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图3-32是圆弧形铁轨的示意图，其中圆弧的半径为100 m，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗(π取3)？
答案
铁轨的长度$l\approx\frac{2×3×100}{4}=150(\mathrm{m})$
解析
【分析】
我们要求的铁轨长度就是这段90°圆心角对应的圆弧长度。首先回忆：整个圆周对应的圆心角是360°，所以90°的圆弧长度就是同半径圆周长的四分之一；也可以直接用课本上学过的弧长公式，代入圆心角、半径和给定的π值计算，两种思路都能快速得到结果。
【解析】
整圆周长公式为$C=2π R$，已知圆弧的圆心角为90°，占周角的$\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$，因此这段弧长是整圆周长的$\frac{1}{4}$。
将$R=100\mathrm{m}$，$π=3$代入计算：
$l=\frac{1}{4}×2π R=\frac{2×3×100}{4}=150(\mathrm{m})$
也可直接用弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数）计算，代入$n=90$、$R=100$、$π=3$可得相同结果。
【答案】
$150\mathrm{m}$
【知识点】
弧长计算、圆的周长
【点评】
本题是弧长计算的基础应用题，解题关键是明确所求铁轨长度对应圆弧的圆心角和半径，结合弧长和圆周长的关系或直接套用弧长公式即可求解，计算时注意题干对$π$取值的要求。
【难度系数】
0.8
我们要求的铁轨长度就是这段90°圆心角对应的圆弧长度。首先回忆：整个圆周对应的圆心角是360°，所以90°的圆弧长度就是同半径圆周长的四分之一；也可以直接用课本上学过的弧长公式，代入圆心角、半径和给定的π值计算，两种思路都能快速得到结果。
【解析】
整圆周长公式为$C=2π R$，已知圆弧的圆心角为90°，占周角的$\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$，因此这段弧长是整圆周长的$\frac{1}{4}$。
将$R=100\mathrm{m}$，$π=3$代入计算：
$l=\frac{1}{4}×2π R=\frac{2×3×100}{4}=150(\mathrm{m})$
也可直接用弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数）计算，代入$n=90$、$R=100$、$π=3$可得相同结果。
【答案】
$150\mathrm{m}$
【知识点】
弧长计算、圆的周长
【点评】
本题是弧长计算的基础应用题，解题关键是明确所求铁轨长度对应圆弧的圆心角和半径，结合弧长和圆周长的关系或直接套用弧长公式即可求解，计算时注意题干对$π$取值的要求。
【难度系数】
0.8
例1 已知扇形的圆心角为$120°$，扇形的半径为2 cm. 求弧长.
答案
解 $\because l=\frac{nπ r}{180},\therefore l=\frac{120×2π}{180}=\frac{4π}{3}(\mathrm{cm})$
解析
【分析】
要求扇形的弧长，首先回忆弧长的计算公式：弧长$l$与扇形圆心角度数$n$、半径$r$的关系为$l=\frac{nπ r}{180}$。本题已知圆心角$n=120°$，半径$r=2\mathrm{cm}$，只需将已知量直接代入公式，化简计算即可得到弧长，计算时注意结果要保留最简形式，不要漏写长度单位。
【解析】
已知扇形圆心角$n=120°$，半径$r=2\mathrm{cm}$，
根据弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，
将数值代入公式计算：
$l=\frac{120× π × 2}{180}=\frac{240π}{180}=\frac{4π}{3}(\mathrm{cm})$
【答案】
$\frac{4π}{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
弧长公式；扇形基本量计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查弧长公式的应用，解题的关键是熟记弧长公式，代入数值时注意圆心角的单位为角度，计算结果需化为最简形式，不要遗漏长度单位。
【难度系数】
0.9
要求扇形的弧长，首先回忆弧长的计算公式：弧长$l$与扇形圆心角度数$n$、半径$r$的关系为$l=\frac{nπ r}{180}$。本题已知圆心角$n=120°$，半径$r=2\mathrm{cm}$，只需将已知量直接代入公式，化简计算即可得到弧长，计算时注意结果要保留最简形式，不要漏写长度单位。
【解析】
已知扇形圆心角$n=120°$，半径$r=2\mathrm{cm}$，
根据弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，
将数值代入公式计算：
$l=\frac{120× π × 2}{180}=\frac{240π}{180}=\frac{4π}{3}(\mathrm{cm})$
【答案】
$\frac{4π}{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
弧长公式；扇形基本量计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查弧长公式的应用，解题的关键是熟记弧长公式，代入数值时注意圆心角的单位为角度，计算结果需化为最简形式，不要遗漏长度单位。
【难度系数】
0.9
例2 如图3-33，圆心角为$60°$的扇形的半径为5 cm. 求这个扇形的面积和周长. 
