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12.已知二次函数$y=ax^2 -2ax -2t$的图像经过点$A(-1,t)$。
(1)求证:$a=t$；
(2)若该二次函数的最小值为$a^2 -4$，$M(x_1,m)$、$N(x_2,m)$为二次函数图像上的不同的两点，且$m≠-2$，求证:$\frac{x_1}{m+2}=-\frac{1}{x_2}$。
(1)求证:$a=t$；
(2)若该二次函数的最小值为$a^2 -4$，$M(x_1,m)$、$N(x_2,m)$为二次函数图像上的不同的两点，且$m≠-2$，求证:$\frac{x_1}{m+2}=-\frac{1}{x_2}$。
答案
12.证明:(1)把点 $ A(-1,t) $ 代入二次函数 $ y=ax^2-2ax-2t $, 得 $ a+2a-2t=t $,
∴$ 3a=3t $,
∴$ a=t $.
(2)$ y=ax^2-2ax-2t=a(x^2-2x)-2t=a(x^2-2x+1-1)-2t=a(x-1)^2-a-2t $.
当 $ x=1 $ 时, $ y=-a-2t $.
∵该二次函数的最小值为 $ a^2-4 $,
∴$ a^2-4=-a-2t $, 由(1)可知 $ a=t $,
∴$ a^2-4=-a-2a $, $ a^2+3a-4=0 $,
即 $ (a+4)(a-1)=0 $, 解得 $ a=-4 $ 或 $ 1 $.
∵$ a＞0 $ 时有最小值,
∴$ a=1 $.
把 $ a=t=1 $ 代入 $ y=ax^2-2ax-2t $, 得 $ y=x^2-2x-2 $,
∴二次函数的表达式为 $ y=x^2-2x-2 $.
∵$ M(x_1,m) $、$ N(x_2,m) $ 为二次函数图像上的不同的两点,
∴点 $ M $、$ N $ 关于对称轴 $ x=1 $ 对称,
∴$ \frac{x_1+x_2}{2}=1 $,
∴$ x_1+x_2=2 $, $ x_1=2-x_2 $.
∵$ M(x_1,m) $ 在二次函数 $ y=x^2-2x-2 $ 图像上,
∴$ m=x_1^2-2x_1-2 $,
∴$ m+2=x_1^2-2x_1 $.
将 $ x_1=2-x_2 $ 代入 $ m+2=x_1^2-2x_1 $, 得
$ m+2=(2-x_2)^2-2(2-x_2)=4-4x_2+x_2^2-4+2x_2=x_2^2-2x_2=x_2(x_2-2) $,
∴$ \frac{x_1}{m+2}=\frac{2-x_2}{x_2(x_2-2)}=-\frac{1}{x_2} $.
∴$ 3a=3t $,
∴$ a=t $.
(2)$ y=ax^2-2ax-2t=a(x^2-2x)-2t=a(x^2-2x+1-1)-2t=a(x-1)^2-a-2t $.
当 $ x=1 $ 时, $ y=-a-2t $.
∵该二次函数的最小值为 $ a^2-4 $,
∴$ a^2-4=-a-2t $, 由(1)可知 $ a=t $,
∴$ a^2-4=-a-2a $, $ a^2+3a-4=0 $,
即 $ (a+4)(a-1)=0 $, 解得 $ a=-4 $ 或 $ 1 $.
∵$ a＞0 $ 时有最小值,
∴$ a=1 $.
把 $ a=t=1 $ 代入 $ y=ax^2-2ax-2t $, 得 $ y=x^2-2x-2 $,
∴二次函数的表达式为 $ y=x^2-2x-2 $.
∵$ M(x_1,m) $、$ N(x_2,m) $ 为二次函数图像上的不同的两点,
∴点 $ M $、$ N $ 关于对称轴 $ x=1 $ 对称,
∴$ \frac{x_1+x_2}{2}=1 $,
∴$ x_1+x_2=2 $, $ x_1=2-x_2 $.
∵$ M(x_1,m) $ 在二次函数 $ y=x^2-2x-2 $ 图像上,
∴$ m=x_1^2-2x_1-2 $,
∴$ m+2=x_1^2-2x_1 $.
