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1.观察一组数3,5,7,…,则第n个数可以表示为(
A.$2(n-1)$
B.$2n-1$
C.$2(n+1)$
D.$2n+1$
D
)。A.$2(n-1)$
B.$2n-1$
C.$2(n+1)$
D.$2n+1$
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道数字规律探究题，我们可以用两种思路解题：一是特殊值代入验证法，把n=1（对应第一个数3）代入各个选项，排除不符合的选项，再用更多数值验证剩下的选项即可；二是通项推导法，先观察数列相邻两项的差是固定值2，再写出前几个数和对应序号的关系，总结出第n个数的表达式。
【解析】
方法1：代入验证法
当n=1时，对应数列的第1个数是3：
A. $2(1-1)=0≠3$，排除；
B. $2×1-1=1≠3$，排除；
C. $2(1+1)=4≠3$，排除；
D. $2×1+1=3$，符合要求。
再验证n=2时，D选项得$2×2+1=5$，和数列第2个数一致；n=3时，$2×3+1=7$，和数列第3个数一致，因此D正确。
方法2：规律推导法
观察数列可知，相邻两个数的差为2，且：
第1个数：$3=2×1+1$
第2个数：$5=2×2+1$
第3个数：$7=2×3+1$
……
以此类推，第n个数为$2n+1$。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类基础题型，特殊值代入法是解决这类选择题的快捷技巧，推导通项的方法可以应对非选择类的规律题，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
这是一道数字规律探究题，我们可以用两种思路解题：一是特殊值代入验证法，把n=1（对应第一个数3）代入各个选项，排除不符合的选项，再用更多数值验证剩下的选项即可；二是通项推导法，先观察数列相邻两项的差是固定值2，再写出前几个数和对应序号的关系，总结出第n个数的表达式。
【解析】
方法1：代入验证法
当n=1时，对应数列的第1个数是3：
A. $2(1-1)=0≠3$，排除；
B. $2×1-1=1≠3$，排除；
C. $2(1+1)=4≠3$，排除；
D. $2×1+1=3$，符合要求。
再验证n=2时，D选项得$2×2+1=5$，和数列第2个数一致；n=3时，$2×3+1=7$，和数列第3个数一致，因此D正确。
方法2：规律推导法
观察数列可知，相邻两个数的差为2，且：
第1个数：$3=2×1+1$
第2个数：$5=2×2+1$
第3个数：$7=2×3+1$
……
以此类推，第n个数为$2n+1$。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类基础题型，特殊值代入法是解决这类选择题的快捷技巧，推导通项的方法可以应对非选择类的规律题，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
2.一个由小菱形“◇”组成的装饰链，断去了一部分，剩下的部分如图所示，则断去部分的小菱形“◇”的个数可能是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2. C
解析
【分析】
解决这道题的核心是先观察完整装饰链的排列规律。首先观察给出的剩余部分：左侧剩余部分的末端是1个水平向右的小菱形，右侧剩余部分的开头是1个水平向左的小菱形。再分析完整图案的结构可以发现，图案是周期性重复的，每新增1组完整的基础单元，会增加3个小菱形，因此断去部分的数量符合“3n+2”的形式（n为非负整数），最后结合选项判断符合该形式的数值即可。
【解析】
解：观察装饰链的图案，可总结出排列规律：图案为周期性重复，每新增1个基础单元（带中心交点的雪花图案），会增加3个小菱形。
观察剩余部分：左侧末尾为水平向右的菱形，右侧开头为水平向左的菱形，因此断去部分的小菱形个数满足表达式$3n+2$（$n≥0$，且$n$为整数）。
将各选项代入验证：
A选项：$3n+2=3$，解得$n$不是整数，不符合要求；
B选项：$3n+2=4$，解得$n$不是整数，不符合要求；
C选项：$3n+2=5$，解得$n=1$，是整数，符合要求；
D选项：$3n+2=6$，解得$n$不是整数，不符合要求。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，代数式应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要学生通过观察现有图形总结出排列规律，再结合规律验证选项，能有效考查学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
