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14. (10分)根据材料解答：
∵ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，∴$\sqrt{5}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}-2$.
(1) $\sqrt{11}$的整数部分是
(2) 若$\sqrt{17}$的小数部分为$m$，$\sqrt{11}-1$的整数部分为$n$，求$m+n-\sqrt{17}$的值.
∵ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，∴$\sqrt{5}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}-2$.
(1) $\sqrt{11}$的整数部分是
$3$
；(2) 若$\sqrt{17}$的小数部分为$m$，$\sqrt{11}-1$的整数部分为$n$，求$m+n-\sqrt{17}$的值.
答案
14. (1) 3 (2) $-2$
解析
【分析】
解决这类无理数的整数部分、小数部分相关问题，核心思路是用“夹逼法”确定无理数介于哪两个相邻整数之间：①第(1)问先找到与11相邻的两个完全平方数，确定√11的取值范围，直接得到它的整数部分；②第(2)问先分别确定√17、√11的取值范围，再根据“小数部分=原数-整数部分”求出m，根据不等式性质求出√11-1的整数部分n，最后代入代数式化简计算即可。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，因此$\sqrt{11}$的整数部分是3。
(2) ①求$m$的值：
$\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$
$\therefore \sqrt{17}$的整数部分为4，小数部分$m=\sqrt{17}-4$
②求$n$的值：
由(1)得$3＜\sqrt{11}＜4$，不等式两边同时减1可得：$3-1＜\sqrt{11}-1＜4-1$，即$2＜\sqrt{11}-1＜3$
$\therefore \sqrt{11}-1$的整数部分$n=2$
③代入计算：
将$m=\sqrt{17}-4$，$n=2$代入$m+n-\sqrt{17}$得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{17}-4)+2-\sqrt{17}\\&=\sqrt{17}-4+2-\sqrt{17}\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
(1) $3$；(2) $-2$
【知识点】
无理数的估算、代数式求值
【点评】
本题是无理数估算的典型基础题，解题关键是熟练掌握夹逼法确定无理数的整数范围，牢记无理数小数部分的推导规则，计算时注意消项即可快速得到结果。
【难度系数】
0.75
解决这类无理数的整数部分、小数部分相关问题，核心思路是用“夹逼法”确定无理数介于哪两个相邻整数之间：①第(1)问先找到与11相邻的两个完全平方数，确定√11的取值范围，直接得到它的整数部分；②第(2)问先分别确定√17、√11的取值范围，再根据“小数部分=原数-整数部分”求出m，根据不等式性质求出√11-1的整数部分n，最后代入代数式化简计算即可。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，因此$\sqrt{11}$的整数部分是3。
(2) ①求$m$的值：
$\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$
$\therefore \sqrt{17}$的整数部分为4，小数部分$m=\sqrt{17}-4$
②求$n$的值：
由(1)得$3＜\sqrt{11}＜4$，不等式两边同时减1可得：$3-1＜\sqrt{11}-1＜4-1$，即$2＜\sqrt{11}-1＜3$
$\therefore \sqrt{11}-1$的整数部分$n=2$
③代入计算：
将$m=\sqrt{17}-4$，$n=2$代入$m+n-\sqrt{17}$得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{17}-4)+2-\sqrt{17}\\&=\sqrt{17}-4+2-\sqrt{17}\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
(1) $3$；(2) $-2$
【知识点】
无理数的估算、代数式求值
【点评】
本题是无理数估算的典型基础题，解题关键是熟练掌握夹逼法确定无理数的整数范围，牢记无理数小数部分的推导规则，计算时注意消项即可快速得到结果。
【难度系数】
0.75
15. (10分)根据爱因斯坦相对论时间的相对性原理，物体在高速运动的情况下时间会延缓(时钟变慢)，当地面上的人经过1 s时，乘坐宇宙飞船高速飞行的人只经过$\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}$ s(c是光速，为$3×10^8$ m/s，v是宇宙飞船的速度).假定有一对兄弟，哥哥18岁，弟弟15岁，哥哥乘着宇宙飞船做星际旅行，设该宇宙飞船的速度是光速的0.98倍.问:弟弟20岁时，刚从宇宙旅行回来的哥哥是几岁？