将 $ x_1=2-x_2 $ 代入 $ m+2=x_1^2-2x_1 $, 得
$ m+2=(2-x_2)^2-2(2-x_2)=4-4x_2+x_2^2-4+2x_2=x_2^2-2x_2=x_2(x_2-2) $,
∴$ \frac{x_1}{m+2}=\frac{2-x_2}{x_2(x_2-2)}=-\frac{1}{x_2} $.
解析
【分析】
(1) 要证明a=t，可利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点A的坐标代入二次函数解析式，整理后即可得到a与t的等量关系。
(2) 先将二次函数解析式配方为顶点式，求出其最小值的表达式，结合题目给出的最小值条件和(1)中a=t的结论求解a的值，注意二次函数存在最小值说明开口向上，即a＞0，需舍去不符合的解，得到具体的二次函数解析式；再根据M、N两点纵坐标相同，可知两点关于二次函数的对称轴对称，得出x₁与x₂的数量关系；最后将点M坐标代入解析式，结合x₁和x₂的关系变形推导，即可证明待证结论。
【解析】
(1) 把点 $ A(-1,t) $ 代入二次函数 $ y=ax^2-2ax-2t $，得：
$ a×(-1)^2 -2a×(-1) -2t = t $
即 $ a+2a-2t=t $
$ \therefore 3a=3t $
$ \therefore a=t $
(2) 对二次函数解析式配方：
$ y=ax^2-2ax-2t=a(x^2-2x)-2t=a(x^2-2x+1-1)-2t=a(x-1)^2-a-2t $
当 $ x=1 $ 时，二次函数取得最小值 $ y=-a-2t $
∵该二次函数的最小值为 $ a^2-4 $
$ \therefore a^2-4=-a-2t $
由(1)可知 $ a=t $，代入上式得：
$ a^2-4=-a-2a $，整理得 $ a^2+3a-4=0 $
因式分解得 $ (a+4)(a-1)=0 $，解得 $ a=-4 $ 或 $ a=1 $
∵二次函数有最小值，说明开口向上，即 $ a＞0 $
$ \therefore a=1 $，则 $ t=a=1 $
代入原二次函数解析式得：$ y=x^2-2x-2 $
∵$ M(x_1,m) $、$ N(x_2,m) $ 为二次函数图像上的不同的两点，纵坐标相同
∴点 $ M $、$ N $ 关于二次函数的对称轴 $ x=1 $ 对称
$ \therefore \frac{x_1+x_2}{2}=1 $，即 $ x_1+x_2=2 $，变形得 $ x_1=2-x_2 $
∵$ M(x_1,m) $ 在二次函数图像上，代入解析式得：
$ m=x_1^2-2x_1-2 $，移项得 $ m+2=x_1^2-2x_1 $
将 $ x_1=2-x_2 $ 代入上式：
$ m+2=(2-x_2)^2-2(2-x_2)=4-4x_2+x_2^2-4+2x_2=x_2^2-2x_2=x_2(x_2-2) $
$ \therefore \frac{x_1}{m+2}=\frac{2-x_2}{x_2(x_2-2)}=-\frac{1}{x_2} $，结论得证。
【答案】
(1) $a=t$得证；
(2) $\frac{x_1}{m+2}=-\frac{1}{x_2}$得证。
【知识点】
1. 二次函数图像上点的特征
2. 二次函数的最值
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质，解题时需要结合点与函数图像的关系、配方法求顶点式、二次函数的对称性等知识点逐步推导，逻辑连贯性较强，能够较好地考查代数推导能力和对二次函数基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明a=t，可利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点A的坐标代入二次函数解析式，整理后即可得到a与t的等量关系。
(2) 先将二次函数解析式配方为顶点式，求出其最小值的表达式，结合题目给出的最小值条件和(1)中a=t的结论求解a的值，注意二次函数存在最小值说明开口向上，即a＞0，需舍去不符合的解，得到具体的二次函数解析式；再根据M、N两点纵坐标相同，可知两点关于二次函数的对称轴对称，得出x₁与x₂的数量关系；最后将点M坐标代入解析式，结合x₁和x₂的关系变形推导，即可证明待证结论。
【解析】
(1) 把点 $ A(-1,t) $ 代入二次函数 $ y=ax^2-2ax-2t $，得：
$ a×(-1)^2 -2a×(-1) -2t = t $
即 $ a+2a-2t=t $
$ \therefore 3a=3t $
$ \therefore a=t $
(2) 对二次函数解析式配方：
$ y=ax^2-2ax-2t=a(x^2-2x)-2t=a(x^2-2x+1-1)-2t=a(x-1)^2-a-2t $
当 $ x=1 $ 时，二次函数取得最小值 $ y=-a-2t $
∵该二次函数的最小值为 $ a^2-4 $
$ \therefore a^2-4=-a-2t $
