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1. 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是 （
A.6,8,10
B.5,12,14
C.3,4,5
D.1,2,$\sqrt{3}$
B
）A.6,8,10
B.5,12,14
C.3,4,5
D.1,2,$\sqrt{3}$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查直角三角形三边的判定，核心是运用勾股定理的逆定理。解题思路为：对每个选项，先找出三个数中的最大边，将其作为直角三角形斜边的候选，再分别计算两个较小边的平方和与最大边的平方，若二者相等则这组数可作为直角三角形的三边长，反之则不可以，通过逐一排查即可得到正确选项。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。我们对每个选项逐一判断：
选项A：最长边为10，$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足逆定理，可以作为直角三角形三边长；
选项B：最长边为14，$5^2+12^2=25+144=169$，$14^2=196$，$169≠196$，不满足逆定理，不可以作为直角三角形三边长；
选项C：最长边为5，$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，满足逆定理，可以作为直角三角形三边长；
选项D：最长边为2，$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，满足逆定理，可以作为直角三角形三边长。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理，平方运算
【点评】
本题是基础考查题，重点是掌握勾股定理逆定理的使用方法，判断时要先确定最长边，避免因错选斜边导致计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查直角三角形三边的判定，核心是运用勾股定理的逆定理。解题思路为：对每个选项，先找出三个数中的最大边，将其作为直角三角形斜边的候选，再分别计算两个较小边的平方和与最大边的平方，若二者相等则这组数可作为直角三角形的三边长，反之则不可以，通过逐一排查即可得到正确选项。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为直角三角形。我们对每个选项逐一判断：
选项A：最长边为10，$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足逆定理，可以作为直角三角形三边长；
选项B：最长边为14，$5^2+12^2=25+144=169$，$14^2=196$，$169≠196$，不满足逆定理，不可以作为直角三角形三边长；
选项C：最长边为5，$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，满足逆定理，可以作为直角三角形三边长；
选项D：最长边为2，$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4=2^2$，满足逆定理，可以作为直角三角形三边长。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理，平方运算
【点评】
本题是基础考查题，重点是掌握勾股定理逆定理的使用方法，判断时要先确定最长边，避免因错选斜边导致计算错误。
【难度系数】
0.9
2. 小强量得家中计算机显示器的长为61 cm，宽为35 cm，这台显示器尺寸(对角线长)大约为
（
A.16英寸(43 cm)
B.21英寸(54 cm)
C.27英寸(70 cm)
D.32英寸(83 cm)
（
C
）A.16英寸(43 cm)
B.21英寸(54 cm)
C.27英寸(70 cm)
D.32英寸(83 cm)
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道勾股定理在生活中的应用题，解题思路如下：首先计算机显示器是矩形，矩形的对角线与相邻的长、宽刚好构成直角三角形，对角线为直角三角形的斜边；接下来我们可以利用勾股定理计算出对角线长度的平方，再估算出对角线的实际长度，最后和选项给出的长度对比即可选出正确答案。
【解析】
解：已知显示器为矩形，长$a=61\mathrm{cm}$，宽$b=35\mathrm{cm}$，设对角线长为$c$。
根据矩形的性质，对角线与长、宽构成直角三角形，由勾股定理可得：
$c^2=a^2+b^2$
代入数值计算：
$c^2=61^2+35^2=3721+1225=4946$
因为$\sqrt{4900}=70$，且4946非常接近4900，所以$c\approx70\mathrm{cm}$，对应27英寸。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；无理数的估算
【点评】
本题结合生活常见的显示器尺寸问题考查数学知识的应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，再通过估算快速得到结果，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.8
这是一道勾股定理在生活中的应用题，解题思路如下：首先计算机显示器是矩形，矩形的对角线与相邻的长、宽刚好构成直角三角形，对角线为直角三角形的斜边；接下来我们可以利用勾股定理计算出对角线长度的平方，再估算出对角线的实际长度，最后和选项给出的长度对比即可选出正确答案。
【解析】
解：已知显示器为矩形，长$a=61\mathrm{cm}$，宽$b=35\mathrm{cm}$，设对角线长为$c$。