答案
15. $\because$ 宇宙飞船的速度是光速的 0.98 倍, $\therefore \sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}=6×10^{-2}\sqrt{11}$,$\therefore$ 地面上经过 1 s,宇宙飞船内时间只经过 $6×10^{-2}\sqrt{11}$ s. $\therefore$ 地面经过 5 年,宇宙飞船内时间只经过$\frac{3}{10}\sqrt{11}$年. $\because \frac{3}{10}\sqrt{11}\approx1$,$\therefore$ 哥哥回来的时候是 19 岁
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的时间对应关系：地面经过1s，飞船内经过$\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}$s。第一步先根据飞船速度是光速的0.98倍，求出$\frac{v}{c}$的取值，代入公式算出地面时间和飞船时间的比值；第二步计算弟弟从15岁到20岁时地面流逝的总时间；第三步用地面流逝时间乘时间比值得到飞船内哥哥经历的时间，最后加上哥哥出发时的年龄即可得到哥哥回来时的年龄。
【解析】
解：已知宇宙飞船速度$v$是光速$c$的0.98倍，即$\frac{v}{c}=0.98$，
代入时间换算公式可得飞船时间和地面时间的比值：
$\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}=\sqrt{1-0.98^2}=\sqrt{1-0.9604}=\sqrt{0.0396}$
化简得：$\sqrt{0.0396}=\sqrt{\frac{396}{10000}}=\sqrt{\frac{4×9×11}{10000}}=\frac{6\sqrt{11}}{100}=6×10^{-2}\sqrt{11}$
弟弟从15岁到20岁，地面经过的时间为：$20-15=5$（年）
则这段时间内飞船中哥哥经历的时间为：$5×6×10^{-2}\sqrt{11}=\frac{3}{10}\sqrt{11}$
因为$\sqrt{11}\approx3.32$，所以$\frac{3}{10}\sqrt{11}\approx\frac{3}{10}×3.32\approx1$（年）
哥哥出发时18岁，所以回来时的年龄为：$18+1=19$（岁）
【答案】
刚从宇宙旅行回来的哥哥是19岁。
【知识点】
二次根式化简、代数式求值、比例应用
【点评】
本题将物理常识与数学计算结合，考查二次根式的实际应用能力，解题的核心是准确理解地面时间与飞船时间的换算关系，按步骤代入计算即可，计算时注意二次根式化简的正确性。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的时间对应关系：地面经过1s，飞船内经过$\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}$s。第一步先根据飞船速度是光速的0.98倍，求出$\frac{v}{c}$的取值，代入公式算出地面时间和飞船时间的比值；第二步计算弟弟从15岁到20岁时地面流逝的总时间；第三步用地面流逝时间乘时间比值得到飞船内哥哥经历的时间，最后加上哥哥出发时的年龄即可得到哥哥回来时的年龄。
【解析】
解：已知宇宙飞船速度$v$是光速$c$的0.98倍，即$\frac{v}{c}=0.98$，
代入时间换算公式可得飞船时间和地面时间的比值：
$\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}=\sqrt{1-0.98^2}=\sqrt{1-0.9604}=\sqrt{0.0396}$
化简得：$\sqrt{0.0396}=\sqrt{\frac{396}{10000}}=\sqrt{\frac{4×9×11}{10000}}=\frac{6\sqrt{11}}{100}=6×10^{-2}\sqrt{11}$
弟弟从15岁到20岁，地面经过的时间为：$20-15=5$（年）
则这段时间内飞船中哥哥经历的时间为：$5×6×10^{-2}\sqrt{11}=\frac{3}{10}\sqrt{11}$
因为$\sqrt{11}\approx3.32$，所以$\frac{3}{10}\sqrt{11}\approx\frac{3}{10}×3.32\approx1$（年）
哥哥出发时18岁，所以回来时的年龄为：$18+1=19$（岁）
【答案】
刚从宇宙旅行回来的哥哥是19岁。
【知识点】
二次根式化简、代数式求值、比例应用
【点评】
本题将物理常识与数学计算结合，考查二次根式的实际应用能力，解题的核心是准确理解地面时间与飞船时间的换算关系，按步骤代入计算即可，计算时注意二次根式化简的正确性。
【难度系数】
0.7
16. (10分)如图,用两张面积为$8\ \mathrm{cm}^2$的小正方形纸片剪拼成一个大正方形纸片.
