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例1 如图,在正方形网格上有△ABC和△DEF两个三角形,试证明△ABC∽△DEF.
【思路导析】设小正方形的边长为1,由勾股定理求出未知边,并计算各组对应边的比.
【请你解答】
【思路导析】设小正方形的边长为1,由勾股定理求出未知边,并计算各组对应边的比.
【请你解答】
答案
证明：
设小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
在△ABC中，
$AB = 2$，
$BC = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，
$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$；
在△DEF中，
$DE = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，
$EF = 2$，
$DF = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，
$\frac{BC}{EF} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
$\frac{AC}{DF} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{2}$。
$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$。
设小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
在△ABC中，
$AB = 2$，
$BC = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，
$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$；
在△DEF中，
$DE = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，
$EF = 2$，
$DF = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，
$\frac{BC}{EF} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
$\frac{AC}{DF} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{2}$。
$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$。
解析
【分析】要证明两个三角形相似，结合网格特征，我们可以利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求证。首先设每个小正方形的边长为1，用勾股定理分别计算出△ABC和△DEF的三条边的长度，再计算两个三角形对应边的比值，若三组对应边的比值相等，即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：设小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
在△ABC中，
$AB = 2$，
$BC = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，
$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$；
在△DEF中，
$DE = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，
$EF = 2$，
$DF = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，
$\frac{BC}{EF} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
$\frac{AC}{DF} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{2}$。
$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$。
【答案】$\boxed{△ ABC ∽ △ DEF}$
【知识点】勾股定理、相似三角形的判定
【点评】本题是网格类相似证明的基础题型，解题核心是借助勾股定理准确计算两个三角形各边的长度，再验证对应边比值相等即可证明相似，计算边长和对应边比值时要注意细心，避免出错。
【难度系数】0.7
【解析】
证明：设小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
在△ABC中，
$AB = 2$，
$BC = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，
$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$；
在△DEF中，
$DE = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，
$EF = 2$，
$DF = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，
$\frac{BC}{EF} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$，
$\frac{AC}{DF} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{2}$。
$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$。
【答案】$\boxed{△ ABC ∽ △ DEF}$
【知识点】勾股定理、相似三角形的判定
【点评】本题是网格类相似证明的基础题型，解题核心是借助勾股定理准确计算两个三角形各边的长度，再验证对应边比值相等即可证明相似，计算边长和对应边比值时要注意细心，避免出错。
【难度系数】0.7
例2 在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，$AC=3$，$BA=4$，$A'C'=6$，$B'A'=8$。那么这两个直角三角形是否相似？
【思路导析】斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：这两个直角三角形相似，推导过程如下：
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，
$\because \frac{BA}{B'A'}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{BA}{B'A'}=\frac{AC}{A'C'}$，
$\therefore Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'$（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，
$\because \frac{BA}{B'A'}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{BA}{B'A'}=\frac{AC}{A'C'}$，
