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例1 袋中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同，任意摸出一个球，记下球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出一个球，记下球的颜色.
(1)求两次摸出的都是红球的概率；
(2)求两次摸出的是一个红球和一个白球的概率.
【思路导析】运用树状图求解，设白球为$b_1,b_2$，红球为$a$，用树状图表示如图.
【请你解答】
(1)求两次摸出的都是红球的概率；
(2)求两次摸出的是一个红球和一个白球的概率.
【思路导析】运用树状图求解，设白球为$b_1,b_2$，红球为$a$，用树状图表示如图.
【请你解答】
答案
解：
由树状图可知，所有等可能出现的结果共有9种，分别为：$(a,a)$、$(a,b_1)$、$(a,b_2)$、$(b_1,a)$、$(b_1,b_1)$、$(b_1,b_2)$、$(b_2,a)$、$(b_2,b_1)$、$(b_2,b_2)$，每种结果发生的可能性相等。
(1) 两次摸出的都是红球的结果只有1种，为$(a,a)$，
因此$P(\mathrm{两次摸出的都是红球})=\frac{1}{9}$。
(2) 两次摸出的是一个红球和一个白球的结果共有4种，分别为$(a,b_1)$、$(a,b_2)$、$(b_1,a)$、$(b_2,a)$，
因此$P(\mathrm{两次摸出的是一个红球和一个白球})=\frac{4}{9}$。
由树状图可知，所有等可能出现的结果共有9种，分别为：$(a,a)$、$(a,b_1)$、$(a,b_2)$、$(b_1,a)$、$(b_1,b_1)$、$(b_1,b_2)$、$(b_2,a)$、$(b_2,b_1)$、$(b_2,b_2)$，每种结果发生的可能性相等。
(1) 两次摸出的都是红球的结果只有1种，为$(a,a)$，
因此$P(\mathrm{两次摸出的都是红球})=\frac{1}{9}$。
(2) 两次摸出的是一个红球和一个白球的结果共有4种，分别为$(a,b_1)$、$(a,b_2)$、$(b_1,a)$、$(b_2,a)$，
因此$P(\mathrm{两次摸出的是一个红球和一个白球})=\frac{4}{9}$。
解析
【分析】
这是放回型的摸球概率问题，两次摸球的结果相互独立，所有结果发生的可能性相等。解题时首先通过树状图列举出两次摸球所有的等可能结果，再分别找出对应问题中符合条件的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。需要注意一红一白包含“第一次红第二次白”和“第一次白第二次红”两类情况，不要漏算。
【解析】
由树状图可知，所有等可能出现的结果共有9种，分别为：$(a,a)$、$(a,b_1)$、$(a,b_2)$、$(b_1,a)$、$(b_1,b_1)$、$(b_1,b_2)$、$(b_2,a)$、$(b_2,b_1)$、$(b_2,b_2)$，每种结果发生的可能性相等。
(1) 两次摸出的都是红球的结果只有1种，为$(a,a)$，
因此$P(\mathrm{两次摸出的都是红球})=\frac{1}{9}$。
(2) 两次摸出的是一个红球和一个白球的结果共有4种，分别为$(a,b_1)$、$(a,b_2)$、$(b_1,a)$、$(b_2,a)$，
因此$P(\mathrm{两次摸出的是一个红球和一个白球})=\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{9}$；(2) $\dfrac{4}{9}$
【知识点】
树状图法，概率计算，等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础题，核心是准确列举所有等可能的结果，解题时要注意区分放回试验和不放回试验的差异，计算符合条件的结果数时避免漏算、错算。
【难度系数】
0.7
这是放回型的摸球概率问题，两次摸球的结果相互独立，所有结果发生的可能性相等。解题时首先通过树状图列举出两次摸球所有的等可能结果，再分别找出对应问题中符合条件的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。需要注意一红一白包含“第一次红第二次白”和“第一次白第二次红”两类情况，不要漏算。
【解析】
由树状图可知，所有等可能出现的结果共有9种，分别为：$(a,a)$、$(a,b_1)$、$(a,b_2)$、$(b_1,a)$、$(b_1,b_1)$、$(b_1,b_2)$、$(b_2,a)$、$(b_2,b_1)$、$(b_2,b_2)$，每种结果发生的可能性相等。
(1) 两次摸出的都是红球的结果只有1种，为$(a,a)$，
因此$P(\mathrm{两次摸出的都是红球})=\frac{1}{9}$。
(2) 两次摸出的是一个红球和一个白球的结果共有4种，分别为$(a,b_1)$、$(a,b_2)$、$(b_1,a)$、$(b_2,a)$，
因此$P(\mathrm{两次摸出的是一个红球和一个白球})=\frac{4}{9}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{9}$；(2) $\dfrac{4}{9}$
【知识点】
树状图法，概率计算，等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础题，核心是准确列举所有等可能的结果，解题时要注意区分放回试验和不放回试验的差异，计算符合条件的结果数时避免漏算、错算。
【难度系数】
0.7
例2 如图,是两个可以自由转动的转盘,转盘各被等分成三个扇形,并分别标上1,2,3和6,7,8这6个数字,如果同时转动两个转盘各一次(指针落在等分线上重转),转盘停止后,用树状图法求指针指向的数字之和为偶数的概率.
