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7. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度. 密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中(如图①)时, 浸入液体中的高度 h cm 是液体的密度 ρ g/cm³ 的反比例函数, 其函数图象如图②所示(ρ＞0).
(1) 求 h 与 ρ 之间的函数表达式.
(2) 当液体密度 ρ 从 1.5 g/cm³ 增加到 2 g/cm³ 时, 密度计浸入该液体中的高度 h 怎样变化? 变化了多少?
(1) 求 h 与 ρ 之间的函数表达式.
(2) 当液体密度 ρ 从 1.5 g/cm³ 增加到 2 g/cm³ 时, 密度计浸入该液体中的高度 h 怎样变化? 变化了多少?
答案
7. (1) 设h与ρ之间的函数表达式为$h=\frac{k}{\rho}(\rho＞0)$. 由题可知,图象过$(1.5,20)$,将$\rho=1.5,h=20$代入$h=\frac{k}{\rho}$,得$20=\frac{k}{1.5}$,解得$k=30$. 所以h与ρ之间的函数关系式为$h=\frac{30}{\rho}(\rho＞0)$
(2) 当$\rho=2\ \mathrm{g/cm}^3$时,$h=15\ \mathrm{cm}$.$20-15=5(\mathrm{cm})$.密度计浸入该液体中的高度h减少了,减少了5 cm
(2) 当$\rho=2\ \mathrm{g/cm}^3$时,$h=15\ \mathrm{cm}$.$20-15=5(\mathrm{cm})$.密度计浸入该液体中的高度h减少了,减少了5 cm
解析
【分析】本题考查反比例函数在实际问题中的应用，已知h与ρ成反比例关系，因此先设反比例函数表达式，再利用图象上的已知点求出比例系数，得到函数表达式；第二问通过代入不同的ρ值计算对应的h，进而分析高度的变化情况。
【解析】(1) 设h与ρ之间的函数表达式为$ h = \frac{k}{\rho} (\rho ＞ 0) $。将点$(1.5, 20)$代入表达式，得$ 20 = \frac{k}{1.5} $，解得$ k = 20 × 1.5 = 30 $，因此h与ρ之间的函数表达式为$ h = \frac{30}{\rho} (\rho ＞ 0) $。(2) 当$ \rho = 2\ \mathrm{g/cm}^3 $时，代入函数表达式得$ h = \frac{30}{2} = 15\ \mathrm{cm} $。原来的h为20 cm，所以高度变化量为$ 20 - 15 = 5\ \mathrm{cm} $，即密度计浸入液体中的高度h减少了5 cm。
【答案】(1) $ h = \frac{30}{\rho} (\rho ＞ 0) $；(2) 密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了5 cm。
【知识点】反比例函数应用
【点评】本题结合密度计的实际场景考查反比例函数的应用，核心是利用待定系数法确定反比例函数解析式，再代入求值分析变化，属于基础应用题。
【难度系数】0.6
【解析】(1) 设h与ρ之间的函数表达式为$ h = \frac{k}{\rho} (\rho ＞ 0) $。将点$(1.5, 20)$代入表达式，得$ 20 = \frac{k}{1.5} $，解得$ k = 20 × 1.5 = 30 $，因此h与ρ之间的函数表达式为$ h = \frac{30}{\rho} (\rho ＞ 0) $。(2) 当$ \rho = 2\ \mathrm{g/cm}^3 $时，代入函数表达式得$ h = \frac{30}{2} = 15\ \mathrm{cm} $。原来的h为20 cm，所以高度变化量为$ 20 - 15 = 5\ \mathrm{cm} $，即密度计浸入液体中的高度h减少了5 cm。
【答案】(1) $ h = \frac{30}{\rho} (\rho ＞ 0) $；(2) 密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了5 cm。
【知识点】反比例函数应用
【点评】本题结合密度计的实际场景考查反比例函数的应用，核心是利用待定系数法确定反比例函数解析式，再代入求值分析变化，属于基础应用题。
【难度系数】0.6
8. 在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异. 研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力(单位：Pa)与受力面积(单位：$ \mathrm{m}^2 $)之间的关系，结果如表所示.
(1) 求桌面所受压强 $ p $ 与受力面积 $ S $ 之间的函数表达式.
(2) 现将一正方体放置于该水平玻璃桌面上. 已知该玻璃桌面能承受的最大压强为 $ 4 × 10^4 $ Pa，该正方体的棱长为多少才能安全放置？
(1) 求桌面所受压强 $ p $ 与受力面积 $ S $ 之间的函数表达式.