由(1)可知 $ a=t $，代入上式得：
$ a^2-4=-a-2a $，整理得 $ a^2+3a-4=0 $
因式分解得 $ (a+4)(a-1)=0 $，解得 $ a=-4 $ 或 $ a=1 $
∵二次函数有最小值，说明开口向上，即 $ a＞0 $
$ \therefore a=1 $，则 $ t=a=1 $
代入原二次函数解析式得：$ y=x^2-2x-2 $
∵$ M(x_1,m) $、$ N(x_2,m) $ 为二次函数图像上的不同的两点，纵坐标相同
∴点 $ M $、$ N $ 关于二次函数的对称轴 $ x=1 $ 对称
$ \therefore \frac{x_1+x_2}{2}=1 $，即 $ x_1+x_2=2 $，变形得 $ x_1=2-x_2 $
∵$ M(x_1,m) $ 在二次函数图像上，代入解析式得：
$ m=x_1^2-2x_1-2 $，移项得 $ m+2=x_1^2-2x_1 $
将 $ x_1=2-x_2 $ 代入上式：
$ m+2=(2-x_2)^2-2(2-x_2)=4-4x_2+x_2^2-4+2x_2=x_2^2-2x_2=x_2(x_2-2) $
$ \therefore \frac{x_1}{m+2}=\frac{2-x_2}{x_2(x_2-2)}=-\frac{1}{x_2} $，结论得证。
【答案】
(1) $a=t$得证；
(2) $\frac{x_1}{m+2}=-\frac{1}{x_2}$得证。
【知识点】
1. 二次函数图像上点的特征
2. 二次函数的最值
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质，解题时需要结合点与函数图像的关系、配方法求顶点式、二次函数的对称性等知识点逐步推导，逻辑连贯性较强，能够较好地考查代数推导能力和对二次函数基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
13 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点$C(0,-4)$,点A的坐标为$(-1,0)$.
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标;
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)P是直线BC下方抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q,求线段PQ的最大值及此时点P的坐标.
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标;
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)P是直线BC下方抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q,求线段PQ的最大值及此时点P的坐标.
答案
13.解:(1)把 $ (-1,0) $、$ (0,-4) $ 代入 $ y=x^2+bx+c $,
得 $ \begin{cases} 1-b+c=0, \\ 0+0+c=-4, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b=-3, \\ c=-4, \end{cases} $
∴抛物线的表达式为 $ y=x^2-3x-4 $.
令 $ x^2-3x-4=0 $, 则 $ x=-1 $ 或 $ x=4 $,
∴$ B(4,0) $.
(2)
∵$ A(-1,0) $, $ B(4,0) $, $ C(0,-4) $,
∴$ AB=5 $, $ OC=4 $,
∴$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}× 5× 4=10 $.
(3)设直线 $ BC $ 的表达式为 $ y_{BC}=kx-4 $,
∵$ B(4,0) $,
∴$ 0=4k-4 $, 解得 $ k=1 $,
∴直线 $ BC $ 的表达式为 $ y_{BC}=x-4 $.
设 $ P(x,x^2-3x-4) $, $ 0＜x＜4 $.
∵$ PQ// y $ 轴,
∴$ Q(x,x-4) $,
∴$ PQ=x-4-(x^2-3x-4)=-x^2+4x=-(x-2)^2+4 $,
∴当 $ x=2 $ 时, $ PQ_{\mathrm{max}}=4 $, 此时 $ P(2,-6) $,
∴线段 $ PQ $ 的最大值是 4, 此时点 $ P $ 的坐标为 $ (2,-6) $.
得 $ \begin{cases} 1-b+c=0, \\ 0+0+c=-4, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b=-3, \\ c=-4, \end{cases} $
∴抛物线的表达式为 $ y=x^2-3x-4 $.