【思路导析】用树状图法分析求解.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】用树状图法分析求解.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
画树状图如下：
```mermaid
graph TD
A[开始] --＞ B[第一个转盘:1]
A --＞ C[第一个转盘:2]
A --＞ D[第一个转盘:3]
B --＞ B1[第二个转盘:6, 和为7]
B --＞ B2[第二个转盘:7, 和为8]
B --＞ B3[第二个转盘:8, 和为9]
C --＞ C1[第二个转盘:6, 和为8]
C --＞ C2[第二个转盘:7, 和为9]
C --＞ C3[第二个转盘:8, 和为10]
D --＞ D1[第二个转盘:6, 和为9]
D --＞ D2[第二个转盘:7, 和为10]
D --＞ D3[第二个转盘:8, 和为11]
```
由树状图可知，所有等可能的结果共有9种，其中指针指向的数字之和为偶数的结果共4种。
所以P(指针指向的数字之和为偶数)=$\frac{4}{9}$。
画树状图如下：
```mermaid
graph TD
A[开始] --＞ B[第一个转盘:1]
A --＞ C[第一个转盘:2]
A --＞ D[第一个转盘:3]
B --＞ B1[第二个转盘:6, 和为7]
B --＞ B2[第二个转盘:7, 和为8]
B --＞ B3[第二个转盘:8, 和为9]
C --＞ C1[第二个转盘:6, 和为8]
C --＞ C2[第二个转盘:7, 和为9]
C --＞ C3[第二个转盘:8, 和为10]
D --＞ D1[第二个转盘:6, 和为9]
D --＞ D2[第二个转盘:7, 和为10]
D --＞ D3[第二个转盘:8, 和为11]
```
由树状图可知，所有等可能的结果共有9种，其中指针指向的数字之和为偶数的结果共4种。
所以P(指针指向的数字之和为偶数)=$\frac{4}{9}$。
解析
【分析】
解题时我们用树状图法列举所有等可能结果来求解，思路如下：首先明确两个转盘是独立的，第一个转盘有1、2、3共3种等可能结果，第二个转盘有6、7、8共3种等可能结果；先列出第一个转盘的所有结果，再对应每个结果列出第二个转盘的所有结果，同时计算两数之和；最后统计总等可能结果数、和为偶数的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
画树状图分析所有等可能结果：
```mermaid
graph TD
A[开始] --＞ B[第一个转盘:1]
A --＞ C[第一个转盘:2]
A --＞ D[第一个转盘:3]
B --＞ B1[第二个转盘:6, 和为7]
B --＞ B2[第二个转盘:7, 和为8]
B --＞ B3[第二个转盘:8, 和为9]
C --＞ C1[第二个转盘:6, 和为8]
C --＞ C2[第二个转盘:7, 和为9]
C --＞ C3[第二个转盘:8, 和为10]
D --＞ D1[第二个转盘:6, 和为9]
D --＞ D2[第二个转盘:7, 和为10]
D --＞ D3[第二个转盘:8, 和为11]
```
由树状图可知，所有等可能的结果共有9种，其中指针指向的数字之和为偶数的结果共4种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得$P(\mathrm{指针指向的数字之和为偶数})=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
树状图法，概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心要求是通过树状图不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果，再筛选出符合要求的结果计算概率，掌握树状图的规范画法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时我们用树状图法列举所有等可能结果来求解，思路如下：首先明确两个转盘是独立的，第一个转盘有1、2、3共3种等可能结果，第二个转盘有6、7、8共3种等可能结果；先列出第一个转盘的所有结果，再对应每个结果列出第二个转盘的所有结果，同时计算两数之和；最后统计总等可能结果数、和为偶数的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
画树状图分析所有等可能结果：
```mermaid
graph TD
A[开始] --＞ B[第一个转盘:1]
A --＞ C[第一个转盘:2]
A --＞ D[第一个转盘:3]
B --＞ B1[第二个转盘:6, 和为7]
B --＞ B2[第二个转盘:7, 和为8]
B --＞ B3[第二个转盘:8, 和为9]
C --＞ C1[第二个转盘:6, 和为8]
C --＞ C2[第二个转盘:7, 和为9]
C --＞ C3[第二个转盘:8, 和为10]
D --＞ D1[第二个转盘:6, 和为9]
D --＞ D2[第二个转盘:7, 和为10]
D --＞ D3[第二个转盘:8, 和为11]
```
由树状图可知，所有等可能的结果共有9种，其中指针指向的数字之和为偶数的结果共4种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得$P(\mathrm{指针指向的数字之和为偶数})=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
树状图法，概率计算，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心要求是通过树状图不重复、不遗漏地列出所有等可能的结果，再筛选出符合要求的结果计算概率，掌握树状图的规范画法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
例3 红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛.