(2) 现将一正方体放置于该水平玻璃桌面上. 已知该玻璃桌面能承受的最大压强为 $ 4 × 10^4 $ Pa，该正方体的棱长为多少才能安全放置？
答案
8. (1) $p=\frac{100}{S}$
(2) 把$p=4×10^4$代入$p=\frac{100}{S}$,得$S=2.5×10^{-3}$.$\sqrt{2.5×10^{-3}}=0.05$. 所以当棱长$＞0.05\ \mathrm{m}$时,才能安全放置
(2) 把$p=4×10^4$代入$p=\frac{100}{S}$,得$S=2.5×10^{-3}$.$\sqrt{2.5×10^{-3}}=0.05$. 所以当棱长$＞0.05\ \mathrm{m}$时,才能安全放置
解析
【分析】
本题需结合压强公式与反比例函数的性质解题：(1) 由压强公式 $ p=\frac{F}{S} $，当压力F一定时，p与S成反比例关系，利用表格数据求出定值F即可得到函数表达式；(2) 将最大压强代入函数求出对应受力面积，再结合正方体受力面积与棱长的关系，确定安全放置的棱长范围。
【解析】
(1) 根据压强公式 $ p=\frac{F}{S} $，当压力F为定值时，压强p与受力面积S成反比例函数关系。
选取表格中任意一组数据，如 $ p=50\ \mathrm{Pa} $、$ S=2\ \mathrm{m}^2 $，可得压力 $ F=pS=50×2=100\ \mathrm{N} $。
因此，压强p与受力面积S的函数表达式为 $ p=\frac{100}{S} $（$ S＞0 $）。
(2) 已知玻璃桌面能承受的最大压强 $ p_{\mathrm{max}}=4×10^4\ \mathrm{Pa} $，将其代入函数表达式 $ p=\frac{100}{S} $，解得：
$ S=\frac{100}{p_{\mathrm{max}}}=\frac{100}{4×10^4}=2.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^2 $。
因为正方体的受力面积 $ S=a^2 $（a为正方体棱长），所以 $ a=\sqrt{S}=\sqrt{2.5×10^{-3}}=0.05\ \mathrm{m} $。
为保证安全，受力面积需不小于该值，即正方体棱长需大于0.05 m。
【答案】
(1) $ p=\frac{100}{S} $；(2) 当正方体棱长大于0.05 m时，才能安全放置。
【知识点】
反比例函数应用、压强公式
【点评】
本题将反比例函数与物理压强知识结合，核心是利用定值压力确定反比例关系，第二问需结合正方体面积公式求解，属于跨学科基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题需结合压强公式与反比例函数的性质解题：(1) 由压强公式 $ p=\frac{F}{S} $，当压力F一定时，p与S成反比例关系，利用表格数据求出定值F即可得到函数表达式；(2) 将最大压强代入函数求出对应受力面积，再结合正方体受力面积与棱长的关系，确定安全放置的棱长范围。
【解析】
(1) 根据压强公式 $ p=\frac{F}{S} $，当压力F为定值时，压强p与受力面积S成反比例函数关系。
选取表格中任意一组数据，如 $ p=50\ \mathrm{Pa} $、$ S=2\ \mathrm{m}^2 $，可得压力 $ F=pS=50×2=100\ \mathrm{N} $。
因此，压强p与受力面积S的函数表达式为 $ p=\frac{100}{S} $（$ S＞0 $）。
(2) 已知玻璃桌面能承受的最大压强 $ p_{\mathrm{max}}=4×10^4\ \mathrm{Pa} $，将其代入函数表达式 $ p=\frac{100}{S} $，解得：
$ S=\frac{100}{p_{\mathrm{max}}}=\frac{100}{4×10^4}=2.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^2 $。
因为正方体的受力面积 $ S=a^2 $（a为正方体棱长），所以 $ a=\sqrt{S}=\sqrt{2.5×10^{-3}}=0.05\ \mathrm{m} $。
为保证安全，受力面积需不小于该值，即正方体棱长需大于0.05 m。
【答案】
(1) $ p=\frac{100}{S} $；(2) 当正方体棱长大于0.05 m时，才能安全放置。
【知识点】
反比例函数应用、压强公式
【点评】
本题将反比例函数与物理压强知识结合，核心是利用定值压力确定反比例关系，第二问需结合正方体面积公式求解，属于跨学科基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