解决这道题的核心是先观察完整装饰链的排列规律。首先观察给出的剩余部分：左侧剩余部分的末端是1个水平向右的小菱形，右侧剩余部分的开头是1个水平向左的小菱形。再分析完整图案的结构可以发现，图案是周期性重复的，每新增1组完整的基础单元，会增加3个小菱形，因此断去部分的数量符合“3n+2”的形式（n为非负整数），最后结合选项判断符合该形式的数值即可。
【解析】
解：观察装饰链的图案，可总结出排列规律：图案为周期性重复，每新增1个基础单元（带中心交点的雪花图案），会增加3个小菱形。
观察剩余部分：左侧末尾为水平向右的菱形，右侧开头为水平向左的菱形，因此断去部分的小菱形个数满足表达式$3n+2$（$n≥0$，且$n$为整数）。
将各选项代入验证：
A选项：$3n+2=3$，解得$n$不是整数，不符合要求；
B选项：$3n+2=4$，解得$n$不是整数，不符合要求；
C选项：$3n+2=5$，解得$n=1$，是整数，符合要求；
D选项：$3n+2=6$，解得$n$不是整数，不符合要求。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，代数式应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要学生通过观察现有图形总结出排列规律，再结合规律验证选项，能有效考查学生的观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
3.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（
A.$2n+2$
B.$4n+4$
C.$4n-4$
D.$4n$
D
）。A.$2n+2$
B.$4n+4$
C.$4n-4$
D.$4n$
答案
3. D
解析
【分析】
解决这类图形规律题，可采用从特殊到一般的推导思路：先逐一数出前3个图形中三角形的个数，再观察数量与图形序号n的对应关系，总结规律后验证是否符合所有已知图形，即可得到第n个图形的三角形个数。
【解析】
首先统计前三个图形的三角形数量：
第1个图形：经计数，三角形共有4个，可写成$4×1$；
第2个图形：经计数，三角形共有8个，可写成$4×2$；
第3个图形：经计数，三角形共有12个，可写成$4×3$；
观察上述规律可得：第n个图形中三角形的个数为$4× n=4n$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是图形类规律探究的基础题型，解题核心是通过枚举前几个图形的对应数量，寻找数字和序号的对应关系，也可通过代入序号排除错误选项，快速得到答案。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，可采用从特殊到一般的推导思路：先逐一数出前3个图形中三角形的个数，再观察数量与图形序号n的对应关系，总结规律后验证是否符合所有已知图形，即可得到第n个图形的三角形个数。
【解析】
首先统计前三个图形的三角形数量：
第1个图形：经计数，三角形共有4个，可写成$4×1$；
第2个图形：经计数，三角形共有8个，可写成$4×2$；
第3个图形：经计数，三角形共有12个，可写成$4×3$；
观察上述规律可得：第n个图形中三角形的个数为$4× n=4n$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究，列代数式
【点评】
本题是图形类规律探究的基础题型，解题核心是通过枚举前几个图形的对应数量，寻找数字和序号的对应关系，也可通过代入序号排除错误选项，快速得到答案。
【难度系数】
0.7
4.用计算机设计一个计算程序,输入和输出的数据如下表。
那么当输入的数据是8时,输出的数据是(
A.$\frac{8}{61}$
B.$\frac{8}{63}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{8}{65}$
那么当输入的数据是8时,输出的数据是(
D
)。A.$\frac{8}{61}$
B.$\frac{8}{63}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{8}{65}$
答案
4. D
解析
【分析】
这是一道数字规律探究题，解题时可以分别观察输出数据的分子、分母和输入数据的关系：第一步先看分子，输入1时输出分子是1，输入2时输出分子是2，可发现分子和输入的数相等；第二步看分母，输入1时分母是2，输入2时分母是5，将分母和输入数的平方对比，会发现分母等于输入数的平方加1；总结出通用规律后代入输入值8即可算出结果。
【解析】
1. 分析分子规律：观察输出数据的分子，输入1时分子为1，输入2时分子为2，输入3时分子为3……可知输入数据为$n$时，输出的分子等于$n$。