$\therefore Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'$（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。
解析
【分析】
要判断两个直角三角形是否相似，已知两个三角形均为直角三角形，可优先使用直角三角形相似的特殊判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。解题时首先确定两个三角形的斜边和一组对应直角边，分别计算两组边的比值，若比值相等则满足判定条件，可判定两三角形相似，否则不相似。
【解析】
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，$∠C=∠C'=90°$，
$\because \frac{BA}{B'A'}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{BA}{B'A'}=\frac{AC}{A'C'}$，
$\therefore Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'$（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。
【答案】
这两个直角三角形相似
【知识点】
直角三角形相似判定、成比例线段
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，重点考查直角三角形相似的特殊判定方法的应用，解题时需注意找准对应边，验证对应边的比值是否相等即可得出结论，是巩固基础判定定理的典型习题。
【难度系数】
0.85
要判断两个直角三角形是否相似，已知两个三角形均为直角三角形，可优先使用直角三角形相似的特殊判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。解题时首先确定两个三角形的斜边和一组对应直角边，分别计算两组边的比值，若比值相等则满足判定条件，可判定两三角形相似，否则不相似。
【解析】
在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中，$∠C=∠C'=90°$，
$\because \frac{BA}{B'A'}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{BA}{B'A'}=\frac{AC}{A'C'}$，
$\therefore Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C'$（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。
【答案】
这两个直角三角形相似
【知识点】
直角三角形相似判定、成比例线段
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，重点考查直角三角形相似的特殊判定方法的应用，解题时需注意找准对应边，验证对应边的比值是否相等即可得出结论，是巩固基础判定定理的典型习题。
【难度系数】
0.85
例3 如图，$CE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的高，在$EC$的延长线上取一点$P$，连接$AP$，作$BG\bot AP$，垂足为$G$，交$CE$于点$D$。
(1)求证：$CE^2 = AE· BE$；
(2)求证：$CE^2 = ED· EP$。
【探究点拨】(1)证明$△ AEC ∽ △ CEB$；(2)证明$△ AEP ∽ △ DEB$。
【规范解答】(1)∵ $∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ BCE = 90°$。
又$∠ AEC = 90°$，$∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ CAE = ∠ BCE$。
又$∠ AEC = ∠ CEB = 90°$，
∴ $△ AEC ∽ △ CEB$。
∴ $\frac{CE}{BE} = \frac{AE}{CE}$，∴ $CE^2 = AE· BE$。
(2)∵ $BG\bot AP$，$∠ PDG = ∠ BDE$，
∴ $∠ P = ∠ EBD$。
而$∠ AEP = ∠ BEC = 90°$，
∴ $△ AEP ∽ △ DEB$，∴ $\frac{AE}{ED} = \frac{EP}{BE}$，
∴ $AE· BE = ED· EP$。
由(1)知$AE· BE = CE^2$，
∴ $CE^2 = ED· EP$。
(1)求证：$CE^2 = AE· BE$；
(2)求证：$CE^2 = ED· EP$。
【探究点拨】(1)证明$△ AEC ∽ △ CEB$；(2)证明$△ AEP ∽ △ DEB$。
【规范解答】(1)∵ $∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ BCE = 90°$。
又$∠ AEC = 90°$，$∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ CAE = ∠ BCE$。
又$∠ AEC = ∠ CEB = 90°$，
∴ $△ AEC ∽ △ CEB$。
∴ $\frac{CE}{BE} = \frac{AE}{CE}$，∴ $CE^2 = AE· BE$。
(2)∵ $BG\bot AP$，$∠ PDG = ∠ BDE$，
∴ $∠ P = ∠ EBD$。
而$∠ AEP = ∠ BEC = 90°$，
∴ $△ AEP ∽ △ DEB$，∴ $\frac{AE}{ED} = \frac{EP}{BE}$，
∴ $AE· BE = ED· EP$。
由(1)知$AE· BE = CE^2$，
∴ $CE^2 = ED· EP$。
答案
证明：(1)
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ BCE = 90°$。
∵ $CE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的高，
∴ $∠ AEC=∠ CEB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ CAE = ∠ BCE$。
在$△ AEC$和$△ CEB$中：
$∠ AEC = ∠ CEB = 90°$，
$∠ CAE = ∠ BCE$，
∴ $△ AEC ∽ △ CEB$。
∴ $\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{CE}$，
即 $CE^2 = AE· BE$。
(2)
∵ $BG⊥ AP$，
∴ $∠ PGD = 90°$，
∴ $∠ P + ∠ PDG = 90°$。
又$∠ BED=90°$，
∴ $∠ EBD + ∠ BDE = 90°$，
且$∠ PDG = ∠ BDE$，
∴ $∠ P = ∠ EBD$。
在$△ AEP$和$△ DEB$中：
$∠ AEP = ∠ DEB = 90°$，
$∠ P = ∠ EBD$，
∴ $△ AEP ∽ △ DEB$。
∴ $\frac{AE}{ED}=\frac{EP}{BE}$，
即 $AE· BE = ED· EP$。
由(1)知 $AE· BE = CE^2$，
∴ $CE^2 = ED· EP$。
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ BCE = 90°$。
∵ $CE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的高，
∴ $∠ AEC=∠ CEB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ CAE = ∠ BCE$。