令 $ x^2-3x-4=0 $, 则 $ x=-1 $ 或 $ x=4 $,
∴$ B(4,0) $.
(2)
∵$ A(-1,0) $, $ B(4,0) $, $ C(0,-4) $,
∴$ AB=5 $, $ OC=4 $,
∴$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}× 5× 4=10 $.
(3)设直线 $ BC $ 的表达式为 $ y_{BC}=kx-4 $,
∵$ B(4,0) $,
∴$ 0=4k-4 $, 解得 $ k=1 $,
∴直线 $ BC $ 的表达式为 $ y_{BC}=x-4 $.
设 $ P(x,x^2-3x-4) $, $ 0＜x＜4 $.
∵$ PQ// y $ 轴,
∴$ Q(x,x-4) $,
∴$ PQ=x-4-(x^2-3x-4)=-x^2+4x=-(x-2)^2+4 $,
∴当 $ x=2 $ 时, $ PQ_{\mathrm{max}}=4 $, 此时 $ P(2,-6) $,
∴线段 $ PQ $ 的最大值是 4, 此时点 $ P $ 的坐标为 $ (2,-6) $.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过A(-1,0)、C(0,-4)两个点，将两点坐标代入抛物线的一般式，通过解二元一次方程组即可求出待定系数b、c，得到抛物线的表达式；求点B坐标时，令抛物线表达式中y=0，解一元二次方程，舍去与点A重合的根，即可得到点B的横坐标。
(2) 观察三点坐标可知，边AB在x轴上，AB的长度为A、B两点横坐标差的绝对值，AB边上的高为点C到x轴的距离，即OC的长度，代入三角形面积公式即可计算出面积。
(3) 先利用B、C两点坐标求出直线BC的表达式；由于PQ平行于y轴，因此P、Q两点横坐标相同，设P点横坐标为x，分别用抛物线和直线BC的表达式表示P、Q的纵坐标，PQ的长度为Q点纵坐标减去P点纵坐标（Q在P上方），整理得到关于x的二次函数，配方为顶点式即可求出PQ的最大值，以及对应的x值，代入抛物线表达式即可得到此时P点的坐标。
【解析】
(1) 把 $ (-1,0) $、$ (0,-4) $ 代入 $ y=x^2+bx+c $，
得 $ \begin{cases} 1-b+c=0, \\ 0+0+c=-4, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b=-3, \\ c=-4, \end{cases} $
∴抛物线的表达式为 $ y=x^2-3x-4 $。
令 $ x^2-3x-4=0 $， 解得 $ x=-1 $ 或 $ x=4 $，
∴$ B(4,0) $。
(2)
∵$ A(-1,0) $, $ B(4,0) $, $ C(0,-4) $,
∴$ AB=4-(-1)=5 $, $ OC=4 $,
∴$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}× 5× 4=10 $。
(3) 设直线 $ BC $ 的表达式为 $ y_{BC}=kx-4 $，
∵$ B(4,0) $，
∴$ 0=4k-4 $， 解得 $ k=1 $，
∴直线 $ BC $ 的表达式为 $ y_{BC}=x-4 $。
设 $ P(x,x^2-3x-4) $，其中 $ 0＜x＜4 $，
∵$ PQ// y $ 轴，
∴$ Q $ 点横坐标也为$x$，坐标为$ (x,x-4) $，
∴$ PQ=x-4-(x^2-3x-4)=-x^2+4x=-(x-2)^2+4 $，
∵二次项系数$-1＜0$，函数开口向下，
∴当 $ x=2 $ 时， $ PQ $ 取得最大值，最大值为4，此时 $ P $ 的纵坐标为$2^2-3×2-4=-6$，即$P(2,-6)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-3x-4}$，点B的坐标为$\boldsymbol{(4,0)}$；
(2) $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{10}$；
(3) 线段PQ的最大值为$\boldsymbol{4}$，此时点P的坐标为$\boldsymbol{(2,-6)}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的最值
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，考查了函数解析式求解、坐标法处理几何问题的能力，其中利用坐标差表示竖直线段长度、结合二次函数性质求最值是二次函数的常见考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线经过A(-1,0)、C(0,-4)两个点，将两点坐标代入抛物线的一般式，通过解二元一次方程组即可求出待定系数b、c，得到抛物线的表达式；求点B坐标时，令抛物线表达式中y=0，解一元二次方程，舍去与点A重合的根，即可得到点B的横坐标。
(2) 观察三点坐标可知，边AB在x轴上，AB的长度为A、B两点横坐标差的绝对值，AB边上的高为点C到x轴的距离，即OC的长度，代入三角形面积公式即可计算出面积。
