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三、解答题(共50分)
11. (10分)如图,在长方形纸片ABCD中,AD=4 cm,AB=10 cm,按如图的方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.
11. (10分)如图,在长方形纸片ABCD中,AD=4 cm,AB=10 cm,按如图的方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.
答案
11. DE长为5.8 cm
解析
【分析】
这是一道折叠类几何计算题，解题思路如下：首先根据折叠的性质，折叠后对应边相等，可得DE=BE；接下来设DE的长度为未知数，用含未知数的式子表示出AE的长度；最后观察到△ADE是直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可得到DE的长度。
【解析】
解：设$DE=x\ \mathrm{cm}$，
∵ 折叠后点B与点D重合，折痕为EF，
∴ $BE=DE=x\ \mathrm{cm}$，
∵ 长方形ABCD中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴ $AE=AB-BE=(10-x)\ \mathrm{cm}$，
又
∵ 长方形中$∠ A=90°$，$AD=4\ \mathrm{cm}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2+AE^2=DE^2$，
代入数值：$4^2+(10-x)^2=x^2$，
展开计算：$16+100-20x+x^2=x^2$，
化简得：$116=20x$，
解得：$x=5.8$。
【答案】
DE的长为5.8 cm
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题是折叠问题的典型考法，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质转化边的关系，再结合直角三角形的勾股定理列方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用，熟练掌握折叠性质和勾股定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
这是一道折叠类几何计算题，解题思路如下：首先根据折叠的性质，折叠后对应边相等，可得DE=BE；接下来设DE的长度为未知数，用含未知数的式子表示出AE的长度；最后观察到△ADE是直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可得到DE的长度。
【解析】
解：设$DE=x\ \mathrm{cm}$，
∵ 折叠后点B与点D重合，折痕为EF，
∴ $BE=DE=x\ \mathrm{cm}$，
∵ 长方形ABCD中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴ $AE=AB-BE=(10-x)\ \mathrm{cm}$，
又
∵ 长方形中$∠ A=90°$，$AD=4\ \mathrm{cm}$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2+AE^2=DE^2$，
代入数值：$4^2+(10-x)^2=x^2$，
展开计算：$16+100-20x+x^2=x^2$，
化简得：$116=20x$，
解得：$x=5.8$。
【答案】
DE的长为5.8 cm
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题是折叠问题的典型考法，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质转化边的关系，再结合直角三角形的勾股定理列方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用，熟练掌握折叠性质和勾股定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
12. (13分)如图,一只小鸟从小树树顶飞到大树树顶上,它飞行的最短路程是多少?(先画出示意图,然后再求解) 
答案
12. 13 m
解析
【分析】
要解决小鸟飞行的最短路程问题，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径是两棵树树顶的连线段。接下来我们需要构造直角三角形计算这条线段的长度：先求出两棵树的高度差作为直角三角形的一条直角边，两棵树的水平距离作为另一条直角边，最后利用勾股定理求出斜边长度，也就是小鸟飞行的最短路程。
【解析】
首先构造直角三角形：过小树树顶向大树作水平线，与大树交于一点，该点、大树树顶、小树树顶三点构成直角三角形。
1. 计算直角三角形的两条直角边长度：
垂直方向直角边：$13 - 8 = 5\ \mathrm{m}$
水平方向直角边：两棵树水平距离为$12\ \mathrm{m}$
2. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即树顶连线长度）为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{m}$
因此小鸟飞行的最短路程是13m。
【答案】
13 m
【知识点】
勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是将实际问题抽象为直角三角形的几何模型，结合线段最短性质求解，需要具备一定的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
要解决小鸟飞行的最短路程问题，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径是两棵树树顶的连线段。接下来我们需要构造直角三角形计算这条线段的长度：先求出两棵树的高度差作为直角三角形的一条直角边，两棵树的水平距离作为另一条直角边，最后利用勾股定理求出斜边长度，也就是小鸟飞行的最短路程。
【解析】
首先构造直角三角形：过小树树顶向大树作水平线，与大树交于一点，该点、大树树顶、小树树顶三点构成直角三角形。
1. 计算直角三角形的两条直角边长度：
垂直方向直角边：$13 - 8 = 5\ \mathrm{m}$
水平方向直角边：两棵树水平距离为$12\ \mathrm{m}$
2. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即树顶连线长度）为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{m}$
因此小鸟飞行的最短路程是13m。
【答案】
13 m
【知识点】
勾股定理，最短路径问题
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是将实际问题抽象为直角三角形的几何模型，结合线段最短性质求解，需要具备一定的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
13. (13分)剪若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(图①);分别用4张这样的直角三角形纸片拼成图②、图③所示的形状.图②中两个小正方形的面积S₂,S₃与图③中小正方形的面积S₁有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?
