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7.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB, MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM=时,△ADE与△MNC相似.
答案
解：
∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AD=2，AE=1，∠A=∠C=90°。
设CM=x，在Rt△MNC中，MN=1，
∴NC=√(MN²-CM²)=√(1-x²)。
分两种情况讨论相似：
1. 当△ADE∽△CMN时，$\frac{AD}{CM}=\frac{AE}{CN}$，
即$\frac{2}{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，
两边平方整理得$5x^2=4$，
解得$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$（舍去负根）。
2. 当△ADE∽△CNM时，$\frac{AD}{CN}=\frac{AE}{CM}$，
即$\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{x}$，
两边平方整理得$5x^2=1$，
解得$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$（舍去负根）。
综上，$CM=\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AD=2，AE=1，∠A=∠C=90°。
设CM=x，在Rt△MNC中，MN=1，
∴NC=√(MN²-CM²)=√(1-x²)。
分两种情况讨论相似：
1. 当△ADE∽△CMN时，$\frac{AD}{CM}=\frac{AE}{CN}$，
即$\frac{2}{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，
两边平方整理得$5x^2=4$，
解得$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$（舍去负根）。
2. 当△ADE∽△CNM时，$\frac{AD}{CN}=\frac{AE}{CM}$，
即$\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{x}$，
两边平方整理得$5x^2=1$，
解得$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$（舍去负根）。
综上，$CM=\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
解析
【分析】
△ADE和△MNC都是直角三角形，直角分别为∠A和∠C，因此相似时直角为固定对应角，但剩余两组锐角的对应关系不唯一，需要分两种情况讨论。首先根据正方形边长和AE=EB的条件求出△ADE的两条直角边长度，再设CM为x，利用勾股定理表示出CN的长度，然后根据两种相似情况对应的边成比例列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到CM的长度。
【解析】
∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AD=2，AE=1，∠A=∠C=90°。
设CM=x，在Rt△MNC中，MN=1，
∴NC=$\sqrt{MN^2-CM^2}=\sqrt{1-x^2}$。
分两种情况讨论相似：
1. 当△ADE∽△CMN时，$\frac{AD}{CM}=\frac{AE}{CN}$，
即$\frac{2}{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，
两边平方整理得$5x^2=4$，
解得$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$（舍去负根）。
2. 当△ADE∽△CNM时，$\frac{AD}{CN}=\frac{AE}{CM}$，
即$\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{x}$，
两边平方整理得$5x^2=1$，
解得$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$（舍去负根）。
综上，$CM=\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的典型动点问题，解题核心是明确直角三角形相似时锐角对应关系不唯一，需要分类讨论，解题过程中需结合方程思想和勾股定理计算，同时注意边长为正数，要舍去不符合实际的负解，是相似三角形章节的常见易错题。
【难度系数】
0.6
△ADE和△MNC都是直角三角形，直角分别为∠A和∠C，因此相似时直角为固定对应角，但剩余两组锐角的对应关系不唯一，需要分两种情况讨论。首先根据正方形边长和AE=EB的条件求出△ADE的两条直角边长度，再设CM为x，利用勾股定理表示出CN的长度，然后根据两种相似情况对应的边成比例列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到CM的长度。
【解析】
∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AD=2，AE=1，∠A=∠C=90°。
设CM=x，在Rt△MNC中，MN=1，
∴NC=$\sqrt{MN^2-CM^2}=\sqrt{1-x^2}$。
分两种情况讨论相似：
1. 当△ADE∽△CMN时，$\frac{AD}{CM}=\frac{AE}{CN}$，
即$\frac{2}{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，
两边平方整理得$5x^2=4$，
解得$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$（舍去负根）。
2. 当△ADE∽△CNM时，$\frac{AD}{CN}=\frac{AE}{CM}$，
即$\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{x}$，
两边平方整理得$5x^2=1$，
解得$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$（舍去负根）。
综上，$CM=\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是相似三角形的典型动点问题，解题核心是明确直角三角形相似时锐角对应关系不唯一，需要分类讨论，解题过程中需结合方程思想和勾股定理计算，同时注意边长为正数，要舍去不符合实际的负解，是相似三角形章节的常见易错题。
【难度系数】
0.6
8.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，DE//BC，则图中与△ABC相似的三角形的个数有（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
A
解析
【分析】
首先明确△ABC的特征：AB是⊙O的直径，故∠ACB=90°，△ABC为直角三角形。找与其相似的三角形只需用“两角分别相等的两个三角形相似（AA）”的判定定理，结合垂直、平行的性质，找出有公共锐角或等角的直角三角形即可。先通过CD⊥AB得到两个直角三角形，再通过DE//BC得到另外两个直角三角形，逐一判断相似性即可。
【解析】
1. 由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°。
2. 已知CD⊥AB，故∠ADC=∠CDB=90°：
在△ACD和△ABC中，∠A为公共角，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC（AA）；
在△CBD和△ABC中，∠B为公共角，∠CDB=∠ACB=90°，
∴△CBD∽△ABC（AA）。
3. 已知DE//BC，故∠AED=∠ACB=90°，∠DEC=90°：