(3) 先利用B、C两点坐标求出直线BC的表达式；由于PQ平行于y轴，因此P、Q两点横坐标相同，设P点横坐标为x，分别用抛物线和直线BC的表达式表示P、Q的纵坐标，PQ的长度为Q点纵坐标减去P点纵坐标（Q在P上方），整理得到关于x的二次函数，配方为顶点式即可求出PQ的最大值，以及对应的x值，代入抛物线表达式即可得到此时P点的坐标。
【解析】
(1) 把 $ (-1,0) $、$ (0,-4) $ 代入 $ y=x^2+bx+c $，
得 $ \begin{cases} 1-b+c=0, \\ 0+0+c=-4, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b=-3, \\ c=-4, \end{cases} $
∴抛物线的表达式为 $ y=x^2-3x-4 $。
令 $ x^2-3x-4=0 $， 解得 $ x=-1 $ 或 $ x=4 $，
∴$ B(4,0) $。
(2)
∵$ A(-1,0) $, $ B(4,0) $, $ C(0,-4) $,
∴$ AB=4-(-1)=5 $, $ OC=4 $,
∴$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}× 5× 4=10 $。
(3) 设直线 $ BC $ 的表达式为 $ y_{BC}=kx-4 $，
∵$ B(4,0) $，
∴$ 0=4k-4 $， 解得 $ k=1 $，
∴直线 $ BC $ 的表达式为 $ y_{BC}=x-4 $。
设 $ P(x,x^2-3x-4) $，其中 $ 0＜x＜4 $，
∵$ PQ// y $ 轴，
∴$ Q $ 点横坐标也为$x$，坐标为$ (x,x-4) $，
∴$ PQ=x-4-(x^2-3x-4)=-x^2+4x=-(x-2)^2+4 $，
∵二次项系数$-1＜0$，函数开口向下，
∴当 $ x=2 $ 时， $ PQ $ 取得最大值，最大值为4，此时 $ P $ 的纵坐标为$2^2-3×2-4=-6$，即$P(2,-6)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-3x-4}$，点B的坐标为$\boldsymbol{(4,0)}$；
(2) $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{10}$；
(3) 线段PQ的最大值为$\boldsymbol{4}$，此时点P的坐标为$\boldsymbol{(2,-6)}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数的最值
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，考查了函数解析式求解、坐标法处理几何问题的能力，其中利用坐标差表示竖直线段长度、结合二次函数性质求最值是二次函数的常见考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
14若抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 上有两点A、B关于原点对称，则称它为“完美抛物线”。
（1）请猜猜看：抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 是否为“完美抛物线”？若是，请写出点A、B的坐标；若不是，请说明理由。
（2）若抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 是“完美抛物线”，且与y轴交于点C，与x轴交于点$ (-\frac{c}{2},0) $，若 $ S_{△ ABC}=\frac{c^2}{b} $，求直线AB的表达式。
（1）请猜猜看：抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 是否为“完美抛物线”？若是，请写出点A、B的坐标；若不是，请说明理由。
（2）若抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 是“完美抛物线”，且与y轴交于点C，与x轴交于点$ (-\frac{c}{2},0) $，若 $ S_{△ ABC}=\frac{c^2}{b} $，求直线AB的表达式。
答案
14.解:(1)抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 是“完美抛物线”.
设点 $ A $ 的坐标是 $ (m,n) $,
∵点 $ A $、$ B $ 关于原点对称,
∴点 $ B $ 的坐标是 $ (-m,-n) $.
∵$ A $、$ B $ 都是抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 上的点,
∴$ \begin{cases} m^2+m-1=n, \\ (-m)^2-m-1=-n, \end{cases} $ 解得 $ m=1 $ 或 $ m=-1 $.