根据矩形的性质，对角线与长、宽构成直角三角形，由勾股定理可得：
$c^2=a^2+b^2$
代入数值计算：
$c^2=61^2+35^2=3721+1225=4946$
因为$\sqrt{4900}=70$，且4946非常接近4900，所以$c\approx70\mathrm{cm}$，对应27英寸。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；无理数的估算
【点评】
本题结合生活常见的显示器尺寸问题考查数学知识的应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，再通过估算快速得到结果，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 已知等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则其面积为 （
A.48
B.24
C.12
D.16
C
）A.48
B.24
C.12
D.16
答案
3. C
解析
【分析】
要求等腰三角形的面积，已知底边长，只需求出底边上的高即可。首先回忆等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，因此我们可以作底边上的高，将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，再利用勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：设该等腰三角形为△ABC，腰长AB=AC=5，底边BC=6，过点A作AD⊥BC于点D。
根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，因此BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
代入数值计算：$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
根据三角形面积公式，该三角形的面积$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求高，属于常考的基础题型，掌握等腰三角形性质和勾股定理的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求等腰三角形的面积，已知底边长，只需求出底边上的高即可。首先回忆等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，因此我们可以作底边上的高，将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，再利用勾股定理求出高的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：设该等腰三角形为△ABC，腰长AB=AC=5，底边BC=6，过点A作AD⊥BC于点D。
根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC的中点，因此BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
代入数值计算：$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
根据三角形面积公式，该三角形的面积$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理求高，属于常考的基础题型，掌握等腰三角形性质和勾股定理的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在直角三角形纸片中，$∠ C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，现将直角边$AC$沿直线$AD$折叠，使它落在斜边$AB$上，且与$AE$重合，则$BD$等于 （
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
D
）A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
4. D
解析
【分析】
这是一道折叠类几何计算题，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；第二步，根据折叠的性质，得到相等的边和角，即AE=AC，CD=DE，∠DEB=90°，进而算出BE的长度；第三步，设BD的长度为未知数，将DE用含未知数的式子表示，在Rt△DEB中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
由折叠的性质可知，△ACD≌△AED，因此：
$AE=AC=6\ \mathrm{cm}$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$，
所以$∠ DEB=90°$，$BE=AB-AE=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
设$BD=x\ \mathrm{cm}$，则$CD=DE=(8-x)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
$DE^2+BE^2=BD^2$
代入得：$(8-x)^2+4^2=x^2$
展开整理：$64-16x+x^2+16=x^2$
化简得：$16x=80$，解得$x=5$
即$BD=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠问题与勾股定理结合的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，将未知边转化到同一个直角三角形中，通过列方程求解，是几何中很常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
