
用②-①消去a，得$15b=-8$，解得$b=-\frac{8}{15}$；
把$b=-\frac{8}{15}$代入①，得$25a-5×(-\frac{8}{15})=-2$，解得$a=-\frac{14}{75}$。
因此函数表达式为$y=-\dfrac{14}{75}x^2 - \dfrac{8}{15}x + \dfrac{5}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数结合体育运动场景的应用题，解题核心是准确梳理题意得到关键点坐标，也可通过排除法先缩小选项范围，降低计算量，解题时要注意水平方向坐标的正负区分，避免符号错误。
【难度系数】
0.6

2.如图，始终盛满水的圆柱体水桶的水面离地面的高度为20 cm，如果在离水面竖直距离为h(单位:cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位:cm)与h的关系式为$s=\sqrt{4h(20-h)}$。如果想通过垫高水桶，使射出的水的最大射程增加10 cm，那么小孔离水面的距离是（）

A.14 cm
B.15 cm
C.16 cm
D.18 cm

2.B

【分析】
要解决这道题，首先需明确射程s的大小由根号内的二次式决定，根号是单调递增运算，因此s的最大值对应根号内二次函数的最大值。先求出原水桶的最大射程，再根据最大射程增加10cm得到垫高后的最大射程，最后结合二次函数取最值的规律求出对应小孔离水面的距离h即可。
【解析】
1. 求原水桶的最大射程：
已知原射程公式为$s=\sqrt{4h(20-h)}$，设$y=4h(20-h)$，整理得$y=-4h^2+80h$，这是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$h=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-4$，$b=80$，得$h=-\frac{80}{2×(-4)}=10\mathrm{cm}$。
将$h=10$代入y，得$y_{max}=-4×10^2+80×10=400$，因此原最大射程$s_{max}=\sqrt{400}=20\mathrm{cm}$。
2. 求垫高后的最大射程：
由题意，垫高后最大射程增加10cm，即新的最大射程为$20+10=30\mathrm{cm}$。
3. 求对应小孔离水面的距离h：
设垫高后水面离地面高度为$H\mathrm{cm}$，此时射程公式为$s=\sqrt{4h(H-h)}$，同理，s的最大值对应$y=4h(H-h)$的最大值。
对于二次函数$y=-4h^2+4Hh$，顶点横坐标为$h=\frac{H}{2}$，代入得$y_{max}=4×\frac{H}{2}×(H-\frac{H}{2})=H^2$，因此最大射程$s_{max}=\sqrt{H^2}=H$，即$H=30\mathrm{cm}$。
此时取最大射程时，$h=\frac{H}{2}=\frac{30}{2}=15\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的最值应用，解题的核心是将射程的最值问题转化为二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数顶点求最值的方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.65

3 一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC、BD都是同一条抛物线的一部分，AB、CD都与水平桌面平行。已知水杯底部AB宽为$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，水杯高度为12 cm，当水面高度为6 cm时，水面宽度为$2\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$。如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点A倾斜倒出部分水。如图3，当倾斜角$∠ BAF=30°$时，杯中水面CE平行水平桌面AF，则此时水面宽度CE的值是（）


A.$7\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B.12 cm
C.$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.14 cm

3.D 解析:如图1,以AB的中点为原点,直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，
由题意,得$A(-2\sqrt{3},0),B(2\sqrt{3},0),E(-\sqrt{30},6)$,$F(\sqrt{30},6)$,
设抛物线的表达式为$y=ax^2+b(a≠0)$,
将$B(2\sqrt{3},0),F(\sqrt{30},6)$代入，
得$\begin{cases}12a+b=0,\\30a+b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3},\\b=-4,\end{cases}$$\therefore y=\dfrac{1}{3}x^2-4$,
当$y=12$时,$12=\dfrac{1}{3}x^2-4$,
解得$x_1=4\sqrt{3},x_2=-4\sqrt{3}$,
$\therefore C(-4\sqrt{3},12),D(4\sqrt{3},12)$.
根据题意可知,$∠DCE=∠BAF=30°$,设CE与y轴交于点P,CD与y轴交于点Q,如图2，
在$\mathrm{Rt}△ CPQ$中,$CQ=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,$∠PCQ=30°$,
$\therefore PQ=4\ \mathrm{cm}$,$\therefore PO=8\ \mathrm{cm}$,$\therefore P(0,8)$.
设直线CE的表达式为$y=kx+m(k≠0)$,
将$C(-4\sqrt{3},12),P(0,8)$代入，
得$\begin{cases}-4\sqrt{3}k+m=12,\\m=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\\m=8,\end{cases}$
$\therefore$直线CE的表达式为$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+8$,
令$\dfrac{1}{3}x^2-4=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+8$.
解得$x=-4\sqrt{3}$或$x=3\sqrt{3}$,
$\therefore$点E的横坐标为$3\sqrt{3}$.
当$x=3\sqrt{3}$时,$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}×3\sqrt{3}+8=5$,
$\therefore E(3\sqrt{3},5)$.
$\therefore CE=\sqrt{(3\sqrt{3}+4\sqrt{3})^2+(5-12)^2}=14(\mathrm{cm})$,
故选D.

