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1. $△ ABC$ 的三边长分别为 $3$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$ 的两边长分别为 $1$ 和 $\sqrt{5}$，当$△ A_{1}B_{1}C_{1}$ 的第三边长为 时，$△ ABC$ 与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$ 相似。
答案
$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
解析
【分析】
要判断两个三角形相似，依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，首先将△ABC的三边按从小到大排序，求出三边的最简比，再结合△A₁B₁C₁已知的两边，匹配最简比的对应项，即可求出第三边的长度。解题时要注意相似三角形的边满足“短边对短边、长边对长边”的对应关系，避免对应关系找错。
【解析】
1. 先将△ABC的三边长按从小到大的顺序排列：$\sqrt{3}$，$3$，$\sqrt{15}$。
2. 化简△ABC的三边比值：
$\sqrt{3}:3:\sqrt{15}=(\sqrt{3}÷\sqrt{3}):(3÷\sqrt{3}):(\sqrt{15}÷\sqrt{3})=1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$
3. 若两个三角形相似，则△A₁B₁C₁的三边比也为$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$。
4. 已知△A₁B₁C₁的两边为$1$和$\sqrt{5}$，正好对应比值的第一项和第三项，因此第三边对应比值的第二项，即第三边长为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 相似三角形SSS判定
2. 二次根式化简
【点评】
本题核心考查利用三边成比例判定三角形相似，解题的关键是先对三角形的边按大小排序确定对应比例关系，能有效避免因对应边匹配错误导致的失分。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形相似，依据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，首先将△ABC的三边按从小到大排序，求出三边的最简比，再结合△A₁B₁C₁已知的两边，匹配最简比的对应项，即可求出第三边的长度。解题时要注意相似三角形的边满足“短边对短边、长边对长边”的对应关系，避免对应关系找错。
【解析】
1. 先将△ABC的三边长按从小到大的顺序排列：$\sqrt{3}$，$3$，$\sqrt{15}$。
2. 化简△ABC的三边比值：
$\sqrt{3}:3:\sqrt{15}=(\sqrt{3}÷\sqrt{3}):(3÷\sqrt{3}):(\sqrt{15}÷\sqrt{3})=1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$
3. 若两个三角形相似，则△A₁B₁C₁的三边比也为$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$。
4. 已知△A₁B₁C₁的两边为$1$和$\sqrt{5}$，正好对应比值的第一项和第三项，因此第三边对应比值的第二项，即第三边长为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 相似三角形SSS判定
2. 二次根式化简
【点评】
本题核心考查利用三边成比例判定三角形相似，解题的关键是先对三角形的边按大小排序确定对应比例关系，能有效避免因对应边匹配错误导致的失分。
【难度系数】
0.7
2.如图,小正方形的边长均为1,则图①②③④中的四个三角形中,与$△ ABC$相似的是(填序号).
答案
解：
由小正方形边长均为1，根据勾股定理计算$△ ABC$的三边长：
$BC=2$，
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
$\therefore △ ABC$的三边从小到大的比为 $\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
分别计算四个阴影三角形的三边长之比：
① 三边长为$\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{5}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{5}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似；
② 三边长为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与$△ ABC$三边比相等，两三角形相似；
③ 三边长为$2,\sqrt{5},\sqrt{10}$，三边比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{10}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似；
④ 三边长为$2,2\sqrt{2},\sqrt{10}$，三边比为$2:2\sqrt{2}:\sqrt{10}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似。
综上，与$△ ABC$相似的是$\boldsymbol{②}$。
由小正方形边长均为1，根据勾股定理计算$△ ABC$的三边长：
$BC=2$，
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
$\therefore △ ABC$的三边从小到大的比为 $\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
分别计算四个阴影三角形的三边长之比：