在$△ AEC$和$△ CEB$中：
$∠ AEC = ∠ CEB = 90°$，
$∠ CAE = ∠ BCE$，
∴ $△ AEC ∽ △ CEB$。
∴ $\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{CE}$，
即 $CE^2 = AE· BE$。
(2)
∵ $BG⊥ AP$，
∴ $∠ PGD = 90°$，
∴ $∠ P + ∠ PDG = 90°$。
又$∠ BED=90°$，
∴ $∠ EBD + ∠ BDE = 90°$，
且$∠ PDG = ∠ BDE$，
∴ $∠ P = ∠ EBD$。
在$△ AEP$和$△ DEB$中：
$∠ AEP = ∠ DEB = 90°$，
$∠ P = ∠ EBD$，
∴ $△ AEP ∽ △ DEB$。
∴ $\frac{AE}{ED}=\frac{EP}{BE}$，
即 $AE· BE = ED· EP$。
由(1)知 $AE· BE = CE^2$，
∴ $CE^2 = ED· EP$。
解析
【分析】
(1) 证明等积式通常先转化为比例式分析，要证$CE^2 = AE· BE$，即证$\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{CE}$，观察比例式的对应边，分别属于$△ AEC$和$△ CEB$，因此只需证明这两个三角形相似即可。先根据直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等得到一组锐角相等，再加两个直角相等，即可证两三角形相似，由相似三角形对应边成比例变形即可得到结论。
(2) 要证$CE^2 = ED· EP$，结合(1)的结论$CE^2=AE·BE$，只需证明$AE· BE = ED· EP$，转化为比例式即证$\frac{AE}{ED}=\frac{EP}{BE}$，对应$△ AEP$和$△ DEB$。利用垂直的性质和对顶角相等，结合同角的余角相等得到一组锐角相等，加两个直角相等即可证两三角形相似，得到对应等积式后与(1)的结论等量代换即可得证。
【解析】
(1)
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ BCE = 90°$。
∵ $CE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的高，
∴ $∠ AEC=∠ CEB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ CAE = ∠ BCE$。
在$△ AEC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ AEC = ∠ CEB = 90° \\∠ CAE = ∠ BCE\end{cases}$
∴ $△ AEC ∽ △ CEB$。
∴ $\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{CE}$，
即 $CE^2 = AE· BE$。
(2)
∵ $BG⊥ AP$，
∴ $∠ PGD = 90°$，
∴ $∠ P + ∠ PDG = 90°$。
又$∠ BED=90°$，
∴ $∠ EBD + ∠ BDE = 90°$，
且$∠ PDG = ∠ BDE$（对顶角相等），
∴ $∠ P = ∠ EBD$。
在$△ AEP$和$△ DEB$中：
$\begin{cases}∠ AEP = ∠ DEB = 90° \\∠ P = ∠ EBD\end{cases}$
∴ $△ AEP ∽ △ DEB$。
∴ $\frac{AE}{ED}=\frac{EP}{BE}$，
即 $AE· BE = ED· EP$。
由(1)知 $AE· BE = CE^2$，
∴ $CE^2 = ED· EP$。
【答案】
(1) $CE^2 = AE· BE$，证明成立；
(2) $CE^2 = ED· EP$，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等积式证明
【点评】
本题是利用相似三角形证明等积式的典型题型，解题核心是将等积式转化为比例式，匹配对应的相似三角形，同时要善于利用前一问的结论做等量代换，熟练运用同角的余角相等寻找等角是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 证明等积式通常先转化为比例式分析，要证$CE^2 = AE· BE$，即证$\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{CE}$，观察比例式的对应边，分别属于$△ AEC$和$△ CEB$，因此只需证明这两个三角形相似即可。先根据直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等得到一组锐角相等，再加两个直角相等，即可证两三角形相似，由相似三角形对应边成比例变形即可得到结论。
(2) 要证$CE^2 = ED· EP$，结合(1)的结论$CE^2=AE·BE$，只需证明$AE· BE = ED· EP$，转化为比例式即证$\frac{AE}{ED}=\frac{EP}{BE}$，对应$△ AEP$和$△ DEB$。利用垂直的性质和对顶角相等，结合同角的余角相等得到一组锐角相等，加两个直角相等即可证两三角形相似，得到对应等积式后与(1)的结论等量代换即可得证。
【解析】
(1)
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ BCE = 90°$。
∵ $CE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的高，
∴ $∠ AEC=∠ CEB=90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ CAE = ∠ BCE$。
在$△ AEC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ AEC = ∠ CEB = 90° \\∠ CAE = ∠ BCE\end{cases}$
∴ $△ AEC ∽ △ CEB$。
∴ $\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{CE}$，
即 $CE^2 = AE· BE$。
(2)
∵ $BG⊥ AP$，
∴ $∠ PGD = 90°$，
∴ $∠ P + ∠ PDG = 90°$。
又$∠ BED=90°$，
∴ $∠ EBD + ∠ BDE = 90°$，
且$∠ PDG = ∠ BDE$（对顶角相等），
∴ $∠ P = ∠ EBD$。
在$△ AEP$和$△ DEB$中：
$\begin{cases}∠ AEP = ∠ DEB = 90° \\∠ P = ∠ EBD\end{cases}$
∴ $△ AEP ∽ △ DEB$。
∴ $\frac{AE}{ED}=\frac{EP}{BE}$，
即 $AE· BE = ED· EP$。
由(1)知 $AE· BE = CE^2$，
∴ $CE^2 = ED· EP$。
【答案】
(1) $CE^2 = AE· BE$，证明成立；
(2) $CE^2 = ED· EP$，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等积式证明
【点评】
本题是利用相似三角形证明等积式的典型题型，解题核心是将等积式转化为比例式，匹配对应的相似三角形，同时要善于利用前一问的结论做等量代换，熟练运用同角的余角相等寻找等角是解题的关键。
【难度系数】
0.7
如图,在正方形网格上画梯形ABCD,连接BD,求∠BDC的度数.