这是一道折叠类几何计算题，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；第二步，根据折叠的性质，得到相等的边和角，即AE=AC，CD=DE，∠DEB=90°，进而算出BE的长度；第三步，设BD的长度为未知数，将DE用含未知数的式子表示，在Rt△DEB中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
由折叠的性质可知，△ACD≌△AED，因此：
$AE=AC=6\ \mathrm{cm}$，$CD=DE$，$∠ AED=∠ C=90°$，
所以$∠ DEB=90°$，$BE=AB-AE=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
设$BD=x\ \mathrm{cm}$，则$CD=DE=(8-x)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
$DE^2+BE^2=BD^2$
代入得：$(8-x)^2+4^2=x^2$
展开整理：$64-16x+x^2+16=x^2$
化简得：$16x=80$，解得$x=5$
即$BD=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠问题与勾股定理结合的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，将未知边转化到同一个直角三角形中，通过列方程求解，是几何中很常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 数
15
能与12,9组成一组勾股数.答案
5. 15
解析
【分析】
解题时首先明确勾股数的核心特征：三个均为正整数，且满足勾股定理（两个较小数的平方和等于最大数的平方）。由于未知第三个数和12的大小关系，需分两种情况讨论：①所求数为斜边（最大数）；②12为斜边（最大数）。分别计算后排除不是正整数的结果，即可得到正确答案。
【解析】
解：首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。
分两种情况讨论：
1. 若所求的数为斜边，设为$x$，根据勾股定理得：
$x^2=9^2+12^2=81+144=225$
因为$x$是正整数，所以$x=\sqrt{225}=15$，符合要求。
2. 若12为斜边，所求的数为直角边，设为$y$，根据勾股定理得：
$y^2=12^2-9^2=144-81=63$
由于63不是完全平方数，因此$y$不是正整数，不符合勾股数的要求，舍去。
综上，符合条件的数是15。
【答案】
15
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题主要考查勾股数的概念与勾股定理的应用，解题时需注意分情况讨论，同时牢记勾股数必须是正整数，避免误算非整数结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确勾股数的核心特征：三个均为正整数，且满足勾股定理（两个较小数的平方和等于最大数的平方）。由于未知第三个数和12的大小关系，需分两种情况讨论：①所求数为斜边（最大数）；②12为斜边（最大数）。分别计算后排除不是正整数的结果，即可得到正确答案。
【解析】
解：首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。
分两种情况讨论：
1. 若所求的数为斜边，设为$x$，根据勾股定理得：
$x^2=9^2+12^2=81+144=225$
因为$x$是正整数，所以$x=\sqrt{225}=15$，符合要求。
2. 若12为斜边，所求的数为直角边，设为$y$，根据勾股定理得：
$y^2=12^2-9^2=144-81=63$
由于63不是完全平方数，因此$y$不是正整数，不符合勾股数的要求，舍去。
综上，符合条件的数是15。
【答案】
15
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题主要考查勾股数的概念与勾股定理的应用，解题时需注意分情况讨论，同时牢记勾股数必须是正整数，避免误算非整数结果。
【难度系数】
0.8
6. 如图,正方形A,B的面积分别为10,12,则正方形F的面积为
（第6题）
22
.（第6题）答案
6. 22
解析
【分析】
观察图形可知，正方形A、B的边长分别是中间直角三角形的两条直角边，正方形F的边长是该直角三角形的斜边。因为正方形的面积等于边长的平方，所以求正方形F的面积可转化为求直角三角形斜边的平方，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此只需将正方形A和B的面积相加即可得到正方形F的面积。
【解析】
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c。
由题意得：$S_A=a^2=10$，$S_B=b^2=12$。
由图形可知a、b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：
$a^2+b^2=c^2$
因此$c^2=10+12=22$，即正方形F的面积$S_F=c^2=22$。
【答案】
22
【知识点】
勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题结合正方形性质和勾股定理进行考查，解题核心是将正方形的面积关系转化为直角三角形三边的平方关系，无需额外计算边长即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
