登录
如图,在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$∠ C'=∠ C=90°$,$A'B'=AB$,$B'C'=BC$.这两个三角形全等吗?
答案
证明：这两个三角形全等。
∵ ∠C = ∠C' = 90°，
∴ △ABC和△A'B'C'都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B' \\BC = B'C'\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）。
∵ ∠C = ∠C' = 90°，
∴ △ABC和△A'B'C'都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
$\{\begin{array}{l}AB = A'B' \\BC = B'C'\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）。
问题1:如图.由$∠ C'=∠ C=90°$可知,移动$△ A'B'C'$,可以使点$C'$与点$C$、射线$C'A'$与射线
CA
、射线$C'B'$与射线CB
分别重合.再由$B'C'=BC$,可知点$B'$与点$B$重合.答案
CA CB
问题2:如图.因为点A是以点
B
为圆心、BA
为半径的圆与射线CA的交点,所以由点$B'$与点B重合,$B'A'=BA$且射线C'A'
与射线CA
重合可知,点A'
也是上述圆与射线的交点,所以点$A'$与点A
重合.因而$△ A'B'C' ≌ △ ABC$.答案
B BA C'A' CA A' 点A
知识梳理
斜边
和一 直角边
分别相等的两个 直角三角形
全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).答案
斜边 直角边 直角三角形
【例1】如图，在$△ ABC$中，$AB=CB$，$∠ ABC=90°$，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，且$AE=CF$。求证：$BF=BE$。
|思路分析|
思考1:观察图形，BE，BF分别在多个三角形中，其中可能全等的是哪组三角形？
思考2:上面的两个三角形是什么三角形？在已知条件中有哪些相等的元素？
|思路分析|
思考1:观察图形，BE，BF分别在多个三角形中，其中可能全等的是哪组三角形？
思考2:上面的两个三角形是什么三角形？在已知条件中有哪些相等的元素？
答案
思考1:$△ ABE$ 和$△ CBF$.
思考2:两个三角形都是直角三角形,两个三角形的一直角边和斜边分别相等.
思考2:两个三角形都是直角三角形,两个三角形的一直角边和斜边分别相等.
思考3:根据哪个全等三角形的判定方法可证这两个三角形全等？
证明:
证明:
答案
思考3:“HL”.
证明:因为$∠ ABC=90°$,
所以$∠ CBF=∠ ABE=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBF$ 中,
$\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CB, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CBF(\mathrm{HL})$.
所以 $BF=BE$.
证明:因为$∠ ABC=90°$,
所以$∠ CBF=∠ ABE=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBF$ 中,
$\begin{cases} AE=CF, \\ AB=CB, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CBF(\mathrm{HL})$.
所以 $BF=BE$.