答案
解 因为$n=60,r=5\ \mathrm{cm}$,所以扇形面积为$S=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60×π×5^2}{360}=\frac{25π}{6}(\mathrm{cm}^2)$,扇形的周长为$l=\frac{nπ r}{180}+2r=\frac{60×π×5}{180}+10=(\frac{5π}{3}+10)(\mathrm{cm})$
解析
【分析】
解题首先明确已知条件：扇形的圆心角$n=60°$，半径$r=5\mathrm{cm}$。①求扇形面积：直接套用扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数值计算即可；②求扇形周长：注意扇形周长由两部分组成，一段弧长加上两条半径的长度，先套用弧长公式$l_{弧}=\frac{nπ r}{180}$算出弧长，再加上$2r$就能得到扇形周长。
【解析】
解：已知扇形圆心角$n=60°$，半径$r=5\ \mathrm{cm}$。
1. 计算扇形面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数值：
$S=\frac{60×π×5^2}{360}=\frac{25π}{6}\ (\mathrm{cm}^2)$
2. 计算扇形周长：
先算弧长，根据弧长公式$l_{弧}=\frac{nπ r}{180}$，代入得：
$l_{弧}=\frac{60×π×5}{180}=\frac{5π}{3}\ \mathrm{cm}$
扇形周长为弧长加两条半径长度：
$C=l_{弧}+2r=\frac{5π}{3}+2×5=(\frac{5π}{3}+10)\ \mathrm{cm}$
【答案】
扇形面积为$\frac{25π}{6}\ \mathrm{cm}^2$，周长为$(\frac{5π}{3}+10)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积计算，弧长计算，扇形周长计算
【点评】
本题是扇形相关计算的基础题型，解题关键是牢记扇形面积、弧长公式，尤其要注意扇形周长不仅包含弧长，还需要加上两条半径的长度，避免漏算半径导致错误。
【难度系数】
0.8
解题首先明确已知条件：扇形的圆心角$n=60°$，半径$r=5\mathrm{cm}$。①求扇形面积：直接套用扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数值计算即可；②求扇形周长：注意扇形周长由两部分组成，一段弧长加上两条半径的长度，先套用弧长公式$l_{弧}=\frac{nπ r}{180}$算出弧长，再加上$2r$就能得到扇形周长。
【解析】
解：已知扇形圆心角$n=60°$，半径$r=5\ \mathrm{cm}$。
1. 计算扇形面积：
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数值：
$S=\frac{60×π×5^2}{360}=\frac{25π}{6}\ (\mathrm{cm}^2)$
2. 计算扇形周长：
先算弧长，根据弧长公式$l_{弧}=\frac{nπ r}{180}$，代入得：
$l_{弧}=\frac{60×π×5}{180}=\frac{5π}{3}\ \mathrm{cm}$
扇形周长为弧长加两条半径长度：
$C=l_{弧}+2r=\frac{5π}{3}+2×5=(\frac{5π}{3}+10)\ \mathrm{cm}$
【答案】
扇形面积为$\frac{25π}{6}\ \mathrm{cm}^2$，周长为$(\frac{5π}{3}+10)\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积计算，弧长计算，扇形周长计算
【点评】
本题是扇形相关计算的基础题型，解题关键是牢记扇形面积、弧长公式，尤其要注意扇形周长不仅包含弧长，还需要加上两条半径的长度，避免漏算半径导致错误。
【难度系数】
0.8
(1)已知扇形的圆心角是$180°$，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的
$\frac{1}{2}$
；答案
(1) $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确扇形和它所在圆的面积关系：扇形是圆的一部分，扇形面积占所在圆面积的比例，等于扇形的圆心角占整个圆周角的比例。我们已知周角固定为360°，只需计算题目给出的扇形圆心角180°占360°的比值，就能得到结果。