观察图形可知，正方形A、B的边长分别是中间直角三角形的两条直角边，正方形F的边长是该直角三角形的斜边。因为正方形的面积等于边长的平方，所以求正方形F的面积可转化为求直角三角形斜边的平方，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此只需将正方形A和B的面积相加即可得到正方形F的面积。
【解析】
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c。
由题意得：$S_A=a^2=10$，$S_B=b^2=12$。
由图形可知a、b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：
$a^2+b^2=c^2$
因此$c^2=10+12=22$，即正方形F的面积$S_F=c^2=22$。
【答案】
22
【知识点】
勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题结合正方形性质和勾股定理进行考查，解题核心是将正方形的面积关系转化为直角三角形三边的平方关系，无需额外计算边长即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
7. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$BC=3$，$AC=4$，则 $AB=$
5或$\sqrt{7}$
.答案
7. 5或$\sqrt{7}$
解析
【分析】
题目仅说明△ABC是直角三角形，但未明确哪个角是直角，因此需要先分类讨论斜边的情况：由于斜边是直角三角形中最长的边，已知BC=3＜AC=4，因此BC不可能为斜边，仅存在两种情况：①AB为斜边，此时∠C是直角；②AC为斜边，此时∠B是直角。再分别结合勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当AB为斜边时，∠C=90°，
根据勾股定理：$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
代入数据得：$AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
∵边长为正数，
∴$AB=5$；
② 当AC为斜边时，∠B=90°，
根据勾股定理：$AC^2 = AB^2 + BC^2$，
变形得$AB^2 = AC^2 - BC^2$，
代入数据得：$AB^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 =7$，
∵边长为正数，
∴$AB=\sqrt{7}$。
综上，AB的长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；直角三角形的性质
【点评】
本题的易错点是默认∠C为直角，只算出AB=5，忽略AC为斜边的情况，导致漏解。求解未明确直角顶点的直角三角形边长问题时，需先根据“斜边最长”排除不可能的情况，再对剩余可能的情况分类讨论，结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.5
题目仅说明△ABC是直角三角形，但未明确哪个角是直角，因此需要先分类讨论斜边的情况：由于斜边是直角三角形中最长的边，已知BC=3＜AC=4，因此BC不可能为斜边，仅存在两种情况：①AB为斜边，此时∠C是直角；②AC为斜边，此时∠B是直角。再分别结合勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当AB为斜边时，∠C=90°，
根据勾股定理：$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
代入数据得：$AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
∵边长为正数，
∴$AB=5$；
② 当AC为斜边时，∠B=90°，
根据勾股定理：$AC^2 = AB^2 + BC^2$，
变形得$AB^2 = AC^2 - BC^2$，
代入数据得：$AB^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 =7$，
∵边长为正数，
∴$AB=\sqrt{7}$。
综上，AB的长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；直角三角形的性质
【点评】
本题的易错点是默认∠C为直角，只算出AB=5，忽略AC为斜边的情况，导致漏解。求解未明确直角顶点的直角三角形边长问题时，需先根据“斜边最长”排除不可能的情况，再对剩余可能的情况分类讨论，结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.5
8. 如图,若小方格的边长为1,则△ABC的面积是
13
.答案
8. 13
解析
【分析】
网格中求非直角三角形的面积，直接使用底乘高计算难度较大，可采用割补法求解：先构造一个恰好能包围△ABC的矩形，计算出矩形的总面积，再减去矩形内除△ABC外其余三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
1. 构造长为8、宽为4的矩形，使△ABC完全包含在该矩形内，矩形面积为：$ S_{\mathrm{矩形}} = 8×4 = 32 $；
2. 计算矩形内三个外围直角三角形的面积：
以AC为斜边的直角三角形，两直角边长度分别为2、3，面积为：$ S_1 = \frac{1}{2}×2×3 = 3 $；
以AB为斜边的直角三角形，两直角边长度分别为6、4，面积为：$ S_2 = \frac{1}{2}×6×4 = 12 $；
以BC为斜边的直角三角形，两直角边长度分别为8、1，面积为：$ S_3 = \frac{1}{2}×8×1 = 4 $；
3. 因此△ABC的面积为：$ S_{△ ABC} = S_{\mathrm{矩形}} - S_1 - S_2 - S_3 = 32 - 3 - 12 - 4 = 13 $。