在△AED和△ABC中，∠A为公共角，∠AED=∠ACB=90°，
∴△AED∽△ABC（AA）；
由DE//BC得∠EDC=∠DCB，又∠DCB和∠A都是∠B的余角，故∠DCB=∠A，即∠EDC=∠A，在△CDE和△ABC中，∠DEC=∠ACB=90°，∠EDC=∠A，
∴△CDE∽△ABC（AA）。
综上，共有4个与△ABC相似的三角形。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题解题核心是灵活运用AA相似判定定理，结合圆的性质、平行线性质推导等角，要注意逐一排查直角三角形，避免漏算。
【难度系数】
0.6
首先明确△ABC的特征：AB是⊙O的直径，故∠ACB=90°，△ABC为直角三角形。找与其相似的三角形只需用“两角分别相等的两个三角形相似（AA）”的判定定理，结合垂直、平行的性质，找出有公共锐角或等角的直角三角形即可。先通过CD⊥AB得到两个直角三角形，再通过DE//BC得到另外两个直角三角形，逐一判断相似性即可。
【解析】
1. 由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°。
2. 已知CD⊥AB，故∠ADC=∠CDB=90°：
在△ACD和△ABC中，∠A为公共角，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC（AA）；
在△CBD和△ABC中，∠B为公共角，∠CDB=∠ACB=90°，
∴△CBD∽△ABC（AA）。
3. 已知DE//BC，故∠AED=∠ACB=90°，∠DEC=90°：
在△AED和△ABC中，∠A为公共角，∠AED=∠ACB=90°，
∴△AED∽△ABC（AA）；
由DE//BC得∠EDC=∠DCB，又∠DCB和∠A都是∠B的余角，故∠DCB=∠A，即∠EDC=∠A，在△CDE和△ABC中，∠DEC=∠ACB=90°，∠EDC=∠A，
∴△CDE∽△ABC（AA）。
综上，共有4个与△ABC相似的三角形。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题解题核心是灵活运用AA相似判定定理，结合圆的性质、平行线性质推导等角，要注意逐一排查直角三角形，避免漏算。
【难度系数】
0.6
9.如图所示,在两个直角三角形中,∠ACB=∠ADC=90°,AC=√6,AD=√2,若AB=3√2,判断两个三角形是否相似?
答案
解：两个三角形相似，推导过程如下：
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6-2}=2$。
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{18-6}=2\sqrt{3}$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{AC}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}$，
$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，
$\frac{BC}{CD}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}$，
$\therefore △ ACB ∽ △ CDA$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6-2}=2$。
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{18-6}=2\sqrt{3}$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{AC}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}$，
$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，
$\frac{BC}{CD}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}$，
$\therefore △ ACB ∽ △ CDA$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，我们可先利用勾股定理分别求出两个直角三角形未知的边长，再计算两个三角形对应边的比值，若三组对应边的比值都相等，即可根据三边对应成比例的判定定理证明两个三角形相似。首先先在$Rt△ ADC$中，结合已知的$AC$、$AD$长度算出$CD$的长；再在$Rt△ ACB$中，结合已知的$AB$、$AC$长度算出$BC$的长，最后核对三组边的比值是否一致即可。
【解析】
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6-2}=2$。
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{18-6}=2\sqrt{3}$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{AC}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}$，
$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，
$\frac{BC}{CD}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}$，
$\therefore △ ACB ∽ △ CDA$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
【答案】
两个三角形相似，即$△ ACB ∽ △ CDA$
【知识点】
1. 勾股定理 2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题核心是先通过勾股定理求出两个三角形的未知边长，再验证对应边比值是否相等即可得出结论，解题时要注意找准两个三角形的对应边，避免对应边匹配错误。
【难度系数】
0.75
要判断两个三角形是否相似，我们可先利用勾股定理分别求出两个直角三角形未知的边长，再计算两个三角形对应边的比值，若三组对应边的比值都相等，即可根据三边对应成比例的判定定理证明两个三角形相似。首先先在$Rt△ ADC$中，结合已知的$AC$、$AD$长度算出$CD$的长；再在$Rt△ ACB$中，结合已知的$AB$、$AC$长度算出$BC$的长，最后核对三组边的比值是否一致即可。
【解析】
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6-2}=2$。
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{18-6}=2\sqrt{3}$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{AC}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{3}$，
$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，
$\frac{BC}{CD}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}$，
$\therefore △ ACB ∽ △ CDA$（三边对应成比例的两个三角形相似）。
【答案】
两个三角形相似，即$△ ACB ∽ △ CDA$
【知识点】
1. 勾股定理 2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题核心是先通过勾股定理求出两个三角形的未知边长，再验证对应边比值是否相等即可得出结论，解题时要注意找准两个三角形的对应边，避免对应边匹配错误。
【难度系数】
0.75
10.如图,在四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,且$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{CD}$.