【解析】
解：整个圆对应的圆心角为周角，大小是360°。
扇形面积与所在圆面积的比值等于扇形圆心角与360°的比值，因此：
$\frac{\mathrm{扇形面积}}{\mathrm{所在圆的面积}}=\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，周角的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解扇形面积占比和其圆心角占周角的比例相等，熟练掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确扇形和它所在圆的面积关系：扇形是圆的一部分，扇形面积占所在圆面积的比例，等于扇形的圆心角占整个圆周角的比例。我们已知周角固定为360°，只需计算题目给出的扇形圆心角180°占360°的比值，就能得到结果。
【解析】
解：整个圆对应的圆心角为周角，大小是360°。
扇形面积与所在圆面积的比值等于扇形圆心角与360°的比值，因此：
$\frac{\mathrm{扇形面积}}{\mathrm{所在圆的面积}}=\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，周角的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解扇形面积占比和其圆心角占周角的比例相等，熟练掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
（2）扇形的面积是它所在圆的面积的$\frac{1}{3}$，这个扇形的圆心角的度数是
120
°；答案
(2) 120
解析
【分析】
解题时首先要明确扇形面积和它所在圆面积的比值，等于扇形圆心角的度数和周角（360°）的比值。我们可以先写出扇形面积和圆面积的公式，通过两者的比例关系建立关于圆心角度数的等式，进而求解出圆心角的度数。
【解析】
设该扇形的圆心角度数为$n°$，扇形所在圆的半径为$r$。
根据扇形面积公式：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，圆的面积公式：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$。
由题意得$\frac{S_{\mathrm{扇形}}}{S_{\mathrm{圆}}}=\frac{1}{3}$，代入公式得：
$\frac{\frac{nπ r^2}{360}}{π r^2}=\frac{1}{3}$
约分化简后可得：$\frac{n}{360}=\frac{1}{3}$
解得：$n=360×\frac{1}{3}=120$
【答案】
120
【知识点】
扇形面积公式，周角定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解扇形面积占所在圆面积的比例等于其圆心角占周角的比例，掌握该规律可以快速求解这类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确扇形面积和它所在圆面积的比值，等于扇形圆心角的度数和周角（360°）的比值。我们可以先写出扇形面积和圆面积的公式，通过两者的比例关系建立关于圆心角度数的等式，进而求解出圆心角的度数。
【解析】
设该扇形的圆心角度数为$n°$，扇形所在圆的半径为$r$。
根据扇形面积公式：$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，圆的面积公式：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$。
由题意得$\frac{S_{\mathrm{扇形}}}{S_{\mathrm{圆}}}=\frac{1}{3}$，代入公式得：
$\frac{\frac{nπ r^2}{360}}{π r^2}=\frac{1}{3}$
约分化简后可得：$\frac{n}{360}=\frac{1}{3}$
解得：$n=360×\frac{1}{3}=120$
【答案】
120
【知识点】
扇形面积公式，周角定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解扇形面积占所在圆面积的比例等于其圆心角占周角的比例，掌握该规律可以快速求解这类题型。