① 三边长为$\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{5}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{5}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似；
② 三边长为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与$△ ABC$三边比相等，两三角形相似；
③ 三边长为$2,\sqrt{5},\sqrt{10}$，三边比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{10}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似；
④ 三边长为$2,2\sqrt{2},\sqrt{10}$，三边比为$2:2\sqrt{2}:\sqrt{10}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似。
综上，与$△ ABC$相似的是$\boldsymbol{②}$。
解析
【分析】
要判断网格中的三角形是否与△ABC相似，可借助“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理解题：第一步，利用勾股定理计算△ABC的三边长，将三边从小到大排序后求出三边的比值；第二步，分别计算四个待判断三角形的三边长，同样求出从小到大的三边比值；第三步，将各三角形的三边比值与△ABC的比值对比，比值相等的即为与△ABC相似的三角形。
【解析】
已知小正方形边长均为1，先计算△ABC的三边长：
由图可得$BC=2$，
根据勾股定理：$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
将△ABC三边从小到大排序得$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$，化简三边比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
再分别计算四个阴影三角形的三边长及比值：
① 三边长为$\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{5}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{5}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似；
② 三边长为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，两三角形相似；
③ 三边长为$2,\sqrt{5},\sqrt{10}$，三边比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{10}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似；
④ 三边长为$2,2\sqrt{2},\sqrt{10}$，三边比为$2:2\sqrt{2}:\sqrt{10}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似。
【答案】
$\boldsymbol{②}$
【知识点】
1.勾股定理 2.相似三角形的判定 3.网格线段计算
【点评】
本题是网格背景下的相似三角形判定题，解题核心是通过勾股定理准确计算各三角形的三边长度，再对比三边比值判断相似性，解题时要注意将三边按从小到大顺序排列后再求比值，避免因顺序错误出现判断失误。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的三角形是否与△ABC相似，可借助“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理解题：第一步，利用勾股定理计算△ABC的三边长，将三边从小到大排序后求出三边的比值；第二步，分别计算四个待判断三角形的三边长，同样求出从小到大的三边比值；第三步，将各三角形的三边比值与△ABC的比值对比，比值相等的即为与△ABC相似的三角形。
【解析】
已知小正方形边长均为1，先计算△ABC的三边长：
由图可得$BC=2$，
根据勾股定理：$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
将△ABC三边从小到大排序得$\sqrt{2},2,\sqrt{10}$，化简三边比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
再分别计算四个阴影三角形的三边长及比值：
① 三边长为$\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{5}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{5}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似；
② 三边长为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，两三角形相似；
③ 三边长为$2,\sqrt{5},\sqrt{10}$，三边比为$2:\sqrt{5}:\sqrt{10}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似；
④ 三边长为$2,2\sqrt{2},\sqrt{10}$，三边比为$2:2\sqrt{2}:\sqrt{10}$，与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不相等，两三角形不相似。
【答案】
$\boldsymbol{②}$
【知识点】
1.勾股定理 2.相似三角形的判定 3.网格线段计算
【点评】
本题是网格背景下的相似三角形判定题，解题核心是通过勾股定理准确计算各三角形的三边长度，再对比三边比值判断相似性，解题时要注意将三边按从小到大顺序排列后再求比值，避免因顺序错误出现判断失误。
【难度系数】
0.7
3.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有条.