9. 在物理学中，并联电路的总电阻 $ R $ 与各支路电阻 $ R_1 $，$ R_2 $ 之间满足关系：$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$，已知 $ R_1 = a $，$ R_2 = b $。
（1）请用含 $ a $，$ b $ 的代数式表示总电阻 $ R $，并化简。
（2）若 $ a ＞ b ＞ 0 $，试比较 $ R $ 与 $\frac{a}{2}$ 的大小，并说明理由。
（3）若 $ a = 10 $，则 $ R $ 随着 $ b $ 的增大怎样变化？为什么？
（1）请用含 $ a $，$ b $ 的代数式表示总电阻 $ R $，并化简。
（2）若 $ a ＞ b ＞ 0 $，试比较 $ R $ 与 $\frac{a}{2}$ 的大小，并说明理由。
（3）若 $ a = 10 $，则 $ R $ 随着 $ b $ 的增大怎样变化？为什么？
答案
9. (1) $R=\frac{ab}{a+b}$
(2) $R-\frac{a}{2}=\frac{ab}{a+b}-\frac{a}{2}=a(\frac{b}{a+b}-\frac{1}{2})=a·\frac{2b-(a+b)}{2(a+b)}=a·\frac{b-a}{2(a+b)}$因为$a＞b＞0$,所以$b-a＜0,a＞0,a+b＞0$,因此$\frac{a(b-a)}{2(a+b)}＜0$,即$R-\frac{a}{2}＜0$,得$R＜\frac{a}{2}$
(3) 当$a=10$时,代入$R=\frac{ab}{a+b}$,得$R=\frac{10b}{10+b}=\frac{10(b+10)-100}{10+b}=10-\frac{100}{b+10}$,当$b＞0$时,R随着b的增大而增大,且始终小于10.理由:b增大时,$b+10$随之增大,$\frac{100}{b+10}$减小,因此10减去减小的正数,结果R会增大;又因为$\frac{100}{b+10}＞0$,所以$R=10-\frac{100}{b+10}＜10$
(2) $R-\frac{a}{2}=\frac{ab}{a+b}-\frac{a}{2}=a(\frac{b}{a+b}-\frac{1}{2})=a·\frac{2b-(a+b)}{2(a+b)}=a·\frac{b-a}{2(a+b)}$因为$a＞b＞0$,所以$b-a＜0,a＞0,a+b＞0$,因此$\frac{a(b-a)}{2(a+b)}＜0$,即$R-\frac{a}{2}＜0$,得$R＜\frac{a}{2}$
(3) 当$a=10$时,代入$R=\frac{ab}{a+b}$,得$R=\frac{10b}{10+b}=\frac{10(b+10)-100}{10+b}=10-\frac{100}{b+10}$,当$b＞0$时,R随着b的增大而增大,且始终小于10.理由:b增大时,$b+10$随之增大,$\frac{100}{b+10}$减小,因此10减去减小的正数,结果R会增大;又因为$\frac{100}{b+10}＞0$,所以$R=10-\frac{100}{b+10}＜10$
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据并联电路总电阻的公式，将已知的支路电阻代入，通过分式通分、变形，解出总电阻R的表达式并化简；
2. 第(2)问：比较两个代数式的大小采用作差法，计算R与$\frac{a}{2}$的差，结合$a＞b＞0$的条件判断差的正负，进而得出大小关系；
3. 第(3)问：将$a=10$代入第(1)问的R表达式，对分式变形后，分析b增大时分式的变化，确定R的变化趋势。
【解析】
(1) 已知$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$，$R_1=a$，$R_2=b$，代入得：
$\frac{1}{R} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}$，两边取倒数，化简得$R=\frac{ab}{a+b}$；
(2) 计算$R - \frac{a}{2}$：
$R - \frac{a}{2} = \frac{ab}{a+b} - \frac{a}{2} = a(\frac{b}{a+b} - \frac{1}{2}) = a·\frac{2b-(a+b)}{2(a+b)} = a·\frac{b-a}{2(a+b)}$，
因为$a＞b＞0$，所以$b-a＜0$，$a＞0$，$a+b＞0$，因此$\frac{a(b-a)}{2(a+b)}＜0$，即$R - \frac{a}{2}＜0$，故$R＜\frac{a}{2}$；
(3) 当$a=10$时，代入$R=\frac{ab}{a+b}$得：
$R = \frac{10b}{10+b} = \frac{10(b+10)-100}{10+b} = 10 - \frac{100}{b+10}$，