2. 分析分母规律：观察输出数据的分母，输入1时分母$2=1^2+1$，输入2时分母$5=2^2+1$，输入3时分母$10=3^2+1$，输入4时分母$17=4^2+1$，输入5时分母$26=5^2+1$……可知输入数据为$n$时，输出的分母等于$n^2+1$。
3. 总结规律：输入$n$时，输出的数据为$\frac{n}{n^2+1}$。
4. 代入计算：当输入数据为8时，输出为$\frac{8}{8^2+1}=\frac{8}{64+1}=\frac{8}{65}$。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类基础题，解题核心是分别从分子、分母两个维度寻找与输入数据的对应关系，总结通用代数式后代入计算即可，只要细心观察就能轻松找到规律。
【难度系数】
0.7
这是一道数字规律探究题，解题时可以分别观察输出数据的分子、分母和输入数据的关系：第一步先看分子，输入1时输出分子是1，输入2时输出分子是2，可发现分子和输入的数相等；第二步看分母，输入1时分母是2，输入2时分母是5，将分母和输入数的平方对比，会发现分母等于输入数的平方加1；总结出通用规律后代入输入值8即可算出结果。
【解析】
1. 分析分子规律：观察输出数据的分子，输入1时分子为1，输入2时分子为2，输入3时分子为3……可知输入数据为$n$时，输出的分子等于$n$。
2. 分析分母规律：观察输出数据的分母，输入1时分母$2=1^2+1$，输入2时分母$5=2^2+1$，输入3时分母$10=3^2+1$，输入4时分母$17=4^2+1$，输入5时分母$26=5^2+1$……可知输入数据为$n$时，输出的分母等于$n^2+1$。
3. 总结规律：输入$n$时，输出的数据为$\frac{n}{n^2+1}$。
4. 代入计算：当输入数据为8时，输出为$\frac{8}{8^2+1}=\frac{8}{64+1}=\frac{8}{65}$。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类基础题，解题核心是分别从分子、分母两个维度寻找与输入数据的对应关系，总结通用代数式后代入计算即可，只要细心观察就能轻松找到规律。
【难度系数】
0.7
5.如图,在图上任意圈出竖列上相邻的三个数。如果被圈出的三个数的和为54,那么这三个数中最大的一个数表示当月的
25
日。答案
5. 25
解析
【分析】
首先观察日历的排列规则：竖列上相邻的两个数，下方的数比上方的数大7（每周共7天，上下行对应日期间隔一周）。要计算和为54的三个竖列相邻数中最大的数，我们可以选择设中间数为未知数，利用三个数的和列一元一次方程求解，此时上下两数与中间数的差值会相互抵消，能简化计算过程。
【解析】
设竖列相邻三个数里中间的数为$x$，则上方较小的数为$x-7$，下方最大的数为$x+7$。
根据三个数的和为54，列方程：
$(x-7) + x + (x+7) = 54$
化简方程得：$3x = 54$
解得：$x = 18$
则最大的数为$x+7 = 18+7 = 25$。
【答案】
25
【知识点】
日历数字规律，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中日历的排列特点考查方程的实际应用，解题核心是准确找到竖列相邻数的差值规律，选择设中间数为未知数可有效降低计算量，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
首先观察日历的排列规则：竖列上相邻的两个数，下方的数比上方的数大7（每周共7天，上下行对应日期间隔一周）。要计算和为54的三个竖列相邻数中最大的数，我们可以选择设中间数为未知数，利用三个数的和列一元一次方程求解，此时上下两数与中间数的差值会相互抵消，能简化计算过程。
【解析】
设竖列相邻三个数里中间的数为$x$，则上方较小的数为$x-7$，下方最大的数为$x+7$。
根据三个数的和为54，列方程：
$(x-7) + x + (x+7) = 54$
化简方程得：$3x = 54$
解得：$x = 18$
则最大的数为$x+7 = 18+7 = 25$。
【答案】
25
【知识点】
日历数字规律，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中日历的排列特点考查方程的实际应用，解题核心是准确找到竖列相邻数的差值规律，选择设中间数为未知数可有效降低计算量，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
6.观察下列一组数：$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{6}{7}$，$\frac{8}{9}$，$\frac{10}{11}$，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是