答案
解：
满足条件的直线共有3条，构造依据如下：
1. 过点P作平行于AB的直线，交AC于一点，可得截得的三角形与△ABC有公共角∠C，且对应直角相等，两三角形相似；
2. 过点P作平行于AC的直线，交AB于一点，可得截得的三角形与△ABC有公共角∠B，且对应直角相等，两三角形相似；
3. 过点P作垂直于BC的直线，交AC或AB于一点，可得截得的三角形与△ABC有公共锐角，且对应直角相等，两三角形相似。
综上，满足这样条件的直线共有$\boldsymbol{3}$条。
满足条件的直线共有3条，构造依据如下：
1. 过点P作平行于AB的直线，交AC于一点，可得截得的三角形与△ABC有公共角∠C，且对应直角相等，两三角形相似；
2. 过点P作平行于AC的直线，交AB于一点，可得截得的三角形与△ABC有公共角∠B，且对应直角相等，两三角形相似；
3. 过点P作垂直于BC的直线，交AC或AB于一点，可得截得的三角形与△ABC有公共锐角，且对应直角相等，两三角形相似。
综上，满足这样条件的直线共有$\boldsymbol{3}$条。
解析
【分析】
要解决这道题，我们围绕“截得的三角形与Rt△ABC相似”这一要求思考：原三角形是直角三角形，相似的核心是截出的新三角形也需是直角三角形，且和原三角形有公共锐角。我们可以分情况构造符合要求的直线：首先考虑通过作平行线构造同位角相等，得到有公共角的直角三角形；再考虑作BC的垂线，直接得到以P为直角顶点、有公共锐角的直角三角形，逐一分析所有可能性即可，注意不要漏解。
【解析】
要使截得的三角形与Rt△ABC相似，只需截得的三角形为直角三角形，且与原三角形有公共锐角即可，分三种情况构造：
1. 过点P作AB的平行线，交AC于一点，此时截得的三角形与△ABC有公共角∠C，且均含有直角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，两三角形相似；
2. 过点P作AC的平行线，交AB于一点，此时截得的三角形与△ABC有公共角∠B，且均含有直角，同理可得两三角形相似；
3. 过点P作BC的垂线，交AC（或AB）于一点，此时截得的三角形与△ABC有公共锐角，且均含有直角，同理可得两三角形相似。
综上，满足条件的直线共有3条。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定的灵活应用，解题时需结合直角三角形的特征分类讨论所有可能的截线情况，避免因考虑不全面漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们围绕“截得的三角形与Rt△ABC相似”这一要求思考：原三角形是直角三角形，相似的核心是截出的新三角形也需是直角三角形，且和原三角形有公共锐角。我们可以分情况构造符合要求的直线：首先考虑通过作平行线构造同位角相等，得到有公共角的直角三角形；再考虑作BC的垂线，直接得到以P为直角顶点、有公共锐角的直角三角形，逐一分析所有可能性即可，注意不要漏解。
【解析】
要使截得的三角形与Rt△ABC相似，只需截得的三角形为直角三角形，且与原三角形有公共锐角即可，分三种情况构造：
1. 过点P作AB的平行线，交AC于一点，此时截得的三角形与△ABC有公共角∠C，且均含有直角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，两三角形相似；
2. 过点P作AC的平行线，交AB于一点，此时截得的三角形与△ABC有公共角∠B，且均含有直角，同理可得两三角形相似；
3. 过点P作BC的垂线，交AC（或AB）于一点，此时截得的三角形与△ABC有公共锐角，且均含有直角，同理可得两三角形相似。
综上，满足条件的直线共有3条。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定的灵活应用，解题时需结合直角三角形的特征分类讨论所有可能的截线情况，避免因考虑不全面漏解。
【难度系数】
0.7
4.如图,将一个直角的顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与边BC相交于点E,已知$AD=8,DC=6$,则$\frac{AP}{PE}=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
解析
【分析】
要求$\frac{AP}{PE}$的比值，我们可以通过构造相似三角形转化线段比。首先过点P向AB、BC作垂线，利用直角的互余关系证明得到一组相似三角形，将$\frac{AP}{PE}$转化为两条垂线段的比；再结合矩形的性质，利用平行线判定得到新的相似三角形，求出两条垂线段的比值即可。
【解析】
过点$P$作$PM⊥ AB$于点$M$，$PN⊥ BC$于点$N$，则$∠ AMP=∠ PNE=90°$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ ABC=90°$，$AD=BC=8$，$AB=CD=6$，
$\therefore$四边形$PMBN$是矩形，$\therefore ∠ MPN=90°$。
$\because ∠ APE=90°$，
$\therefore ∠ APM + ∠ MPE = ∠ EPN + ∠ MPE = 90°$，
$\therefore ∠ APM=∠ EPN$，
$\therefore △ APM ∽ △ EPN$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AP}{PE}=\frac{PM}{PN}$。
$\because PM// AD$，$\therefore △ BPM ∽ △ BDA$，$\therefore \frac{PM}{AD}=\frac{BP}{BD}$；
$\because PN// CD$，$\therefore △ BPN ∽ △ BDC$，$\therefore \frac{PN}{CD}=\frac{BP}{BD}$，
$\therefore \frac{PM}{AD}=\frac{PN}{CD}$，即$\frac{PM}{PN}=\frac{AD}{CD}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，