解:设小正方形边长为1,则在△ABD中,AD=1,AB=$\sqrt{2}$,BD=$\sqrt{5}$.
在△BCD中,BD=$\sqrt{5}$,CD=$\sqrt{10}$,BC=5.
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=$,
$\frac{AB}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=$,$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{BC}$.
∴ △BAD∽△CBD.
∴ ∠BDC=∠BAD=.
解:设小正方形边长为1,则在△ABD中,AD=1,AB=$\sqrt{2}$,BD=$\sqrt{5}$.
在△BCD中,BD=$\sqrt{5}$,CD=$\sqrt{10}$,BC=5.
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=$,
$\frac{AB}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=$,$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{BC}$.
∴ △BAD∽△CBD.
∴ ∠BDC=∠BAD=.
答案
解：设小正方形边长为1，则在△ABD中，AD=1，AB=$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{5}$。
在△BCD中，BD=$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{10}$，BC=5。
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{AB}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{BC}$。
∴ △BAD∽△CBD。
∴ ∠BDC=∠BAD=$135°$。
在△BCD中，BD=$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{10}$，BC=5。
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{AB}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{BC}$。
∴ △BAD∽△CBD。
∴ ∠BDC=∠BAD=$135°$。
解析
【分析】
要计算∠BDC的度数，直接求解难度较大，可通过相似三角形将所求角转化为度数已知的角求解：首先设小正方形边长为1，分别计算△ABD和△CBD的各边长度，再化简对应边的比值，验证两个三角形三边是否对应成比例，若相似则对应角相等，最后求出∠BAD的度数即可得到∠BDC的度数。
【解析】
设小正方形边长为1，
在△ABD中，由勾股定理得：AD=1，AB=$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
在△BCD中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，BC=5。
对边的比值进行化简：
$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{AB}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2×5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
可知$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△BAD∽△CBD。
根据相似三角形对应角相等，得∠BDC=∠BAD，
又∠BAD是正方形的外角，度数为90°+45°=135°，因此∠BDC=135°。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$；$\frac{\sqrt{5}}{5}$；$135°$，即∠BDC的度数为$135°$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；二次根式化简
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的应用，解题核心是利用网格和勾股定理计算线段长度，通过三边成比例证明三角形相似，将未知角转化为易求的角，解题时要注意匹配相似三角形的对应边，避免比值对应错误。
【难度系数】
0.7
要计算∠BDC的度数，直接求解难度较大，可通过相似三角形将所求角转化为度数已知的角求解：首先设小正方形边长为1，分别计算△ABD和△CBD的各边长度，再化简对应边的比值，验证两个三角形三边是否对应成比例，若相似则对应角相等，最后求出∠BAD的度数即可得到∠BDC的度数。
【解析】
设小正方形边长为1，
在△ABD中，由勾股定理得：AD=1，AB=$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
在△BCD中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，BC=5。
对边的比值进行化简：
$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{AB}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2×5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
可知$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△BAD∽△CBD。
根据相似三角形对应角相等，得∠BDC=∠BAD，
又∠BAD是正方形的外角，度数为90°+45°=135°，因此∠BDC=135°。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$；$\frac{\sqrt{5}}{5}$；$135°$，即∠BDC的度数为$135°$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；二次根式化简
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的应用，解题核心是利用网格和勾股定理计算线段长度，通过三边成比例证明三角形相似，将未知角转化为易求的角，解题时要注意匹配相似三角形的对应边，避免比值对应错误。
【难度系数】
0.7