①当 $ m=1 $ 时, $ n=1^2+1-1=1 $,
②当 $ m=-1 $ 时, $ n=(-1)^2-1-1=-1 $,
∴抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 是“完美抛物线”,
$ A(1,1) $、$ B(-1,-1) $ 或 $ A(-1,-1) $、$ B(1,1) $.
(2)根据题意, 抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 上有两点 $ A $、$ B $ 关于原点对称,
∴直线 $ AB $ 经过原点,
∴设直线 $ AB $ 的表达式是 $ y=kx $.
设点 $ A $ 的坐标是 $ (p,q) $, 则点 $ B $ 的坐标是 $ (-p,-q) $,
∴$ \begin{cases} ap^2+bp+c=q, \\ a· (-p)^2+b· (-p)+c=-q, \end{cases} $
∴$ ap^2+c=0 $,
∴$ bp=q $, $ p^2=-\frac{c}{a} $.
∵抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ (-\frac{c}{2},0) $,
∴$ a· (-\frac{c}{2})^2 + b· (-\frac{c}{2})+c=0 $,
∴$ 2b-ac=4 $.
∵点 $ C $ 的坐标是 $ (0,c) $,
∴$ \left|\frac{1}{2}cp× 2\right|=\frac{c^2}{b} $,
∴$ c^2p^2=\frac{c^4}{b^2} $,
∴$ p^2=\frac{c^2}{b^2} $.
又
∵$ p^2=-\frac{c}{a} $,
∴$ \frac{c^2}{b^2}=-\frac{c}{a} $,
∴$ b^2=-ac $.
又
∵$ 2b-ac=4 $,
∴$ b^2+2b-4=0 $,
∴$ b=-1\pm\sqrt{5} $.
∵$ S_{△ ABC}=\frac{c^2}{b}＞0 $,
∴$ b＞0 $,
∴$ b=\sqrt{5}-1 $.
又
∵$ bp=q $,
∴$ \frac{q}{p}=b=\sqrt{5}-1 $,
即直线 $ AB $ 的比例系数 $ k=\sqrt{5}-1 $,
∴直线 $ AB $ 的表达式是 $ y=(\sqrt{5}-1)x $.
设点 $ A $ 的坐标是 $ (m,n) $,
∵点 $ A $、$ B $ 关于原点对称,
∴点 $ B $ 的坐标是 $ (-m,-n) $.
∵$ A $、$ B $ 都是抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 上的点,
∴$ \begin{cases} m^2+m-1=n, \\ (-m)^2-m-1=-n, \end{cases} $ 解得 $ m=1 $ 或 $ m=-1 $.
①当 $ m=1 $ 时, $ n=1^2+1-1=1 $,
②当 $ m=-1 $ 时, $ n=(-1)^2-1-1=-1 $,
∴抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 是“完美抛物线”,
$ A(1,1) $、$ B(-1,-1) $ 或 $ A(-1,-1) $、$ B(1,1) $.
(2)根据题意, 抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 上有两点 $ A $、$ B $ 关于原点对称,
∴直线 $ AB $ 经过原点,
∴设直线 $ AB $ 的表达式是 $ y=kx $.
设点 $ A $ 的坐标是 $ (p,q) $, 则点 $ B $ 的坐标是 $ (-p,-q) $,
∴$ \begin{cases} ap^2+bp+c=q, \\ a· (-p)^2+b· (-p)+c=-q, \end{cases} $
∴$ ap^2+c=0 $,
∴$ bp=q $, $ p^2=-\frac{c}{a} $.
∵抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ (-\frac{c}{2},0) $,
∴$ a· (-\frac{c}{2})^2 + b· (-\frac{c}{2})+c=0 $,
∴$ 2b-ac=4 $.
∵点 $ C $ 的坐标是 $ (0,c) $,
∴$ \left|\frac{1}{2}cp× 2\right|=\frac{c^2}{b} $,
∴$ c^2p^2=\frac{c^4}{b^2} $,
∴$ p^2=\frac{c^2}{b^2} $.
又
∵$ p^2=-\frac{c}{a} $,
∴$ \frac{c^2}{b^2}=-\frac{c}{a} $,
∴$ b^2=-ac $.
又
∵$ 2b-ac=4 $,
∴$ b^2+2b-4=0 $,
∴$ b=-1\pm\sqrt{5} $.
