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12. 计算$(-1)^n + (-1)^{n+1}$（$n$是正整数）的结果是（
A.$-1^{2n+1}$
B.$1$
C.$-1$
D.$0$
D
）A.$-1^{2n+1}$
B.$1$
C.$-1$
D.$0$
答案
12.D
解析
【分析】
观察待求式的两项，底数均为-1，指数n和n+1是相邻的正整数，因此两个指数必然一个为奇数、一个为偶数。我们可以利用-1的乘方规律求解：-1的奇数次幂等于-1，偶数次幂等于1，既可以通过分类讨论分别计算两种情况的结果，也可以提取公因式$(-1)^n$简化运算。
【解析】
方法1：分类讨论
①当n为正奇数时，n+1为正偶数，此时$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+1}=1$，代入得原式$=-1+1=0$；
②当n为正偶数时，n+1为正奇数，此时$(-1)^n=1$，$(-1)^{n+1}=-1$，代入得原式$=1+(-1)=0$。
综上，无论n是正奇数还是正偶数，计算结果均为0。
方法2：提取公因式法
根据乘方的性质，$(-1)^{n+1}=(-1)^n×(-1)$，对原式变形可得：
$(-1)^n + (-1)^{n+1}=(-1)^n + (-1)^n×(-1)=(-1)^n×(1-1)=(-1)^n×0=0$。
【答案】
D
【知识点】
乘方的运算；-1的幂的规律；有理数加法
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心考查对-1的奇次幂、偶次幂运算规律的掌握，解题时可通过分类讨论或提取公因式的方式快速得出结果，注重对基础运算性质的理解和运用。
【难度系数】
0.8
观察待求式的两项，底数均为-1，指数n和n+1是相邻的正整数，因此两个指数必然一个为奇数、一个为偶数。我们可以利用-1的乘方规律求解：-1的奇数次幂等于-1，偶数次幂等于1，既可以通过分类讨论分别计算两种情况的结果，也可以提取公因式$(-1)^n$简化运算。
【解析】
方法1：分类讨论
①当n为正奇数时，n+1为正偶数，此时$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+1}=1$，代入得原式$=-1+1=0$；
②当n为正偶数时，n+1为正奇数，此时$(-1)^n=1$，$(-1)^{n+1}=-1$，代入得原式$=1+(-1)=0$。
综上，无论n是正奇数还是正偶数，计算结果均为0。
方法2：提取公因式法
根据乘方的性质，$(-1)^{n+1}=(-1)^n×(-1)$，对原式变形可得：
$(-1)^n + (-1)^{n+1}=(-1)^n + (-1)^n×(-1)=(-1)^n×(1-1)=(-1)^n×0=0$。
【答案】
D
【知识点】
乘方的运算；-1的幂的规律；有理数加法
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心考查对-1的奇次幂、偶次幂运算规律的掌握，解题时可通过分类讨论或提取公因式的方式快速得出结果，注重对基础运算性质的理解和运用。
【难度系数】
0.8
13.若$|m-2|+|n+3|=0$，则$n^m=$（
A.−6
B.6
C.9
D.−9
C
）A.−6
B.6
C.9
D.−9
答案
13.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆绝对值的性质：任意数的绝对值都是非负数（即≥0）。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0等式才能成立，据此可以列出关于m、n的等式求出二者的值，再代入乘方公式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值具有非负性，
∴ $\vert m-2\vert≥0$，$\vert n+3\vert≥0$，
又
∵ $\vert m-2\vert+\vert n+3\vert=0$，
∴ 只有$\vert m-2\vert=0$且$\vert n+3\vert=0$时等式成立，
即$m-2=0$，$n+3=0$，
解得$m=2$，$n=-3$，
代入$n^m$得：$n^m=(-3)^2=9$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
绝对值的非负性；乘方的运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是熟练掌握绝对值的非负性求出对应字母的值，计算乘方时要注意负数的偶次幂为正数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆绝对值的性质：任意数的绝对值都是非负数（即≥0）。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0等式才能成立，据此可以列出关于m、n的等式求出二者的值，再代入乘方公式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值具有非负性，