(1) 大正方形纸片的边长是
(2) 若沿此大正方形纸片边的方向剪一个长方形,能否剪出长与宽之比为$3:2$,面积为$12\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸片?若能,求出该长方形纸片的长和宽;若不能,说明理由.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$)
(1) 大正方形纸片的边长是
$4$
cm.(2) 若沿此大正方形纸片边的方向剪一个长方形,能否剪出长与宽之比为$3:2$,面积为$12\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸片?若能,求出该长方形纸片的长和宽;若不能,说明理由.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$)
答案
16. (1) 4 (2) 不能,理由如下:设长方形纸片的长为$3a$ cm,宽为 $2a$ cm,则 $2a · 3a=12$,解得 $a=\sqrt{2}$,$\because \sqrt{2}\approx1.414$,$\therefore 3\sqrt{2}\approx4.242＞4$,所以沿此大正方形边的方向不能剪出长宽之比为 $3:2$,且面积为 $12\ \mathrm{cm}^2$ 的长方形纸片
解析
【分析】
(1) 剪拼前后图形的总面积不变，先计算两个小正方形的总面积得到大正方形的面积，再对大正方形面积开算术平方根即可得到其边长。
(2) 要判断能否剪出符合要求的长方形，先根据长宽比设未知数，结合面积列方程求出长方形的长，再将长和大正方形的边长比较：若长大于大正方形边长则不能剪出，反之可以剪出。
【解析】
(1) 两个小正方形的总面积为：$8×2=16\ \mathrm{cm}^2$，剪拼后大正方形面积与总面积相等，因此大正方形边长为$\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$。
(2) 不能剪出符合要求的长方形，理由如下：
设长方形的长为$3a\ \mathrm{cm}$，宽为$2a\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式列方程：
$3a·2a=12$
化简得$6a^2=12$，即$a^2=2$，
因为边长为正数，所以$a=\sqrt{2}$，
则长方形的长为$3a=3\sqrt{2}\approx3×1.414=4.242\ \mathrm{cm}$，
已知大正方形边长为$4\ \mathrm{cm}$，$4.242＞4$，即长方形的长大于大正方形的边长，因此无法剪出符合要求的长方形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 不能，理由如下：设长方形纸片的长为$3a$ cm，宽为 $2a$ cm，则 $2a · 3a=12$，解得 $a=\sqrt{2}$，$\because \sqrt{2}\approx1.414$，$\therefore 3\sqrt{2}\approx4.242＞4$，所以沿此大正方形边的方向不能剪出长宽之比为 $3:2$，且面积为 $12\ \mathrm{cm}^2$ 的长方形纸片。
【知识点】
算术平方根计算；图形剪拼；实数大小比较
【点评】
本题结合剪拼场景考查平方根的实际应用，核心是抓住剪拼前后面积不变的规律，判断长方形可行性时要结合大正方形边长的限制条件，侧重考查学生的计算能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 剪拼前后图形的总面积不变，先计算两个小正方形的总面积得到大正方形的面积，再对大正方形面积开算术平方根即可得到其边长。
(2) 要判断能否剪出符合要求的长方形，先根据长宽比设未知数，结合面积列方程求出长方形的长，再将长和大正方形的边长比较：若长大于大正方形边长则不能剪出，反之可以剪出。
【解析】
(1) 两个小正方形的总面积为：$8×2=16\ \mathrm{cm}^2$，剪拼后大正方形面积与总面积相等，因此大正方形边长为$\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$。
(2) 不能剪出符合要求的长方形，理由如下：
设长方形的长为$3a\ \mathrm{cm}$，宽为$2a\ \mathrm{cm}$，根据长方形面积公式列方程：
$3a·2a=12$
化简得$6a^2=12$，即$a^2=2$，
因为边长为正数，所以$a=\sqrt{2}$，
则长方形的长为$3a=3\sqrt{2}\approx3×1.414=4.242\ \mathrm{cm}$，
已知大正方形边长为$4\ \mathrm{cm}$，$4.242＞4$，即长方形的长大于大正方形的边长，因此无法剪出符合要求的长方形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 不能，理由如下：设长方形纸片的长为$3a$ cm，宽为 $2a$ cm，则 $2a · 3a=12$，解得 $a=\sqrt{2}$，$\because \sqrt{2}\approx1.414$，$\therefore 3\sqrt{2}\approx4.242＞4$，所以沿此大正方形边的方向不能剪出长宽之比为 $3:2$，且面积为 $12\ \mathrm{cm}^2$ 的长方形纸片。
【知识点】
算术平方根计算；图形剪拼；实数大小比较
【点评】
本题结合剪拼场景考查平方根的实际应用，核心是抓住剪拼前后面积不变的规律，判断长方形可行性时要结合大正方形边长的限制条件，侧重考查学生的计算能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.7