∵$ S_{△ ABC}=\frac{c^2}{b}＞0 $,
∴$ b＞0 $,
∴$ b=\sqrt{5}-1 $.
又
∵$ bp=q $,
∴$ \frac{q}{p}=b=\sqrt{5}-1 $,
即直线 $ AB $ 的比例系数 $ k=\sqrt{5}-1 $,
∴直线 $ AB $ 的表达式是 $ y=(\sqrt{5}-1)x $.
解析
【分析】
（1）首先根据“完美抛物线”的定义，若抛物线上存在关于原点对称的两点，则为完美抛物线。解题时可设其中一点$A(m,n)$，由原点对称性质得$B(-m,-n)$，将两点代入抛物线解析式，若方程组有解即可判定是完美抛物线，解即为两点坐标。
（2）由于A、B关于原点对称，可知直线AB过原点，可设其解析式为$y=kx$，同样设对称点代入抛物线得到$a,b,c,p$的关系；再将已知的抛物线与x轴交点代入解析式得到$a,b,c$的等式；求出抛物线与y轴交点C的坐标，结合三角形面积公式列等式，联立所有关系式消元求出$k$，注意面积为正的隐含条件可舍去不符合的解。
【解析】
(1) 抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 是“完美抛物线”，理由如下：
设点 $ A $ 的坐标是 $ (m,n) $，
∵点 $ A $、$ B $ 关于原点对称，
∴点 $ B $ 的坐标是 $ (-m,-n) $，
∵$ A $、$ B $ 都在抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 上，
∴代入得：$\begin{cases} m^2+m-1=n \\ (-m)^2-m-1=-n \end{cases}$
两式相加得$2m^2-2=0$，解得 $ m=1 $ 或 $ m=-1 $，
①当 $ m=1 $ 时，$ n=1^2+1-1=1 $，此时$A(1,1)$，$B(-1,-1)$；
②当 $ m=-1 $ 时，$ n=(-1)^2-1-1=-1 $，此时$A(-1,-1)$，$B(1,1)$。
(2)
∵抛物线上的A、B关于原点对称，
∴直线AB经过原点，设直线 $ AB $ 的表达式为 $ y=kx $，
设点 $ A $ 的坐标是 $ (p,q) $，则点 $ B $ 的坐标是 $ (-p,-q) $，
将A、B代入抛物线解析式得：
$\begin{cases} ap^2+bp+c=q \quad① \\ ap^2-bp+c=-q \quad② \end{cases}$
①+②得：$2ap^2 + 2c =0$，整理得$ ap^2+c=0 $，即$ p^2=-\frac{c}{a} $，
①-②得：$2bp=2q$，整理得$ bp=q $，即$k=\frac{q}{p}=b$。
∵抛物线与x轴交于点 $ (-\frac{c}{2},0) $，代入抛物线解析式得：
$ a· (-\frac{c}{2})^2 + b· (-\frac{c}{2})+c=0 $，
∵$c≠0$（若$c=0$则三角形面积为0，不符合题意），两边同时除以$c$整理得$ 2b-ac=4 $。
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C点坐标为$ (0,c) $，
$S_{△ABC}=S_{△AOC}+S_{△BOC}=|c· p|$，
由题意$ S_{△ ABC}=\frac{c^2}{b} $，
∴$|cp|=\frac{c^2}{b}$，两边平方得$c^2p^2=\frac{c^4}{b^2}$，
约去$c^2$得$ p^2=\frac{c^2}{b^2} $，
又
∵$ p^2=-\frac{c}{a} $，
∴$ \frac{c^2}{b^2}=-\frac{c}{a} $，约去$c$得$ b^2=-ac $，
将$ b^2=-ac $代入$ 2b-ac=4 $得$ b^2+2b-4=0 $，
解得$ b=-1\pm\sqrt{5} $，
∵$ S_{△ ABC}=\frac{c^2}{b}＞0 $，$c^2＞0$，
∴$ b＞0 $，
∴$ b=\sqrt{5}-1 $，即$k=\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) 是完美抛物线，A、B坐标为$\boldsymbol{A(1,1)、B(-1,-1)}$或$\boldsymbol{A(-1,-1)、B(1,1)}$；
(2) 直线AB的表达式为$\boldsymbol{y=(\sqrt{5}-1)x}$。
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 中心对称坐标特征