∴ $\vert m-2\vert≥0$，$\vert n+3\vert≥0$，
又
∵ $\vert m-2\vert+\vert n+3\vert=0$，
∴ 只有$\vert m-2\vert=0$且$\vert n+3\vert=0$时等式成立，
即$m-2=0$，$n+3=0$，
解得$m=2$，$n=-3$，
代入$n^m$得：$n^m=(-3)^2=9$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
绝对值的非负性；乘方的运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是熟练掌握绝对值的非负性求出对应字母的值，计算乘方时要注意负数的偶次幂为正数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
14. 要使算式$(-1)^4 □ [2^2 - (-3)^3]$的计算结果最大，在“$□$”里填入的运算符号应是（
A.+
B.-
C.×
D.÷
A
）A.+
B.-
C.×
D.÷
答案
14.A
解析
【分析】
要确定填入哪个运算符号使计算结果最大，我们可以先算出算式中固定不变的部分，再分别把四个选项的运算符号代入计算结果，最后比较四个结果的大小就能得到答案。
【解析】
第一步：先计算算式中的固定部分：
① 计算乘方：$(-1)^4 = 1$；
② 计算中括号内的内容：$2^2 - (-3)^3 = 4 - (-27) = 4 + 27 = 31$；
此时算式简化为$1 □ 31$。
第二步：分别代入四个运算符号计算结果：
A. 填“$+$”时：$1 + 31 = 32$；
B. 填“$-$”时：$1 - 31 = -30$；
C. 填“$×$”时：$1 × 31 = 31$；
D. 填“$÷$”时：$1 ÷ 31 = \frac{1}{31}$；
第三步：比较结果大小：$32 ＞ 31 ＞ \frac{1}{31} ＞ -30$，可知填入“$+$”时计算结果最大。
【答案】
A
【知识点】
乘方的运算；有理数四则运算；有理数大小比较
【点评】
本题是对有理数基础运算的综合考查，解题关键是先化简固定运算部分，再代入不同符号计算比较，注意负数乘方的符号判断即可避免出错。
【难度系数】
0.8
要确定填入哪个运算符号使计算结果最大，我们可以先算出算式中固定不变的部分，再分别把四个选项的运算符号代入计算结果，最后比较四个结果的大小就能得到答案。
【解析】
第一步：先计算算式中的固定部分：
① 计算乘方：$(-1)^4 = 1$；
② 计算中括号内的内容：$2^2 - (-3)^3 = 4 - (-27) = 4 + 27 = 31$；
此时算式简化为$1 □ 31$。
第二步：分别代入四个运算符号计算结果：
A. 填“$+$”时：$1 + 31 = 32$；
B. 填“$-$”时：$1 - 31 = -30$；
C. 填“$×$”时：$1 × 31 = 31$；
D. 填“$÷$”时：$1 ÷ 31 = \frac{1}{31}$；
第三步：比较结果大小：$32 ＞ 31 ＞ \frac{1}{31} ＞ -30$，可知填入“$+$”时计算结果最大。
【答案】
A
【知识点】
乘方的运算；有理数四则运算；有理数大小比较
【点评】
本题是对有理数基础运算的综合考查，解题关键是先化简固定运算部分，再代入不同符号计算比较，注意负数乘方的符号判断即可避免出错。
【难度系数】
0.8
15.《庄子·天下篇》讲道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，千秋万代也截不完.一天之后“一尺之棰”剩$\frac{1}{2}$尺，两天之后剩$\frac{1}{4}$尺，那么6天之后，这个“一尺之棰”还剩
$\dfrac{1}{64}$
尺.答案
15.$\dfrac{1}{64}$
解析
【分析】
本题需要先根据题目给出的剩余长度规律，结合乘方的概念推导通用公式，再代入天数计算即可。首先观察已知条件：1天剩余$\frac{1}{2}$尺，2天剩余$\frac{1}{4}$尺，可见每天剩余的长度都是前一天的$\frac{1}{2}$，对应乘方的形式就是剩余长度等于$\frac{1}{2}$的天数次方，因此只需将天数6代入公式计算就能得到结果。
【解析】
解：根据题意可知：
1天之后剩余长度：$\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1$
2天之后剩余长度：$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$
……
由此可推出，n天之后剩余的长度为$(\frac{1}{2})^n$尺
当n=6时，剩余长度为$(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$
【答案】
$\dfrac{1}{64}$
【知识点】
