11.如图,甲、乙两人在玩转盘游戏时,分别把转盘A,B分成3等份和4等份,并在每一份内标上数字.游戏规则:同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所在区域的数字之积为奇数时,甲获胜;当数字之积为偶数时,乙获胜.若指针恰好停在分割线上,则需重新转动转盘.
(1)利用列表的方法,求甲获胜的概率;
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗?若公平,请说明理由;若不公平,请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平(不需要说明理由).

能力提升

解：
(1) 列表如下：
| 转盘A\转盘B | 2 | 3 | -2 | -3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | -2 | -3 |
| 2 | 4 | 6 | -4 | -6 |
| 3 | 6 | 9 | -6 | -9 |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中数字之积为奇数的结果有4种，
所以甲获胜的概率为 $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
(2) 乙获胜的概率为 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，
因为 $\frac{1}{3} ≠ \frac{2}{3}$，所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平。
修改方案：将转盘A上的数字2改为任意一个奇数，例如将数字2改为5（答案不唯一）。

【分析】
(1) 求甲获胜的概率首先要明确甲获胜的条件：两个转盘指针指向的数字之积为奇数，而两数乘积为奇数的前提是两个数均为奇数。我们可以通过列表法列举出同时转动两个转盘的所有等可能结果，再统计出积为奇数的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$即可求出甲获胜的概率。
(2) 判断游戏是否公平的依据是甲、乙两人获胜的概率是否相等，若概率相等则公平，否则不公平。要使游戏公平，只需调整数字让两人获胜的概率均为$\frac{1}{2}$即可，可通过修改转盘A上的偶数为奇数来调整积为奇数的结果占比。
【解析】
(1) 列表表示所有可能的乘积结果如下：
| 转盘A\转盘B | 2 | 3 | -2 | -3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 2 | 3 | -2 | -3 |
| 2 | 4 | 6 | -4 | -6 |
| 3 | 6 | 9 | -6 | -9 |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中数字之积为奇数的结果有4种，
因此甲获胜的概率为$P(甲获胜)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
(2) 乙获胜的概率为$P(乙获胜)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，
因为$\frac{1}{3}≠\frac{2}{3}$，所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平。
修改方案：将转盘A上的数字2改为任意一个奇数，例如改为5（答案不唯一）。
【答案】
(1) 甲获胜的概率为$\frac{1}{3}$；
(2) 游戏规则对甲、乙双方不公平，可将转盘A上的数字2改为任意奇数，例如改为5（答案不唯一）。
【知识点】
列表法求概率、游戏公平性判断、有理数乘法性质
【点评】
本题是概率应用的基础题型，核心考查通过列表法枚举所有等可能事件，结合乘积奇偶性判断计算对应事件的概率。游戏公平性判断的本质是对比双方获胜概率是否相等，修改规则时只需将双方概率调整至相等即可，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.7

12.在四个完全相同的小球上分别标上1,2,3,4四个数字,然后装入一个不透明的口袋里搅匀,小明同学随机摸取一个小球记下标号,然后放回,再随机摸取一个小球,记下标号.
(1)请你用列表法表示小明同学摸球的所有可能出现的结果;
(2)按照小明同学的摸球方法,把第一次取出的小球的数字作为点M的横坐标,把第二次取出的小球的数字作为点M的纵坐标,试求出点$M(x,y)$落在直线$y=x$上的概率.

解：
(1) 列表表示所有可能的结果如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
所有等可能出现的结果共16种。
(2) 由(1)可知，共有16种等可能的结果，其中点$M(x,y)$落在直线$y=x$上的结果有$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$、$(4,4)$，共4种。
因此点$M(x,y)$落在直线$y=x$上的概率$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。

【分析】
(1) 本题为有放回的两次摸球试验，两次摸球结果互不影响，每次均有4种可能。解题时可将第一次摸球的所有可能结果作为表格行，第二次摸球的所有可能结果作为表格列，交叉位置即为两次摸球的组合结果，所有结果均为等可能事件。
(2) 首先明确直线$y=x$上的点的特征是横、纵坐标相等，结合第一问列出的所有结果，数出满足条件的结果个数，再根据古典概型概率公式：概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，代入计算即可。
【解析】
(1) 列表表示所有可能的结果如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
由表可知，所有等可能出现的结果共16种。
(2) 落在直线$y=x$上的点满足横坐标等于纵坐标，结合上表可知，符合条件的结果有$(1,1)$、$(2,2)$、$(3,3)$、$(4,4)$，共4种。
因此点$M(x,y)$落在直线$y=x$上的概率$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 列表见解析，所有等可能结果共16种；
(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
列表法列举事件结果，一次函数图象点的特征，古典概型概率计算
【点评】
本题是概率与一次函数的基础综合题，重点考查有放回试验的结果列举方法，解题时注意不要遗漏重复的结果，准确掌握一次函数图象上点的坐标特征即可顺利求解。
【难度系数】
0.8