因为$b＞0$，当$b$增大时，$b+10$随之增大，$\frac{100}{b+10}$减小，因此$10 - \frac{100}{b+10}$增大，即$R$随着$b$的增大而增大，且$R＜10$。
【答案】
9. (1) $R=\frac{ab}{a+b}$
(2) $R＜\frac{a}{2}$，理由：$R-\frac{a}{2}=\frac{ab}{a+b}-\frac{a}{2}=a(\frac{b}{a+b}-\frac{1}{2})=a·\frac{2b-(a+b)}{2(a+b)}=a·\frac{b-a}{2(a+b)}$，因为$a＞b＞0$，所以$b-a＜0,a＞0,a+b＞0$，因此$\frac{a(b-a)}{2(a+b)}＜0$，即$R-\frac{a}{2}＜0$，得$R＜\frac{a}{2}$
(3) 当$a=10$时，$R$随着$b$的增大而增大，理由：代入$a=10$得$R=\frac{10b}{10+b}=10-\frac{100}{b+10}$，当$b＞0$时，$b$增大则$b+10$增大，$\frac{100}{b+10}$减小，故$R=10-\frac{100}{b+10}$增大，且$R＜10$
【知识点】
分式运算、分式的大小比较、函数的增减性
【点评】
本题结合物理并联电路电阻的实际背景，考察分式的化简、大小比较及函数变化分析，需掌握分式通分、作差法比较大小，以及分式变形后的增减性判断，是代数与物理结合的典型题目，综合性适中。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：根据并联电路总电阻的公式，将已知的支路电阻代入，通过分式通分、变形，解出总电阻R的表达式并化简；
2. 第(2)问：比较两个代数式的大小采用作差法，计算R与$\frac{a}{2}$的差，结合$a＞b＞0$的条件判断差的正负，进而得出大小关系；
3. 第(3)问：将$a=10$代入第(1)问的R表达式，对分式变形后，分析b增大时分式的变化，确定R的变化趋势。
【解析】
(1) 已知$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$，$R_1=a$，$R_2=b$，代入得：
$\frac{1}{R} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}$，两边取倒数，化简得$R=\frac{ab}{a+b}$；
(2) 计算$R - \frac{a}{2}$：
$R - \frac{a}{2} = \frac{ab}{a+b} - \frac{a}{2} = a(\frac{b}{a+b} - \frac{1}{2}) = a·\frac{2b-(a+b)}{2(a+b)} = a·\frac{b-a}{2(a+b)}$，
因为$a＞b＞0$，所以$b-a＜0$，$a＞0$，$a+b＞0$，因此$\frac{a(b-a)}{2(a+b)}＜0$，即$R - \frac{a}{2}＜0$，故$R＜\frac{a}{2}$；
(3) 当$a=10$时，代入$R=\frac{ab}{a+b}$得：
$R = \frac{10b}{10+b} = \frac{10(b+10)-100}{10+b} = 10 - \frac{100}{b+10}$，
因为$b＞0$，当$b$增大时，$b+10$随之增大，$\frac{100}{b+10}$减小，因此$10 - \frac{100}{b+10}$增大，即$R$随着$b$的增大而增大，且$R＜10$。
【答案】
9. (1) $R=\frac{ab}{a+b}$
(2) $R＜\frac{a}{2}$，理由：$R-\frac{a}{2}=\frac{ab}{a+b}-\frac{a}{2}=a(\frac{b}{a+b}-\frac{1}{2})=a·\frac{2b-(a+b)}{2(a+b)}=a·\frac{b-a}{2(a+b)}$，因为$a＞b＞0$，所以$b-a＜0,a＞0,a+b＞0$，因此$\frac{a(b-a)}{2(a+b)}＜0$，即$R-\frac{a}{2}＜0$，得$R＜\frac{a}{2}$
(3) 当$a=10$时，$R$随着$b$的增大而增大，理由：代入$a=10$得$R=\frac{10b}{10+b}=10-\frac{100}{b+10}$，当$b＞0$时，$b$增大则$b+10$增大，$\frac{100}{b+10}$减小，故$R=10-\frac{100}{b+10}$增大，且$R＜10$
【知识点】
分式运算、分式的大小比较、函数的增减性
【点评】
本题结合物理并联电路电阻的实际背景，考察分式的化简、大小比较及函数变化分析，需掌握分式通分、作差法比较大小，以及分式变形后的增减性判断，是代数与物理结合的典型题目，综合性适中。
【难度系数】
0.6