【难度系数】
0.8
(3) 如图，$\odot A,\odot B,\odot C$两两不相交，且半径都是1 cm，则图中的三个扇形(即三个阴影部分)的面积之和为
「第1(3)题」
$\frac{1}{2}π$
$\mathrm{cm}^2$。「第1(3)题」
答案
(3) $\frac{1}{2}π$
解析
【分析】
要求三个阴影扇形的面积之和，首先明确扇形面积由圆心角和半径决定，本题中三个圆的半径均为1cm，因此只需计算三个扇形的圆心角之和即可。观察图形可知，三个扇形的圆心角恰好是△ABC的三个内角，根据三角形内角和为180°，可得到三个圆心角的总度数，再代入扇形面积公式就能算出总面积。
【解析】
∵ 三角形的内角和为$180°$，即三个阴影扇形的圆心角之和为$180°$，且每个扇形的半径$r=1\mathrm{cm}$，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），
可得三个扇形的面积和为：
$S=\frac{180×π×1^2}{360}=\frac{1}{2}π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{1}{2}π$
【知识点】
1. 三角形内角和 2. 扇形面积计算
【点评】
本题无需分别计算每个扇形的面积，而是利用三角形内角和的性质将三个扇形的圆心角合并求解，简化了计算过程，很好地考查了扇形面积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要求三个阴影扇形的面积之和，首先明确扇形面积由圆心角和半径决定，本题中三个圆的半径均为1cm，因此只需计算三个扇形的圆心角之和即可。观察图形可知，三个扇形的圆心角恰好是△ABC的三个内角，根据三角形内角和为180°，可得到三个圆心角的总度数，再代入扇形面积公式就能算出总面积。
【解析】
∵ 三角形的内角和为$180°$，即三个阴影扇形的圆心角之和为$180°$，且每个扇形的半径$r=1\mathrm{cm}$，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），
可得三个扇形的面积和为：
$S=\frac{180×π×1^2}{360}=\frac{1}{2}π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{1}{2}π$
【知识点】
1. 三角形内角和 2. 扇形面积计算
【点评】
本题无需分别计算每个扇形的面积，而是利用三角形内角和的性质将三个扇形的圆心角合并求解，简化了计算过程，很好地考查了扇形面积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 如图，边长为12 m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A,B,C,D处各有一棵树，且$AB=BC=CD=3$ m.现用长4 m的绳子将一只羊拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在(
A. A处 B. B处
C. C处 D. D处
[第2(1)题]
(2) 如图是半径为1的四个等圆，图中阴影部分的面积为(
A. $2(4-π)$ B. $8-π$ C. $4-2π$ D. $4-π$
[第2(2)题]
B
).A. A处 B. B处
C. C处 D. D处
[第2(1)题]
(2) 如图是半径为1的四个等圆，图中阴影部分的面积为(
D
).A. $2(4-π)$ B. $8-π$ C. $4-2π$ D. $4-π$
[第2(2)题]
答案
(1) B (2) D
解析
【分析】
(1) 本题需分别计算羊拴在A、B、C、D四处时的草地活动面积，活动区域由不同半径的扇形组成，羊无法进入池塘，因此扇形的圆心角和半径要结合树的位置、相邻树间距、绳长综合判断，计算后比较面积大小即可得到答案。
(2) 本题可利用割补法求解：观察图形可知，四个空白扇形的圆心角恰好是正方形的四个内角，总和为360°，即四个扇形可拼接成一个半径为1的整圆，阴影面积等于四个圆心围成的正方形面积减去整圆面积，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 已知绳长$R=4\mathrm{m}$，相邻树间距为$3\mathrm{m}$：
① 拴在A、C处时，活动区域为1个半径为4m的半圆，加上1个半径为$4-3=1\mathrm{m}$的四分之一圆，面积为：