(1)若$∠DAE=22°$,求$∠BAD$的度数；
(2)若$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$,判断$△ADE$与$△ACB$是否相似,并说明理由.
(1)若$∠DAE=22°$,求$∠BAD$的度数；
(2)若$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$,判断$△ADE$与$△ACB$是否相似,并说明理由.
答案
解：
(1) $\because \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{CD}$，
$\therefore △ ABE ∽ △ ACD$（三边成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD$。
$\because ∠ DAE=22°$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD = 22°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAE + ∠ DAE = 22° + 22° = 44°$。
(2) $△ ADE ∽ △ ACB$，理由如下：
由 $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，变形可得 $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又 $\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$，变形可得 $\frac{ED}{BC}=\frac{AE}{AB}$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{CB}$，即 $\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB}=\frac{AE}{AB}$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（三边成比例的两个三角形相似）。
(1) $\because \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{CD}$，
$\therefore △ ABE ∽ △ ACD$（三边成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD$。
$\because ∠ DAE=22°$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD = 22°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAE + ∠ DAE = 22° + 22° = 44°$。
(2) $△ ADE ∽ △ ACB$，理由如下：
由 $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，变形可得 $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又 $\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$，变形可得 $\frac{ED}{BC}=\frac{AE}{AB}$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{CB}$，即 $\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB}=\frac{AE}{AB}$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（三边成比例的两个三角形相似）。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先观察题目给出的三组边成比例的条件，发现这三组边恰好是△ABE和△ACD的三组对应边，因此可先依据“三边成比例的两个三角形相似”判定△ABE∽△ACD，再利用相似三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD，结合已知∠DAE=22°，即可求出∠BAD的度数。
(2) 解题思路：要判断△ADE和△ACB是否相似，优先结合已知的边的比例条件分析。先对已知的比例式$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$和$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$进行变形，推导得到△ADE和△ACB的三组对应边成比例，即可根据SSS相似判定定理得出两个三角形是否相似的结论。
【解析】
(1) $\because \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{CD}$，
$\therefore △ ABE ∽ △ ACD$（三边成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD$。
$\because ∠ DAE=22°$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD = 22°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAE + ∠ DAE = 22° + 22° = 44°$。
(2) $△ ADE ∽ △ ACB$，理由如下：
由 $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，根据比例的基本性质变形可得 $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又 $\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$，变形可得 $\frac{ED}{BC}=\frac{AE}{AB}$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{CB}$，即 $\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB}=\frac{AE}{AB}$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（三边成比例的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $44°$
(2) $△ ADE ∽ △ ACB$，理由见解析
【知识点】
相似三角形的判定（SSS），相似三角形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是准确匹配相似三角形的对应边、对应角，灵活对比例式进行变形，熟练运用三边成比例的判定定理解决问题，做题时需注意避免对应边匹配错误的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先观察题目给出的三组边成比例的条件，发现这三组边恰好是△ABE和△ACD的三组对应边，因此可先依据“三边成比例的两个三角形相似”判定△ABE∽△ACD，再利用相似三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD，结合已知∠DAE=22°，即可求出∠BAD的度数。
(2) 解题思路：要判断△ADE和△ACB是否相似，优先结合已知的边的比例条件分析。先对已知的比例式$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$和$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$进行变形，推导得到△ADE和△ACB的三组对应边成比例，即可根据SSS相似判定定理得出两个三角形是否相似的结论。
【解析】
(1) $\because \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{CD}$，
$\therefore △ ABE ∽ △ ACD$（三边成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD$。
$\because ∠ DAE=22°$，
$\therefore ∠ BAE = ∠ CAD = 22°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAE + ∠ DAE = 22° + 22° = 44°$。
(2) $△ ADE ∽ △ ACB$，理由如下：
由 $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，根据比例的基本性质变形可得 $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又 $\because \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$，变形可得 $\frac{ED}{BC}=\frac{AE}{AB}$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{CB}$，即 $\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CB}=\frac{AE}{AB}$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ACB$（三边成比例的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $44°$
(2) $△ ADE ∽ △ ACB$，理由见解析
【知识点】
相似三角形的判定（SSS），相似三角形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是准确匹配相似三角形的对应边、对应角，灵活对比例式进行变形，熟练运用三边成比例的判定定理解决问题，做题时需注意避免对应边匹配错误的问题。
【难度系数】
0.7