1.乘方的概念 2.有理数乘方运算 3.数字规律探究
【点评】
本题结合传统文化典故出题，既考查了乘方的基础应用，也能让做题者感受到数学与传统文化的联系，题目难度较低，找准剩余长度和天数的对应规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
本题需要先根据题目给出的剩余长度规律，结合乘方的概念推导通用公式，再代入天数计算即可。首先观察已知条件：1天剩余$\frac{1}{2}$尺，2天剩余$\frac{1}{4}$尺，可见每天剩余的长度都是前一天的$\frac{1}{2}$，对应乘方的形式就是剩余长度等于$\frac{1}{2}$的天数次方，因此只需将天数6代入公式计算就能得到结果。
【解析】
解：根据题意可知：
1天之后剩余长度：$\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1$
2天之后剩余长度：$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$
……
由此可推出，n天之后剩余的长度为$(\frac{1}{2})^n$尺
当n=6时，剩余长度为$(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$
【答案】
$\dfrac{1}{64}$
【知识点】
1.乘方的概念 2.有理数乘方运算 3.数字规律探究
【点评】
本题结合传统文化典故出题，既考查了乘方的基础应用，也能让做题者感受到数学与传统文化的联系，题目难度较低，找准剩余长度和天数的对应规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
16.如果一个有理数的平方等于它本身，那么这个有理数是
$0或1$
。答案
16.$0或1$
解析
【分析】
解题时先明确题目要求：寻找满足“平方等于自身”的有理数。我们可以先设这个数为x，根据题意得到等量关系$x^2=x$，接下来分类讨论不同范围的有理数是否满足条件：先验证特殊值0、1，再排除负数、大于1的正数、0到1之间的正数，即可得出结果。
【解析】
设这个有理数为$ x $，根据题意可得：$ x^2 = x $
1. 当$ x=0 $时，$ 0^2 = 0 × 0 = 0 $，满足$ x^2 = x $；
2. 当$ x=1 $时，$ 1^2 = 1 × 1 = 1 $，满足$ x^2 = x $；
3. 若$ x $为负有理数，则$ x^2 ＞ 0 $，而$ x ＜ 0 $，因此$ x^2 ≠ x $，不满足；
4. 若$ x ＞ 1 $，则$ x^2 = x × x ＞ x × 1 = x $，因此$ x^2 ≠ x $，不满足；
5. 若$ 0 ＜ x ＜ 1 $，则$ x^2 = x × x ＜ x × 1 = x $，因此$ x^2 ≠ x $，不满足。
综上，满足条件的有理数是0或1。
【答案】
0或1
【知识点】
乘方的概念；有理数平方的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对乘方定义的理解，解题时容易遗漏0这个答案，需注意对特殊值的验证和全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题目要求：寻找满足“平方等于自身”的有理数。我们可以先设这个数为x，根据题意得到等量关系$x^2=x$，接下来分类讨论不同范围的有理数是否满足条件：先验证特殊值0、1，再排除负数、大于1的正数、0到1之间的正数，即可得出结果。
【解析】
设这个有理数为$ x $，根据题意可得：$ x^2 = x $
1. 当$ x=0 $时，$ 0^2 = 0 × 0 = 0 $，满足$ x^2 = x $；
2. 当$ x=1 $时，$ 1^2 = 1 × 1 = 1 $，满足$ x^2 = x $；
3. 若$ x $为负有理数，则$ x^2 ＞ 0 $，而$ x ＜ 0 $，因此$ x^2 ≠ x $，不满足；
4. 若$ x ＞ 1 $，则$ x^2 = x × x ＞ x × 1 = x $，因此$ x^2 ≠ x $，不满足；
5. 若$ 0 ＜ x ＜ 1 $，则$ x^2 = x × x ＜ x × 1 = x $，因此$ x^2 ≠ x $，不满足。
综上，满足条件的有理数是0或1。
【答案】
0或1
【知识点】
乘方的概念；有理数平方的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对乘方定义的理解，解题时容易遗漏0这个答案，需注意对特殊值的验证和全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.9
17.计算：
(1)$-\dfrac{1}{10^4}$；
(2)$(-2)^2 × (-5)^3$。
(1)$-\dfrac{1}{10^4}$；
(2)$(-2)^2 × (-5)^3$。
答案
17. 解:(1)原式$=-\dfrac{1}{10\ 000}$;(2)原式$=4×(-125)=-500$.