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是将新定义转化为熟悉的对称点坐标关系，解题过程需要联立多个等式消元求解，同时要注意挖掘面积为正的隐含条件，对代数运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
（1）首先根据“完美抛物线”的定义，若抛物线上存在关于原点对称的两点，则为完美抛物线。解题时可设其中一点$A(m,n)$，由原点对称性质得$B(-m,-n)$，将两点代入抛物线解析式，若方程组有解即可判定是完美抛物线，解即为两点坐标。
（2）由于A、B关于原点对称，可知直线AB过原点，可设其解析式为$y=kx$，同样设对称点代入抛物线得到$a,b,c,p$的关系；再将已知的抛物线与x轴交点代入解析式得到$a,b,c$的等式；求出抛物线与y轴交点C的坐标，结合三角形面积公式列等式，联立所有关系式消元求出$k$，注意面积为正的隐含条件可舍去不符合的解。
【解析】
(1) 抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 是“完美抛物线”，理由如下：
设点 $ A $ 的坐标是 $ (m,n) $，
∵点 $ A $、$ B $ 关于原点对称，
∴点 $ B $ 的坐标是 $ (-m,-n) $，
∵$ A $、$ B $ 都在抛物线 $ y=x^2+x-1 $ 上，
∴代入得：$\begin{cases} m^2+m-1=n \\ (-m)^2-m-1=-n \end{cases}$
两式相加得$2m^2-2=0$，解得 $ m=1 $ 或 $ m=-1 $，
①当 $ m=1 $ 时，$ n=1^2+1-1=1 $，此时$A(1,1)$，$B(-1,-1)$；
②当 $ m=-1 $ 时，$ n=(-1)^2-1-1=-1 $，此时$A(-1,-1)$，$B(1,1)$。
(2)
∵抛物线上的A、B关于原点对称，
∴直线AB经过原点，设直线 $ AB $ 的表达式为 $ y=kx $，
设点 $ A $ 的坐标是 $ (p,q) $，则点 $ B $ 的坐标是 $ (-p,-q) $，
将A、B代入抛物线解析式得：
$\begin{cases} ap^2+bp+c=q \quad① \\ ap^2-bp+c=-q \quad② \end{cases}$
①+②得：$2ap^2 + 2c =0$，整理得$ ap^2+c=0 $，即$ p^2=-\frac{c}{a} $，
①-②得：$2bp=2q$，整理得$ bp=q $，即$k=\frac{q}{p}=b$。
∵抛物线与x轴交于点 $ (-\frac{c}{2},0) $，代入抛物线解析式得：
$ a· (-\frac{c}{2})^2 + b· (-\frac{c}{2})+c=0 $，
∵$c≠0$（若$c=0$则三角形面积为0，不符合题意），两边同时除以$c$整理得$ 2b-ac=4 $。
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C点坐标为$ (0,c) $，
$S_{△ABC}=S_{△AOC}+S_{△BOC}=|c· p|$，
由题意$ S_{△ ABC}=\frac{c^2}{b} $，
∴$|cp|=\frac{c^2}{b}$，两边平方得$c^2p^2=\frac{c^4}{b^2}$，
约去$c^2$得$ p^2=\frac{c^2}{b^2} $，
又
∵$ p^2=-\frac{c}{a} $，
∴$ \frac{c^2}{b^2}=-\frac{c}{a} $，约去$c$得$ b^2=-ac $，
将$ b^2=-ac $代入$ 2b-ac=4 $得$ b^2+2b-4=0 $，
解得$ b=-1\pm\sqrt{5} $，
∵$ S_{△ ABC}=\frac{c^2}{b}＞0 $，$c^2＞0$，
∴$ b＞0 $，
∴$ b=\sqrt{5}-1 $，即$k=\sqrt{5}-1$。
【答案】
(1) 是完美抛物线，A、B坐标为$\boldsymbol{A(1,1)、B(-1,-1)}$或$\boldsymbol{A(-1,-1)、B(1,1)}$；
(2) 直线AB的表达式为$\boldsymbol{y=(\sqrt{5}-1)x}$。
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 中心对称坐标特征
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是将新定义转化为熟悉的对称点坐标关系，解题过程需要联立多个等式消元求解，同时要注意挖掘面积为正的隐含条件，对代数运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