$\therefore \frac{AP}{PE}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题是相似与矩形的综合题，通过作垂线构造相似三角形是解题的突破口，需要熟练掌握相似三角形的判定定理，能灵活将所求线段比转化为易求的线段比。
【难度系数】
0.6
要求$\frac{AP}{PE}$的比值，我们可以通过构造相似三角形转化线段比。首先过点P向AB、BC作垂线，利用直角的互余关系证明得到一组相似三角形，将$\frac{AP}{PE}$转化为两条垂线段的比；再结合矩形的性质，利用平行线判定得到新的相似三角形，求出两条垂线段的比值即可。
【解析】
过点$P$作$PM⊥ AB$于点$M$，$PN⊥ BC$于点$N$，则$∠ AMP=∠ PNE=90°$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore ∠ ABC=90°$，$AD=BC=8$，$AB=CD=6$，
$\therefore$四边形$PMBN$是矩形，$\therefore ∠ MPN=90°$。
$\because ∠ APE=90°$，
$\therefore ∠ APM + ∠ MPE = ∠ EPN + ∠ MPE = 90°$，
$\therefore ∠ APM=∠ EPN$，
$\therefore △ APM ∽ △ EPN$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AP}{PE}=\frac{PM}{PN}$。
$\because PM// AD$，$\therefore △ BPM ∽ △ BDA$，$\therefore \frac{PM}{AD}=\frac{BP}{BD}$；
$\because PN// CD$，$\therefore △ BPN ∽ △ BDC$，$\therefore \frac{PN}{CD}=\frac{BP}{BD}$，
$\therefore \frac{PM}{AD}=\frac{PN}{CD}$，即$\frac{PM}{PN}=\frac{AD}{CD}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，
$\therefore \frac{AP}{PE}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题是相似与矩形的综合题，通过作垂线构造相似三角形是解题的突破口，需要熟练掌握相似三角形的判定定理，能灵活将所求线段比转化为易求的线段比。
【难度系数】
0.6
5.如图所示是中国象棋的棋盘(各个小正方形的边长均相等),根据“马走日”的规则,“马”落在下列哪个位置处时,能使“马”“炮”“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形相似 ()
A.①
B.②
C.③
D.④
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理先计算出“帅”“车”“相”构成的三角形的三边长，得到三边的比值；再计算“兵”和“炮”两点的距离，最后分别计算“马”落在四个选项位置时，“马”“炮”“兵”构成的三角形的三边长，对比两组三角形的三边比值，满足三边对应成比例的即为相似三角形，同时排除共线不能构成三角形的情况。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，通过坐标法计算各点距离：
1. 计算“帅”“车”“相”构成的三角形三边长：
帅到车的距离为4，车到相的距离为2，帅到相的距离为$\sqrt{(8-4)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{5}$，因此该三角形三边从小到大的比值为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，且为直角三角形。
2. 计算“兵”“炮”的距离：兵和炮在同一竖线上，距离为$4-2=2$。
3. 分别验证四个选项：
选项A：马在①处时，与兵、炮三点共线，无法构成三角形，排除；
选项B：马在②处时，马到炮的距离为1，马到兵的距离为$\sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{5}$，三边为1、2、$\sqrt{5}$，比值为$1:2:\sqrt{5}$，与“帅车相”三角形三边比值相等，满足相似三角形三边对应成比例的判定条件，两三角形相似；
选项C：马在③处时，三边长为2、3、$\sqrt{13}$，比值不相等，不相似；
选项D：马在④处时，为等腰三角形，三边比值不相等，不相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理、格点三角形计算
【点评】
本题结合中国象棋的背景考查相似三角形的判定，解题核心是利用勾股定理准确计算格点三角形的各边长度，再通过三边对应成比例判断相似，既考查了基础知识点的应用，也结合了生活常识，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理先计算出“帅”“车”“相”构成的三角形的三边长，得到三边的比值；再计算“兵”和“炮”两点的距离，最后分别计算“马”落在四个选项位置时，“马”“炮”“兵”构成的三角形的三边长，对比两组三角形的三边比值，满足三边对应成比例的即为相似三角形，同时排除共线不能构成三角形的情况。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，通过坐标法计算各点距离：
1. 计算“帅”“车”“相”构成的三角形三边长：
帅到车的距离为4，车到相的距离为2，帅到相的距离为$\sqrt{(8-4)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{5}$，因此该三角形三边从小到大的比值为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，且为直角三角形。
2. 计算“兵”“炮”的距离：兵和炮在同一竖线上，距离为$4-2=2$。
3. 分别验证四个选项：
选项A：马在①处时，与兵、炮三点共线，无法构成三角形，排除；