$S_A=S_C=\frac{1}{2}π R^2+\frac{1}{4}π (R-3)^2=\frac{1}{2}π×16+\frac{1}{4}π×1=8.25π (\mathrm{m}^2)$
② 拴在B处时，B位于A、C中间，左右两侧均可延伸出1m绳长，活动区域为1个半径为4m的半圆，加上2个半径为1m的四分之一圆，面积为：
$S_B=\frac{1}{2}π×4^2+2×\frac{1}{4}π×1^2=8π+0.5π=8.5π (\mathrm{m}^2)$
③ 拴在D处时，D靠近正方形边的端点，活动区域仅为1个半径为4m的半圆，面积为：
$S_D=\frac{1}{2}π×4^2=8π (\mathrm{m}^2)$
比较得$S_B$最大，因此应拴在B处。
(2) 四个等圆半径$r=1$，四个圆心连线构成边长为$1+1=2$的正方形，正方形面积$S_{\mathrm{正}}=2×2=4$。
四个空白扇形的圆心角为正方形的四个内角，和为$360°$，即四个扇形可拼接为1个半径为1的整圆，圆的面积$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π$。
因此阴影面积$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{正}}-S_{\mathrm{圆}}=4-π$。
【答案】
(1) B (2) D
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，四边形内角和
【点评】
两道题均围绕扇形面积的应用展开，第一题结合生活场景，需要先梳理清楚不同位置的活动区域构成，避免漏算小扇形；第二题利用拼接法把分散的扇形合并为整圆，大幅简化计算，解题时要注意观察图形特征，灵活转化。
【难度系数】
0.7
(1) 本题需分别计算羊拴在A、B、C、D四处时的草地活动面积，活动区域由不同半径的扇形组成，羊无法进入池塘，因此扇形的圆心角和半径要结合树的位置、相邻树间距、绳长综合判断，计算后比较面积大小即可得到答案。
(2) 本题可利用割补法求解：观察图形可知，四个空白扇形的圆心角恰好是正方形的四个内角，总和为360°，即四个扇形可拼接成一个半径为1的整圆，阴影面积等于四个圆心围成的正方形面积减去整圆面积，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 已知绳长$R=4\mathrm{m}$，相邻树间距为$3\mathrm{m}$：
① 拴在A、C处时，活动区域为1个半径为4m的半圆，加上1个半径为$4-3=1\mathrm{m}$的四分之一圆，面积为：
$S_A=S_C=\frac{1}{2}π R^2+\frac{1}{4}π (R-3)^2=\frac{1}{2}π×16+\frac{1}{4}π×1=8.25π (\mathrm{m}^2)$
② 拴在B处时，B位于A、C中间，左右两侧均可延伸出1m绳长，活动区域为1个半径为4m的半圆，加上2个半径为1m的四分之一圆，面积为：
$S_B=\frac{1}{2}π×4^2+2×\frac{1}{4}π×1^2=8π+0.5π=8.5π (\mathrm{m}^2)$
③ 拴在D处时，D靠近正方形边的端点，活动区域仅为1个半径为4m的半圆，面积为：
$S_D=\frac{1}{2}π×4^2=8π (\mathrm{m}^2)$
比较得$S_B$最大，因此应拴在B处。
(2) 四个等圆半径$r=1$，四个圆心连线构成边长为$1+1=2$的正方形，正方形面积$S_{\mathrm{正}}=2×2=4$。
四个空白扇形的圆心角为正方形的四个内角，和为$360°$，即四个扇形可拼接为1个半径为1的整圆，圆的面积$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π$。
因此阴影面积$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{正}}-S_{\mathrm{圆}}=4-π$。
【答案】
(1) B (2) D
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，四边形内角和
【点评】
两道题均围绕扇形面积的应用展开，第一题结合生活场景，需要先梳理清楚不同位置的活动区域构成，避免漏算小扇形；第二题利用拼接法把分散的扇形合并为整圆，大幅简化计算，解题时要注意观察图形特征，灵活转化。
【难度系数】
0.7