解析
【分析】
（1）第一小问先明确$10^4$的含义是4个10相乘，先算出$10^4$的结果，再结合前面的负号就能得到最终结果；（2）第二小问先根据乘方的概念分别计算两个乘方的结果：负数的偶次幂为正，所以$(-2)^2$是正数，负数的奇次幂为负，所以$(-5)^3$是负数，算出两个幂的值后再按照有理数乘法法则计算乘积即可。
【解析】
(1) 计算$10^4=10×10×10×10=10000$，因此原式$=-\dfrac{1}{10000}$；
(2) 先计算乘方部分：$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$，$(-5)^3=(-5)×(-5)×(-5)=-125$，再计算乘法：原式$=4×(-125)=-500$。
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{10\ 000}$；(2)$-500$
【知识点】
乘方的概念，有理数乘法运算，负数幂的符号规律
【点评】
本题是乘方的基础运算题，解题核心是准确掌握乘方的定义，计算负数的乘方时要先判断结果的符号，再计算绝对值部分，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
（1）第一小问先明确$10^4$的含义是4个10相乘，先算出$10^4$的结果，再结合前面的负号就能得到最终结果；（2）第二小问先根据乘方的概念分别计算两个乘方的结果：负数的偶次幂为正，所以$(-2)^2$是正数，负数的奇次幂为负，所以$(-5)^3$是负数，算出两个幂的值后再按照有理数乘法法则计算乘积即可。
【解析】
(1) 计算$10^4=10×10×10×10=10000$，因此原式$=-\dfrac{1}{10000}$；
(2) 先计算乘方部分：$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$，$(-5)^3=(-5)×(-5)×(-5)=-125$，再计算乘法：原式$=4×(-125)=-500$。
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{10\ 000}$；(2)$-500$
【知识点】
乘方的概念，有理数乘法运算，负数幂的符号规律
【点评】
本题是乘方的基础运算题，解题核心是准确掌握乘方的定义，计算负数的乘方时要先判断结果的符号，再计算绝对值部分，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
18. 已知$x,y$为实数，且$|x+3| + |y-3| = 0$，求$(\dfrac{x}{y})^{2024}$的值。
答案
18. 解:因为$|x+3|+|y-3|=0$,$|x+3|≥0$,$|y-3|≥0$,所以$|x+3|=0$,$|y-3|=0$,所以$x+3=0$,$y-3=0$,所以$x=-3$,$y=3$,所以原式$=(\dfrac{-3}{3})^{2\ 024}=(-1)^{2\ 024}=1$.
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质：任意实数的绝对值都是非负数。两个非负数相加结果为0，说明这两个非负数各自都等于0，由此可列出关于x、y的一元一次方程，解出x和y的取值后，代入待求代数式，再根据乘方的运算法则计算即可，注意2024是偶数，负数的偶次幂为正数。
【解析】
解：
∵ $|x+3| + |y-3| = 0$，根据绝对值的性质可得$|x+3|≥0$，$|y-3|≥0$，
∴ 只有$|x+3|=0$且$|y-3|=0$时，等式才能成立，
即$x+3=0$，$y-3=0$，
解得$x=-3$，$y=3$，
将$x=-3$，$y=3$代入$(\dfrac{x}{y})^{2024}$得：
原式$=(\dfrac{-3}{3})^{2024}=(-1)^{2024}=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
绝对值的非负性，乘方的运算
【点评】
本题属于基础运算题型，解题核心是掌握绝对值的非负性，明确几个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0，计算乘方时要注意区分负数奇次幂、偶次幂的符号规律。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值的性质：任意实数的绝对值都是非负数。两个非负数相加结果为0，说明这两个非负数各自都等于0，由此可列出关于x、y的一元一次方程，解出x和y的取值后，代入待求代数式，再根据乘方的运算法则计算即可，注意2024是偶数，负数的偶次幂为正数。
【解析】
解：
∵ $|x+3| + |y-3| = 0$，根据绝对值的性质可得$|x+3|≥0$，$|y-3|≥0$，
∴ 只有$|x+3|=0$且$|y-3|=0$时，等式才能成立，
即$x+3=0$，$y-3=0$，
解得$x=-3$，$y=3$，
将$x=-3$，$y=3$代入$(\dfrac{x}{y})^{2024}$得：
原式$=(\dfrac{-3}{3})^{2024}=(-1)^{2024}=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
绝对值的非负性，乘方的运算
【点评】
本题属于基础运算题型，解题核心是掌握绝对值的非负性，明确几个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0，计算乘方时要注意区分负数奇次幂、偶次幂的符号规律。
【难度系数】
0.8
19.已知$a^2=a· a,a^3=a· a· a,a^n=a· a· ··· · a(n个a).$
(1)计算:
①$(2×3)^2=$
②$(2×3)^3=$
(2)猜想:$(a× b)^n$
(3)用(2)中结论计算:$(-2)^{2023}×0.5^{2024}.$
(1)计算:
①$(2×3)^2=$
$36$
$,2^2×3^2=$$36$
$;$②$(2×3)^3=$
$216$
$,2^3×3^3=$$216$
$;$(2)猜想:$(a× b)^n$
$=$
$a^n× b^n;$(3)用(2)中结论计算:$(-2)^{2023}×0.5^{2024}.$
答案
19. 解:(1)①$36\ \ 36$ ②$216\ \ 216$ (2)$=$ (3)原式$=-2^{2\ 023}×0.5^{2\ 024}=-(2×0.5)^{2\ 023}×0.5=-1^{2\ 023}×0.5=-1×0.5=-0.5$.