选项B：马在②处时，马到炮的距离为1，马到兵的距离为$\sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{5}$，三边为1、2、$\sqrt{5}$，比值为$1:2:\sqrt{5}$，与“帅车相”三角形三边比值相等，满足相似三角形三边对应成比例的判定条件，两三角形相似；
选项C：马在③处时，三边长为2、3、$\sqrt{13}$，比值不相等，不相似；
选项D：马在④处时，为等腰三角形，三边比值不相等，不相似。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理、格点三角形计算
【点评】
本题结合中国象棋的背景考查相似三角形的判定，解题核心是利用勾股定理准确计算格点三角形的各边长度，再通过三边对应成比例判断相似，既考查了基础知识点的应用，也结合了生活常识，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
6.如图,已知∠ABC=∠ACD=90°,补充下列条件仍不能判断△ABC与△ACD相似的是
()
A.AC平分∠BAD
B.AB⊥AD
C.$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{BC}$
D.$AC^2=BC· AD$
()
A.AC平分∠BAD
B.AB⊥AD
C.$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{BC}$
D.$AC^2=BC· AD$
答案
C
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，已知△ABC和△ACD均为直角三角形，已有一组直角（∠ABC=∠ACD=90°）对应相等，要判定二者相似，只需再找到一组锐角相等，或满足两组边对应成比例且夹角相等（直角三角形还可通过斜边与一条直角边对应成比例判定）。解题时逐个分析选项，验证是否满足相似判定条件即可。
【解析】
已知∠ABC=∠ACD=90°，即△ABC和△ACD都是直角三角形，已有一组对应角相等，逐一分析选项：
A. 若AC平分∠BAD，则∠BAC=∠CAD，结合∠ABC=∠ACD=90°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ACD，不符合题意；
B. 若AB⊥AD，则∠BAD=90°，即∠BAC+∠CAD=90°。在Rt△ABC中，∠BAC+∠ACB=90°，可推出∠CAD=∠ACB，结合∠ABC=∠ACD=90°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△DCA，不符合题意；
C. 若$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{BC}$，其中AD是Rt△ACD的斜边，AB是Rt△ABC的直角边，AC是Rt△ACD的直角边，BC是Rt△ABC的直角边，该比例的边不是两个三角形的对应边，既不能推出另一组角相等，也不满足“两边成比例且夹角相等”的判定条件，故不能判定两三角形相似，符合题意；
D. 若$AC^2=BC·AD$，变形可得$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即Rt△ABC的斜边AC与直角边BC的比，等于Rt△ACD的斜边AD与直角边AC的比，根据“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”，可判定△ABC∽△DCA，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质；比例的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题时要注意两个三角形的对应边、对应角的对应关系，尤其是边成比例的判定条件中，必须是对应边的比值相等，避免因边对应错误出现误判。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定，已知△ABC和△ACD均为直角三角形，已有一组直角（∠ABC=∠ACD=90°）对应相等，要判定二者相似，只需再找到一组锐角相等，或满足两组边对应成比例且夹角相等（直角三角形还可通过斜边与一条直角边对应成比例判定）。解题时逐个分析选项，验证是否满足相似判定条件即可。
【解析】
已知∠ABC=∠ACD=90°，即△ABC和△ACD都是直角三角形，已有一组对应角相等，逐一分析选项：
A. 若AC平分∠BAD，则∠BAC=∠CAD，结合∠ABC=∠ACD=90°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ACD，不符合题意；
B. 若AB⊥AD，则∠BAD=90°，即∠BAC+∠CAD=90°。在Rt△ABC中，∠BAC+∠ACB=90°，可推出∠CAD=∠ACB，结合∠ABC=∠ACD=90°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△DCA，不符合题意；
C. 若$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{BC}$，其中AD是Rt△ACD的斜边，AB是Rt△ABC的直角边，AC是Rt△ACD的直角边，BC是Rt△ABC的直角边，该比例的边不是两个三角形的对应边，既不能推出另一组角相等，也不满足“两边成比例且夹角相等”的判定条件，故不能判定两三角形相似，符合题意；
D. 若$AC^2=BC·AD$，变形可得$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即Rt△ABC的斜边AC与直角边BC的比，等于Rt△ACD的斜边AD与直角边AC的比，根据“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”，可判定△ABC∽△DCA，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质；比例的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题时要注意两个三角形的对应边、对应角的对应关系，尤其是边成比例的判定条件中，必须是对应边的比值相等，避免因边对应错误出现误判。
【难度系数】
0.7