【答案】
13
【知识点】
割补法求面积；三角形面积计算；网格图形计算
【点评】
本题是网格面积计算的典型题型，割补法是解决这类问题的核心方法，解题时要注意准确数出各边对应的方格长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
网格中求非直角三角形的面积，直接使用底乘高计算难度较大，可采用割补法求解：先构造一个恰好能包围△ABC的矩形，计算出矩形的总面积，再减去矩形内除△ABC外其余三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
1. 构造长为8、宽为4的矩形，使△ABC完全包含在该矩形内，矩形面积为：$ S_{\mathrm{矩形}} = 8×4 = 32 $；
2. 计算矩形内三个外围直角三角形的面积：
以AC为斜边的直角三角形，两直角边长度分别为2、3，面积为：$ S_1 = \frac{1}{2}×2×3 = 3 $；
以AB为斜边的直角三角形，两直角边长度分别为6、4，面积为：$ S_2 = \frac{1}{2}×6×4 = 12 $；
以BC为斜边的直角三角形，两直角边长度分别为8、1，面积为：$ S_3 = \frac{1}{2}×8×1 = 4 $；
3. 因此△ABC的面积为：$ S_{△ ABC} = S_{\mathrm{矩形}} - S_1 - S_2 - S_3 = 32 - 3 - 12 - 4 = 13 $。
【答案】
13
【知识点】
割补法求面积；三角形面积计算；网格图形计算
【点评】
本题是网格面积计算的典型题型，割补法是解决这类问题的核心方法，解题时要注意准确数出各边对应的方格长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在单位长度均为1 cm的平面直角坐标系中,有一个圆柱形笔筒的平面展开图.其中,侧面展开图OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B坐标为(24,－10).将一根长度为14.6 cm的铅笔放入笔筒内,露出笔筒部分的长度的最小值为
2
cm(结果保留整数,π取3,壁厚忽略不计).答案
9. 2
解析
【分析】
要使铅笔露出笔筒的长度最短，需让铅笔在笔筒内部的长度最长，此时铅笔沿笔筒的体对角线放置。首先根据侧面展开图的坐标确定圆柱的高和底面周长，再结合圆的周长公式求出底面直径，最后用勾股定理计算出笔筒内能容纳铅笔的最大长度，用铅笔总长度减去该最大长度，结果保留整数即可。
【解析】
1. 确定圆柱参数：由点B坐标为$\boldsymbol{(24,-10)}$，可得侧面展开图的长$OC=24\mathrm{cm}$（对应底面圆的周长），宽$OA=10\mathrm{cm}$（对应笔筒的高$h$）。
2. 计算底面直径：设底面直径为$d$，已知$π=3$，根据圆的周长公式$C=π d$，得$d=\frac{C}{π}=\frac{24}{3}=8\mathrm{cm}$。
3. 计算笔筒内铅笔最大长度：当铅笔沿轴截面对角线放置时内部长度最长，由勾股定理得：
$l=\sqrt{d^2+h^2}=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}\approx12.8\mathrm{cm}$
4. 计算露出长度最小值：$14.6-12.8=1.8\approx2\mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图，圆的周长计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题关键是明确铅笔的最长放置方式，准确对应侧面展开图各边与圆柱参数的关系，难度适中，注重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
要使铅笔露出笔筒的长度最短，需让铅笔在笔筒内部的长度最长，此时铅笔沿笔筒的体对角线放置。首先根据侧面展开图的坐标确定圆柱的高和底面周长，再结合圆的周长公式求出底面直径，最后用勾股定理计算出笔筒内能容纳铅笔的最大长度，用铅笔总长度减去该最大长度，结果保留整数即可。
【解析】
1. 确定圆柱参数：由点B坐标为$\boldsymbol{(24,-10)}$，可得侧面展开图的长$OC=24\mathrm{cm}$（对应底面圆的周长），宽$OA=10\mathrm{cm}$（对应笔筒的高$h$）。
2. 计算底面直径：设底面直径为$d$，已知$π=3$，根据圆的周长公式$C=π d$，得$d=\frac{C}{π}=\frac{24}{3}=8\mathrm{cm}$。
3. 计算笔筒内铅笔最大长度：当铅笔沿轴截面对角线放置时内部长度最长，由勾股定理得：
$l=\sqrt{d^2+h^2}=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{164}\approx12.8\mathrm{cm}$
4. 计算露出长度最小值：$14.6-12.8=1.8\approx2\mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图，圆的周长计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题关键是明确铅笔的最长放置方式，准确对应侧面展开图各边与圆柱参数的关系，难度适中，注重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为$(3,0)$，$(0,2)$，过点B作y轴的垂线$l$，P为直线$l$上一动点，连接PO，PA，则$PO+PA$的最小值为________。
答案
10. 5
(如图,取点A关于直线l的对称点A',连接A'O,交直线l于点C,连接AC,可知AC=A'C,A'A⊥l,∴ PO+PA=PO+PA'≥A'O,即当O,P,A'三点共线时,PO+PA的最小值为A'O.