答案
13. $S_1=S_2+S_3\quad a^2+b^2=c^2$
解析
【分析】
解题时我们可以利用面积法推导关系：首先观察到图②和图③的大正方形边长均为直角三角形两条直角边的和$a+b$，二者总面积相等；两个图中都包含4个完全相同的直角三角形，总面积也相等，因此两个大正方形减去4个直角三角形后剩余的面积也相等，据此即可得到$S_1$、$S_2$、$S_3$的关系，再将面积用对应边长表示就能得到$a$、$b$、$c$的关系。
【解析】
1. 计算图②中$S_2+S_3$的面积：
图②的大正方形边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2$；
4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
因此剩余两个小正方形的面积和：$S_2+S_3=(a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2$。
2. 计算图③中$S_1$的面积：
图③的大正方形边长同样为$a+b$，总面积为$(a+b)^2$；
4个直角三角形的总面积同样为$2ab$，中间小正方形的边长为直角三角形的斜边$c$，因此剩余面积：$S_1=(a+b)^2-2ab=c^2$。
3. 联立结论：
由上述推导可得$S_1=S_2+S_3$，对应边长关系为$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$S_1=S_2+S_3$，$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
正方形面积计算；完全平方公式；勾股定理
【点评】
本题是验证勾股定理的经典题型，通过图形拼接的方式考察面积法的应用，解题关键是抓住拼接前后总面积不变、减去相同部分后剩余面积相等的特点，结合整式运算即可推导结论。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以利用面积法推导关系：首先观察到图②和图③的大正方形边长均为直角三角形两条直角边的和$a+b$，二者总面积相等；两个图中都包含4个完全相同的直角三角形，总面积也相等，因此两个大正方形减去4个直角三角形后剩余的面积也相等，据此即可得到$S_1$、$S_2$、$S_3$的关系，再将面积用对应边长表示就能得到$a$、$b$、$c$的关系。
【解析】
1. 计算图②中$S_2+S_3$的面积：
图②的大正方形边长为$a+b$，总面积为$(a+b)^2$；
4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$；
因此剩余两个小正方形的面积和：$S_2+S_3=(a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2$。
2. 计算图③中$S_1$的面积：
图③的大正方形边长同样为$a+b$，总面积为$(a+b)^2$；
4个直角三角形的总面积同样为$2ab$，中间小正方形的边长为直角三角形的斜边$c$，因此剩余面积：$S_1=(a+b)^2-2ab=c^2$。
3. 联立结论：
由上述推导可得$S_1=S_2+S_3$，对应边长关系为$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
$S_1=S_2+S_3$，$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
正方形面积计算；完全平方公式；勾股定理
【点评】
本题是验证勾股定理的经典题型，通过图形拼接的方式考察面积法的应用，解题关键是抓住拼接前后总面积不变、减去相同部分后剩余面积相等的特点，结合整式运算即可推导结论。
【难度系数】
0.7
14. (14分)我们知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，都是勾股数. 比如3，4，5或11，60，61等.
(1) 请你写出一组勾股数：7，
(2) 清朝数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（Ⅰ）如果k是大于1的奇数，那么$k,\frac{k^2 -1}{2},\frac{k^2 +1}{2}$是一组勾股数；
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么$k,(\frac{k}{2})^2 -1,(\frac{k}{2})^2 +1$是一组勾股数.
① 已知在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据以上两个法则分别求出另外两个数；
② 请你从这两个法则中选择一个，并证明它是正确的.
(1) 请你写出一组勾股数：7，
24
，25
.(2) 清朝数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（Ⅰ）如果k是大于1的奇数，那么$k,\frac{k^2 -1}{2},\frac{k^2 +1}{2}$是一组勾股数；
（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么$k,(\frac{k}{2})^2 -1,(\frac{k}{2})^2 +1$是一组勾股数.
① 已知在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据以上两个法则分别求出另外两个数；
② 请你从这两个法则中选择一个，并证明它是正确的.