解析
【分析】
第(1)问按照乘方的定义，分别计算乘积的乘方和两个数乘方的乘积，对比两组运算结果；第(2)问根据(1)中两组结果相等的规律，猜想一般形式下的数量关系；第(3)问逆用第(2)问得到的积的乘方结论，先拆分指数把同指数的幂组合简化计算，再处理剩余项和符号即可。
【解析】
(1)①计算$(2×3)^2$：先算括号内$2×3=6$，再算$6^2=6×6=36$；计算$2^2×3^2$：$2^2=4$，$3^2=9$，$4×9=36$。
②计算$(2×3)^3$：先算括号内$2×3=6$，再算$6^3=6×6×6=216$；计算$2^3×3^3$：$2^3=8$，$3^3=27$，$8×27=216$。
(2)由(1)的计算结果可猜想：$(a×b)^n = a^n×b^n$。
(3)计算$(-2)^{2023}×0.5^{2024}$：
先将$0.5^{2024}$拆分为$0.5^{2023}×0.5$，原式$=(-2)^{2023}×0.5^{2023}×0.5$；
逆用积的乘方结论得：$(-2×0.5)^{2023}×0.5=(-1)^{2023}×0.5$；
2023是奇数，$(-1)^{2023}=-1$，因此最终结果为$-1×0.5=-0.5$。
【答案】
(1)①$36$，$36$；②$216$，$216$；(2)$=$；(3)$-0.5$
【知识点】
乘方的概念、积的乘方性质、幂的运算逆用
【点评】
本题通过特殊到一般的思路推导积的乘方运算规律，再引导学生逆用规律简化高次幂运算，既考察对乘方基础概念的理解，也锻炼归纳推理能力和简便运算能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问按照乘方的定义，分别计算乘积的乘方和两个数乘方的乘积，对比两组运算结果；第(2)问根据(1)中两组结果相等的规律，猜想一般形式下的数量关系；第(3)问逆用第(2)问得到的积的乘方结论，先拆分指数把同指数的幂组合简化计算，再处理剩余项和符号即可。
【解析】
(1)①计算$(2×3)^2$：先算括号内$2×3=6$，再算$6^2=6×6=36$；计算$2^2×3^2$：$2^2=4$，$3^2=9$，$4×9=36$。
②计算$(2×3)^3$：先算括号内$2×3=6$，再算$6^3=6×6×6=216$；计算$2^3×3^3$：$2^3=8$，$3^3=27$，$8×27=216$。
(2)由(1)的计算结果可猜想：$(a×b)^n = a^n×b^n$。
(3)计算$(-2)^{2023}×0.5^{2024}$：
先将$0.5^{2024}$拆分为$0.5^{2023}×0.5$，原式$=(-2)^{2023}×0.5^{2023}×0.5$；
逆用积的乘方结论得：$(-2×0.5)^{2023}×0.5=(-1)^{2023}×0.5$；
2023是奇数，$(-1)^{2023}=-1$，因此最终结果为$-1×0.5=-0.5$。
【答案】
(1)①$36$，$36$；②$216$，$216$；(2)$=$；(3)$-0.5$
【知识点】
乘方的概念、积的乘方性质、幂的运算逆用
【点评】
本题通过特殊到一般的思路推导积的乘方运算规律，再引导学生逆用规律简化高次幂运算，既考察对乘方基础概念的理解，也锻炼归纳推理能力和简便运算能力。
【难度系数】
0.7
