4.一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的小球,其中红球2个,黄球1个,任意摸出一个红球的概率为$\frac{1}{4}$,则口袋里绿球的个数为（）

A.5个
B.4个
C.6个
D.7个

A

【分析】
要解决这道题，我们可以结合概率的计算公式推导求解：首先明确随机事件的概率等于该事件对应的情况数除以所有等可能情况的总数。本题已知摸出红球的概率和红球的个数，我们可以先通过概率公式求出球的总个数，再用总个数减去已知的红球、黄球个数，即可得到绿球的数量。
【解析】
设口袋里绿球的个数为$ x $个，则口袋中球的总个数为$ 2+1+x=x+3 $个。
根据概率公式$ P(\mathrm{摸出红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{球的总个数}} $，代入已知条件可得：
$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{4}$
交叉相乘解方程：
$x+3=2×4$
$x+3=8$
$x=5$
经检验，$x=5$是原方程的解，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
概率计算公式；分式方程的应用
【点评】
本题是概率计算的基础应用题，解题核心是熟练掌握概率的计算公式，结合题意建立方程求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

5.“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德.小刚、小强计划利用暑期从A,B,C三处养老服务中心中,随机选择一处参加志愿服务活动,则两人恰好选到同一处的概率是()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{2}{9}$

B

【分析】
这是一道两步随机事件的概率求解问题，解题核心是利用列举法找出所有等可能的结果，再统计符合“两人选到同一处”的结果数，最后代入概率公式计算即可。首先明确两人各自都有3种选择，先计算总共有多少种等可能的选择组合，再筛选出两人选择相同的组合数，用符合条件的组合数除以总组合数就是所求概率。
【解析】
我们可以用列表法列举所有等可能的结果：
| 小刚的选择\小强的选择 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由列表可得，所有等可能的结果共有9种，其中两人恰好选到同一处的结果有（A,A）、（B,B）、（C,C），共3种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得：
$P(两人选到同一处)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率计算公式
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查对等可能事件概率计算方法的掌握，解题时只要做到不重不漏列举所有结果，就能快速求出答案，不易出错。
【难度系数】
0.8

6.班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获得“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中，3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票.小英从中随机抽取一份奖品，恰好抽到科普读物的概率是()

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

B

【分析】
本题是等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先判断抽取场景：礼盒完全相同、随机抽取，因此每份奖品被抽到的可能性相等，属于等可能事件；其次统计两个核心数据：一是抽取1份奖品的所有等可能结果总数，即总奖品份数；二是“抽到科普读物”这一事件包含的等可能结果数，即科普读物的份数；最后代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知共有6份奖品，小英随机抽取1份，共有6种等可能的结果，其中科普读物共有2份，即抽到科普读物的等可能结果有2种。
根据概率公式：$\mathrm{概率}=\frac{\mathrm{所求事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$，
可得恰好抽到科普读物的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率；概率公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查概率的基础计算方法，只要准确统计总事件数和符合条件的事件数，代入公式即可快速求解，失分率较低。
【难度系数】
0.8

7.有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只，三等品1只，从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是()

A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{3}{8}$
D.$\frac{3}{4}$

B

【分析】
这是一道等可能事件的概率求解题目，解题核心是运用概率的计算公式：等可能事件中，某事件发生的概率等于该事件包含的符合条件的结果数除以所有可能的结果总数。解题时第一步先确定抽取1只杯子的所有等可能结果总数，第二步确定抽到一等品的结果数，最后代入公式计算即可得到答案。
【解析】
解：已知共有8只型号相同的杯子，随机抽取1只时，每只杯子被抽到的可能性相等，因此总共有8种等可能的抽取结果，其中抽到一等品的结果有5种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{恰好抽到一等品})=\frac{\mathrm{一等品的数量}}{\mathrm{杯子总数量}}=\frac{5}{8}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等可能事件概率公式
2. 列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，难度较低，解题关键是准确识别总情况数和符合要求的情况数，熟练掌握概率的基本计算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9

8.在-1,1,2这三个数中任选2个数分别作为点P的横坐标和纵坐标,过点P画双曲线$y=\frac{k}{x}$,该双曲线位于第一、第三象限的概率是（）

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$

B

【分析】
解这道题可分三步思考：第一步，先明确从-1、1、2三个数中任选2个分别作为横纵坐标，能组成多少个不同的点P，要注意横、纵坐标是有序的，按顺序列举避免遗漏或重复；第二步，回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＞0$时，双曲线位于第一、三象限，此处$k$等于点P的横坐标与纵坐标的乘积，即$k=xy$，因此只需筛选出横、纵坐标乘积为正的点即可；第三步，结合概率公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的结果数，计算最终概率。
【解析】
首先列举所有可能的点P的坐标，共有6种等可能的结果，分别是：
$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,-1)$、$(1,2)$、$(2,-1)$、$(2,1)$
若双曲线$y=\frac{k}{x}$位于第一、第三象限，则需$k=xy＞0$，即横、纵坐标同号。
上述6个点中满足$xy＞0$的点有：$(1,2)$、$(2,1)$，共2种结果。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象性质；列举法求概率；有理数乘法符号判定
【点评】
本题是反比例函数与概率的综合基础题，解题关键是准确列举所有有序的点坐标，同时牢记反比例函数图象位置与$k$值符号的对应关系，计算时注意不要混淆横、纵坐标的顺序。
【难度系数】
0.7

9.如图,图中的两个转盘分别均匀地分成4等份和5等份,每份上都标有数字,同时自由转动两个转盘,转盘停止后,指针所落区域的数字情况如表:


解:(1)填表,总共有种等可能情况.
(2)两个转盘指针都指向奇数的情况有种,$P$(两个都为奇数)=.