答案
14. (1) 24,25
(2) ① 5,13 35,37 ②略
(2) ① 5,13 35,37 ②略
解析
【分析】
(1) 7是大于1的奇数，可直接套用题干给出的奇数构造勾股数的法则计算另外两个数；
(2) ①已知其中一个勾股数为12，12是偶数，需分两种情况讨论：情况一，12为法则Ⅱ中大于2的偶数k，直接代入公式计算另外两个数；情况二，12为法则Ⅰ中的中间项$\frac{k^2 -1}{2}$，解方程求出符合条件的k后，再得到另外两个数，注意不要漏解；
②证明构造勾股数的法则正确，需满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是较小两个数的平方和等于最大数的平方，符合勾股定理，按此思路化简验证即可。
【解析】
(1) 当k=7（大于1的奇数）时，代入法则（Ⅰ）：
$\frac{k^2-1}{2}=\frac{7^2-1}{2}=\frac{49-1}{2}=24$，$\frac{k^2+1}{2}=\frac{7^2+1}{2}=\frac{49+1}{2}=25$，
验证：$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，符合勾股数要求。
(2) ①分两种情况计算：
情况1：若12是法则（Ⅱ）中大于2的偶数k，即k=12，
则另外两个数为：$(\frac{12}{2})^2-1=6^2-1=35$，$(\frac{12}{2})^2+1=6^2+1=37$，验证：$12^2+35^2=144+1225=1369=37^2$，符合要求；
情况2：若12是法则（Ⅰ）中的$\frac{k^2-1}{2}$，列方程：
$\frac{k^2-1}{2}=12$，解得$k^2=25$，因为k是大于1的奇数，故k=5，
此时三个勾股数为5，12，13，另外两个数为5，13，验证：$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，符合要求。
②选择法则（Ⅰ）证明：
已知k是大于1的奇数，因此$k^2$是奇数，$k^2-1$、$k^2+1$均为偶数，故$\frac{k^2-1}{2}$、$\frac{k^2+1}{2}$都是正整数；
接下来验证勾股关系：
$k^2 + (\frac{k^2-1}{2})^2 = k^2 + \frac{k^4 - 2k^2 + 1}{4} = \frac{4k^2 + k^4 - 2k^2 + 1}{4} = \frac{k^4 + 2k^2 + 1}{4} = (\frac{k^2+1}{2})^2$
即较小两个数的平方和等于最大数的平方，因此$k,\frac{k^2 -1}{2},\frac{k^2 +1}{2}$是一组勾股数，法则（Ⅰ）正确。
（选择法则（Ⅱ）证明同理，先证三个数为正整数，再验证平方和关系即可）
【答案】
(1) 24，25
(2) ① 5，13；35，37 ②证明见解析
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理的逆用，整式的混合运算
【点评】
本题围绕勾股数的构造规律设置问题，既考查对勾股数概念的理解应用，也考查分类讨论思想和代数式化简证明的能力，解题时注意不要漏去12为中间项的情况。
【难度系数】
0.7
(1) 7是大于1的奇数，可直接套用题干给出的奇数构造勾股数的法则计算另外两个数；
(2) ①已知其中一个勾股数为12，12是偶数，需分两种情况讨论：情况一，12为法则Ⅱ中大于2的偶数k，直接代入公式计算另外两个数；情况二，12为法则Ⅰ中的中间项$\frac{k^2 -1}{2}$，解方程求出符合条件的k后，再得到另外两个数，注意不要漏解；
②证明构造勾股数的法则正确，需满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是较小两个数的平方和等于最大数的平方，符合勾股定理，按此思路化简验证即可。
【解析】
(1) 当k=7（大于1的奇数）时，代入法则（Ⅰ）：
$\frac{k^2-1}{2}=\frac{7^2-1}{2}=\frac{49-1}{2}=24$，$\frac{k^2+1}{2}=\frac{7^2+1}{2}=\frac{49+1}{2}=25$，
验证：$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，符合勾股数要求。
(2) ①分两种情况计算：
情况1：若12是法则（Ⅱ）中大于2的偶数k，即k=12，
则另外两个数为：$(\frac{12}{2})^2-1=6^2-1=35$，$(\frac{12}{2})^2+1=6^2+1=37$，验证：$12^2+35^2=144+1225=1369=37^2$，符合要求；
情况2：若12是法则（Ⅰ）中的$\frac{k^2-1}{2}$，列方程：
$\frac{k^2-1}{2}=12$，解得$k^2=25$，因为k是大于1的奇数，故k=5，
此时三个勾股数为5，12，13，另外两个数为5，13，验证：$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，符合要求。
②选择法则（Ⅰ）证明：
已知k是大于1的奇数，因此$k^2$是奇数，$k^2-1$、$k^2+1$均为偶数，故$\frac{k^2-1}{2}$、$\frac{k^2+1}{2}$都是正整数；
接下来验证勾股关系：
$k^2 + (\frac{k^2-1}{2})^2 = k^2 + \frac{k^4 - 2k^2 + 1}{4} = \frac{4k^2 + k^4 - 2k^2 + 1}{4} = \frac{k^4 + 2k^2 + 1}{4} = (\frac{k^2+1}{2})^2$
即较小两个数的平方和等于最大数的平方，因此$k,\frac{k^2 -1}{2},\frac{k^2 +1}{2}$是一组勾股数，法则（Ⅰ）正确。
（选择法则（Ⅱ）证明同理，先证三个数为正整数，再验证平方和关系即可）
【答案】
(1) 24，25
(2) ① 5，13；35，37 ②证明见解析
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理的逆用，整式的混合运算
【点评】
本题围绕勾股数的构造规律设置问题，既考查对勾股数概念的理解应用，也考查分类讨论思想和代数式化简证明的能力，解题时注意不要漏去12为中间项的情况。
【难度系数】
0.7