∵ 直线l垂直于y轴,
∴ A'A⊥x轴.
∵ A(3,0),B(0,2),
∴ AO=3,AA'=4.
∴ 在Rt△A'AO中,A'O=$\sqrt{OA^2+AA'^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.故答案为:5)
解析
【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：1. 明确动点P在直线l上运动，要使PO+PA最小，需利用轴对称性质将折线段的和转化为两点之间的线段长度；2. 选取定点A作关于直线l的对称点A'，根据轴对称性质可得PA=PA'，此时PO+PA转化为PO+PA'；3. 根据两点之间线段最短，当O、P、A'三点共线时，PO+PA'的长度最小，等于OA'的长度，最后用勾股定理计算OA'的长度即可。
【解析】
解：取点A关于直线l的对称点A'，连接A'O，交直线l于点C。
由轴对称的性质可得：$PA=PA'$，因此$PO+PA=PO+PA'$。
根据两点之间线段最短，$PO+PA'≥ A'O$，即当O、P、A'三点共线时，$PO+PA$取得最小值，最小值为$A'O$的长度。
∵ 直线l是过点$B(0,2)$且垂直于y轴的直线，
∴ 直线l为水平线，$A'A⊥ l$，即$A'A⊥ x$轴。
∵ $A(3,0)$，
∴ $OA=3$，点A到直线l的距离为2，因此$AA'=2×2=4$。
在$Rt△ A'AO$中，$∠ OAA'=90°$，由勾股定理得：
$A'O=\sqrt{OA^2+AA'^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
即$PO+PA$的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
最短路径问题，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用，解题核心是熟练掌握将军饮马模型的转化思路，通过对称将折线段和的最小值转化为两点间的线段长度，再结合勾股定理计算，需要注意对称点位置的正确判断。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：1. 明确动点P在直线l上运动，要使PO+PA最小，需利用轴对称性质将折线段的和转化为两点之间的线段长度；2. 选取定点A作关于直线l的对称点A'，根据轴对称性质可得PA=PA'，此时PO+PA转化为PO+PA'；3. 根据两点之间线段最短，当O、P、A'三点共线时，PO+PA'的长度最小，等于OA'的长度，最后用勾股定理计算OA'的长度即可。
【解析】
解：取点A关于直线l的对称点A'，连接A'O，交直线l于点C。
由轴对称的性质可得：$PA=PA'$，因此$PO+PA=PO+PA'$。
根据两点之间线段最短，$PO+PA'≥ A'O$，即当O、P、A'三点共线时，$PO+PA$取得最小值，最小值为$A'O$的长度。
∵ 直线l是过点$B(0,2)$且垂直于y轴的直线，
∴ 直线l为水平线，$A'A⊥ l$，即$A'A⊥ x$轴。
∵ $A(3,0)$，
∴ $OA=3$，点A到直线l的距离为2，因此$AA'=2×2=4$。
在$Rt△ A'AO$中，$∠ OAA'=90°$，由勾股定理得：
$A'O=\sqrt{OA^2+AA'^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
即$PO+PA$的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
最短路径问题，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题是轴对称性质的典型应用，解题核心是熟练掌握将军饮马模型的转化思路，通过对称将折线段和的最小值转化为两点间的线段长度，再结合勾股定理计算，需要注意对称点位置的正确判断。
【难度系数】
0.7