(1)请用树状图列举出各种可能选派的结果；
(2)求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率.
【探究点拨】(1)画树状图统计选派结果；(2)运用选派结果求一男一女的有几种情况，再运用$P(一男一女)=\frac{m}{n}$求概率.
【规范解答】(1)画树状图 开始
①号选手 甲 乙 丙 丁
②号选手 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙
选派方案 甲 甲 甲 乙 乙 乙
乙 丙 丁 甲 丙 丁
丙 丙 丙 丁 丁 丁
甲 乙 丁 甲 乙 丙
共12种方案.
(2)由(1)可知一男一女参赛有8种情况，
∴ 所求概率$P(一男一女)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.
(1)请用树状图列举出各种可能选派的结果；
(2)求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率.
【探究点拨】(1)画树状图统计选派结果；(2)运用选派结果求一男一女的有几种情况，再运用$P(一男一女)=\frac{m}{n}$求概率.
【规范解答】(1)画树状图 开始
①号选手 甲 乙 丙 丁
②号选手 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙
选派方案 甲 甲 甲 乙 乙 乙
乙 丙 丁 甲 丙 丁
丙 丙 丙 丁 丁 丁
甲 乙 丁 甲 乙 丙
共12种方案.
(2)由(1)可知一男一女参赛有8种情况，
∴ 所求概率$P(一男一女)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.
答案
解：
(1) 画树状图如下：
开始
①号选手 甲 乙 丙 丁
↙ ↘ ↘ ↙ ↘ ↘ ↙ ↘ ↘ ↙ ↘ ↘
②号选手 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙
所有等可能的选派结果为：(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,甲)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,甲)、(丙,乙)、(丙,丁)、(丁,甲)、(丁,乙)、(丁,丙)，共12种。
(2) 由(1)可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，
∴ $P(\mathrm{恰好选派一男一女两位同学参赛})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
(1) 画树状图如下：
开始
①号选手 甲 乙 丙 丁
↙ ↘ ↘ ↙ ↘ ↘ ↙ ↘ ↘ ↙ ↘ ↘
②号选手 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙
所有等可能的选派结果为：(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,甲)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,甲)、(丙,乙)、(丙,丁)、(丁,甲)、(丁,乙)、(丁,丙)，共12种。
(2) 由(1)可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，
∴ $P(\mathrm{恰好选派一男一女两位同学参赛})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
(1) 本次选派分①号、②号两个顺序，属于不放回的有序选派，用树状图列举时分两步操作：第一步先确定①号选手，共有甲、乙、丙、丁4种选择；第二步针对每一种①号选手的选择，②号选手从剩余3人中选取，依次列出所有组合即可得到全部等可能的选派结果。
(2) 计算概率需先确定所有等可能的总结果数$n$，再统计出恰好选到一男一女的结果数$m$，最后代入概率公式$P=\frac{m}{n}$计算即可。
【解析】
(1) 画树状图如下：
开始
①号选手 甲 乙 丙 丁
↙ ↓ ↘ ↙ ↓ ↘ ↙ ↓ ↘ ↙ ↓ ↘
②号选手 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙
所有等可能的选派结果为：(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,甲)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,甲)、(丙,乙)、(丙,丁)、(丁,甲)、(丁,乙)、(丁,丙)，共12种。
(2) 由(1)可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，
∴ $P(\mathrm{恰好选派一男一女两位同学参赛})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 共12种等可能的选派结果，分别为(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,甲)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,甲)、(丙,乙)、(丙,丁)、(丁,甲)、(丁,乙)、(丁,丙)，树状图见解析；
(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