解：
(1) 补全表格空缺处依次为：$(4,3)$、$(8,2)$、$(9,3)$、$(9,5)$，总共有$\boldsymbol{20}$种等可能情况。
(2) 两个转盘指针都指向奇数的情况有$\boldsymbol{6}$种，$P$(两个都为奇数)$=\boldsymbol{\frac{3}{10}}$。

【分析】
本题考查用列表法求解两步试验的概率问题，解题思路如下：1. 解决第一问时，两个转盘转动是独立事件，第一个转盘有4种等可能结果，第二个转盘有5种等可能结果，根据分步计数的思路，总等可能情况数为两个转盘结果数的乘积；表格空缺处为两个转盘对应数字的有序组合，按顺序补全即可。2. 解决第二问时，先分别找出两个转盘中的奇数，再计算两个指针都指向奇数的组合数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算对应概率即可。
【解析】
(1) 第一个转盘均匀分成4等份，共4种等可能的结果，第二个转盘均匀分成5等份，共5种等可能的结果，所以总等可能情况数为$4×5=20$种；根据两个转盘数字的对应组合，补全表格空缺处依次为$(4,3)$、$(8,2)$、$(9,3)$、$(9,5)$。
(2) 经统计，第一个转盘的奇数有2个，第二个转盘的奇数有3个，因此两个转盘指针都指向奇数的情况有$2×3=6$种；根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两个都为奇数})=\frac{\mathrm{两个都为奇数的情况数}}{\mathrm{总等可能情况数}}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
【答案】
(1) 补全表格空缺处依次为$(4,3)$、$(8,2)$、$(9,3)$、$(9,5)$，$\boldsymbol{20}$；
(2) $\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{\frac{3}{10}}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式，分步计数
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是掌握两步试验的等可能结果数的计算方法，准确统计符合条件的结果数，代入概率公式即可得到答案，计算时注意结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.8

10.某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐.
(1)求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；
(2)求甲、乙、丙三名学生中至少有一个人在B餐厅用餐的概率.

解：
列举甲、乙、丙三名学生选择餐厅所有等可能的结果为：
$(A,A,A)$、$(A,A,B)$、$(A,B,A)$、$(A,B,B)$、$(B,A,A)$、$(B,A,B)$、$(B,B,A)$、$(B,B,B)$
总共有8种结果，且每种结果出现的可能性相等。
(1) 甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的结果共2种：$(A,A,A)$、$(B,B,B)$
因此所求概率$P_1=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
(2) 甲、乙、丙三名学生中至少有一个人在B餐厅用餐的结果共7种：$(A,A,B)$、$(A,B,A)$、$(A,B,B)$、$(B,A,A)$、$(B,A,B)$、$(B,B,A)$、$(B,B,B)$
因此所求概率$P_2=\frac{7}{8}$。

【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题时首先要梳理出所有等可能的基本结果：甲、乙、丙三名学生每人都有A、B2种选择，我们可以通过有序枚举的方式列出所有8种不重复、不遗漏的结果，再分别找到对应问题中符合条件的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”的公式计算即可。第二问也可以利用对立事件（三名学生都在A餐厅用餐）计算，用总概率1减去对立事件的概率，简化计算过程。
【解析】
先列举甲、乙、丙三名学生选择餐厅的所有等可能结果：
$(A,A,A)$、$(A,A,B)$、$(A,B,A)$、$(A,B,B)$、$(B,A,A)$、$(B,A,B)$、$(B,B,A)$、$(B,B,B)$，共8种，且每种结果出现的可能性相等。
(1) 甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的结果有$(A,A,A)$、$(B,B,B)$，共2种，
因此所求概率$P_1=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
(2) 方法一：甲、乙、丙三名学生中至少有一个人在B餐厅用餐的结果有$(A,A,B)$、$(A,B,A)$、$(A,B,B)$、$(B,A,A)$、$(B,A,B)$、$(B,B,A)$、$(B,B,B)$，共7种，
因此所求概率$P_2=\frac{7}{8}$。
方法二：“至少有一个人在B餐厅用餐”的对立事件是“三人都在A餐厅用餐”，三人都在A餐厅的结果只有1种，对应概率为$\frac{1}{8}$，因此$P_2=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{7}{8}$
【知识点】
列举法求概率；概率公式；对立事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查对列举法的掌握以及等可能事件概率的计算能力，解题的关键是枚举所有结果时做到不重不漏，也可通过分析对立事件简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8