【分析】
本题属于二次函数的实际应用问题，解题核心是通过建立平面直角坐标系将几何图形问题转化为函数问题求解。首先利用抛物线的对称性，选择AB中点为原点建立坐标系，简化计算；其次利用待定系数法代入已知点坐标求出抛物线解析式，得到杯口C、D的坐标；接下来结合倾斜角30°的条件，求出水面所在直线CE的解析式；最后联立直线与抛物线的解析式求出交点E的坐标，利用两点间距离公式计算CE的长度即可。
【解析】
如图1，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意得$A(-2\sqrt{3},0),B(2\sqrt{3},0)$，水面高6cm时水面宽$2\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$，故$E(-\sqrt{30},6)$，$F(\sqrt{30},6)$。
设抛物线的表达式为$y=ax^2+b(a≠0)$，将$B(2\sqrt{3},0),F(\sqrt{30},6)$代入解析式得：
$\begin{cases}12a+b=0\\30a+b=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3}\\b=-4\end{cases}$
因此抛物线解析式为$y=\dfrac{1}{3}x^2-4$。
当$y=12$（杯口高度）时，代入得$12=\dfrac{1}{3}x^2-4$，解得$x_1=4\sqrt{3},x_2=-4\sqrt{3}$，即$C(-4\sqrt{3},12),D(4\sqrt{3},12)$。
由题意知$∠DCE=∠BAF=30°$，设CE与y轴交于点P，CD与y轴交于点Q，如图2，
在$\mathrm{Rt}△ CPQ$中，$CQ=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$∠PCQ=30°$，因此$PQ=CQ· \tan30°=4\sqrt{3}× \dfrac{\sqrt{3}}{3}=4\ \mathrm{cm}$，故$PO=OQ-PQ=12-4=8\ \mathrm{cm}$，即$P(0,8)$。
设直线CE的表达式为$y=kx+m(k≠0)$，将$C(-4\sqrt{3},12),P(0,8)$代入得：
$\begin{cases}-4\sqrt{3}k+m=12\\m=8\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\m=8\end{cases}$
因此直线CE的解析式为$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+8$。
联立直线CE与抛物线的解析式：$\dfrac{1}{3}x^2-4=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+8$，
整理得$x^2+\sqrt{3}x-36=0$，解得$x=-4\sqrt{3}$（对应点C）或$x=3\sqrt{3}$（对应点E）。
将$x=3\sqrt{3}$代入直线解析式得$y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}× 3\sqrt{3}+8=5$，即$E(3\sqrt{3},5)$。
由两点间距离公式得：$CE=\sqrt{(3\sqrt{3}+4\sqrt{3})^2+(5-12)^2}=\sqrt{(7\sqrt{3})^2+(-7)^2}=\sqrt{147+49}=\sqrt{196}=14(\mathrm{cm})$。
【答案】D
【知识点】二次函数应用，待定系数法，两点间距离公式
【点评】本题将实际生活中的水杯倾斜问题转化为二次函数与一次函数的综合问题，考查了坐标系建立、函数解析式求解、函数交点计算、几何角度的代数转化等能力，需要学生具备数形结合的思维，能将几何条件合理转化为代数关系进行求解。
【难度系数】0.3