树状图列举法，概率计算公式
【点评】
本题是用列举法求概率的基础题型，解题时需注意试验属于有序不放回类型，列举结果时要避免重复或遗漏，熟练掌握树状图的画法和概率公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 本次选派分①号、②号两个顺序，属于不放回的有序选派，用树状图列举时分两步操作：第一步先确定①号选手，共有甲、乙、丙、丁4种选择；第二步针对每一种①号选手的选择，②号选手从剩余3人中选取，依次列出所有组合即可得到全部等可能的选派结果。
(2) 计算概率需先确定所有等可能的总结果数$n$，再统计出恰好选到一男一女的结果数$m$，最后代入概率公式$P=\frac{m}{n}$计算即可。
【解析】
(1) 画树状图如下：
开始
①号选手 甲 乙 丙 丁
↙ ↓ ↘ ↙ ↓ ↘ ↙ ↓ ↘ ↙ ↓ ↘
②号选手 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙
所有等可能的选派结果为：(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,甲)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,甲)、(丙,乙)、(丙,丁)、(丁,甲)、(丁,乙)、(丁,丙)，共12种。
(2) 由(1)可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，
∴ $P(\mathrm{恰好选派一男一女两位同学参赛})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 共12种等可能的选派结果，分别为(甲,乙)、(甲,丙)、(甲,丁)、(乙,甲)、(乙,丙)、(乙,丁)、(丙,甲)、(丙,乙)、(丙,丁)、(丁,甲)、(丁,乙)、(丁,丙)，树状图见解析；
(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
树状图列举法，概率计算公式
【点评】
本题是用列举法求概率的基础题型，解题时需注意试验属于有序不放回类型，列举结果时要避免重复或遗漏，熟练掌握树状图的画法和概率公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
1.在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5,6,7的小球,它们除数字外其他均相同.充分摇匀后,先摸出1个球不放回,再摸出1个球,那么这两个球上的数字之和为奇数的概率是（）
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{1}{3}$
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
A
解析
【分析】
要计算两个球数字之和为奇数的概率，首先明确“和为奇数”的条件是两个数字一奇一偶（奇数+偶数=奇数）。本题是不放回摸球试验，所有结果发生的可能性相等，适合用列举法（树状图或列表法）列出所有等可能的结果，再统计出满足和为奇数的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用树状图列举所有不放回摸球的结果：
第一次摸球有3种可能：5、6、7，不放回情况下第二次摸球的对应结果如下：
1. 第一次摸5：第二次可摸6、7，对应和为5+6=11（奇数）、5+7=12（偶数）
2. 第一次摸6：第二次可摸5、7，对应和为6+5=11（奇数）、6+7=13（奇数）
3. 第一次摸7：第二次可摸5、6，对应和为7+5=12（偶数）、7+6=13（奇数）
综上，所有等可能的结果共6种，其中数字之和为奇数的结果有4种，
因此所求概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 奇偶运算性质
3. 不放回事件概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题时需注意区分“不放回”和“有放回”试验的结果差异，结合数字奇偶性的规律可以更快筛选出符合条件的结果，降低枚举的出错率。
【难度系数】
0.7
要计算两个球数字之和为奇数的概率，首先明确“和为奇数”的条件是两个数字一奇一偶（奇数+偶数=奇数）。本题是不放回摸球试验，所有结果发生的可能性相等，适合用列举法（树状图或列表法）列出所有等可能的结果，再统计出满足和为奇数的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用树状图列举所有不放回摸球的结果：
第一次摸球有3种可能：5、6、7，不放回情况下第二次摸球的对应结果如下：
1. 第一次摸5：第二次可摸6、7，对应和为5+6=11（奇数）、5+7=12（偶数）
2. 第一次摸6：第二次可摸5、7，对应和为6+5=11（奇数）、6+7=13（奇数）
3. 第一次摸7：第二次可摸5、6，对应和为7+5=12（偶数）、7+6=13（奇数）
综上，所有等可能的结果共6种，其中数字之和为奇数的结果有4种，
因此所求概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 奇偶运算性质
3. 不放回事件概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题时需注意区分“不放回”和“有放回”试验的结果差异，结合数字奇偶性的规律可以更快筛选出符合条件的结果，降低枚举的出错率。
【难度系数】
0.7