$\frac{2n}{2n+1}$
。答案
6. $\frac{2n}{2n+1}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以将每个分数拆分为分子、分母两部分，分别寻找它们和序号n的对应规律，再整合得到第n个数的表达式。首先观察分子：给出的分子依次是2、4、6、8、10，都是连续偶数，第1个分子是2×1，第2个分子是2×2，第3个分子是2×3，可推出第n个分子为2n；再观察分母：分母依次是3、5、7、9、11，都是连续奇数，且每个分母都比对应分子大1，第1个分母是2×1+1，第2个分母是2×2+1，第3个分母是2×3+1，可推出第n个分母为2n+1，最后将分子分母组合即可得到结果。
【解析】
我们分别分析分子、分母与序号n的关系：
1. 分子规律：
当n=1时，分子为$2=2×1$
当n=2时，分子为$4=2×2$
当n=3时，分子为$6=2×3$
……
归纳可得，第n个数的分子为$2n$
2. 分母规律：
当n=1时，分母为$3=2×1+1$
当n=2时，分母为$5=2×2+1$
当n=3时，分母为$7=2×3+1$
……
归纳可得，第n个数的分母为$2n+1$
因此这一组数的第n个数是$\frac{2n}{2n+1}$
【答案】
$\frac{2n}{2n+1}$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是将分数拆分后分别探究各部分与序号的对应关系，掌握从特殊到一般的归纳方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，我们可以将每个分数拆分为分子、分母两部分，分别寻找它们和序号n的对应规律，再整合得到第n个数的表达式。首先观察分子：给出的分子依次是2、4、6、8、10，都是连续偶数，第1个分子是2×1，第2个分子是2×2，第3个分子是2×3，可推出第n个分子为2n；再观察分母：分母依次是3、5、7、9、11，都是连续奇数，且每个分母都比对应分子大1，第1个分母是2×1+1，第2个分母是2×2+1，第3个分母是2×3+1，可推出第n个分母为2n+1，最后将分子分母组合即可得到结果。
【解析】
我们分别分析分子、分母与序号n的关系：
1. 分子规律：
当n=1时，分子为$2=2×1$
当n=2时，分子为$4=2×2$
当n=3时，分子为$6=2×3$
……
归纳可得，第n个数的分子为$2n$
2. 分母规律：
当n=1时，分母为$3=2×1+1$
当n=2时，分母为$5=2×2+1$
当n=3时，分母为$7=2×3+1$
……
归纳可得，第n个数的分母为$2n+1$
因此这一组数的第n个数是$\frac{2n}{2n+1}$
【答案】
$\frac{2n}{2n+1}$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是将分数拆分后分别探究各部分与序号的对应关系，掌握从特殊到一般的归纳方法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
7.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖的块数为
$3n+2$
。答案
7. $3n+2$
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先从已知的前几个图案入手，先分别数出第1、2、3个图案中白色瓷砖的块数，再对比相邻图案白色瓷砖数量的变化，发现每增加1个图案，白色瓷砖的数量就增加3块，属于增量固定的规律，再结合第一个图案的基础数量，就能推导第n个图案的白色瓷砖数量。
【解析】
首先统计前3个图案的白色瓷砖块数：
第1个图案：白色瓷砖共5块，可写成$3×1 + 2 = 5$；
第2个图案：白色瓷砖共8块，可写成$3×2 + 2 = 8$；
第3个图案：白色瓷砖共11块，可写成$3×3 + 2 = 11$；
观察可知，第n个图案中白色瓷砖的块数为$3n+2$。
【答案】
$3n+2$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是通过统计前几个图形的对应数量，找到数量随序号变化的固定增量，进而归纳出通用的代数式表达，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，首先从已知的前几个图案入手，先分别数出第1、2、3个图案中白色瓷砖的块数，再对比相邻图案白色瓷砖数量的变化，发现每增加1个图案，白色瓷砖的数量就增加3块，属于增量固定的规律，再结合第一个图案的基础数量，就能推导第n个图案的白色瓷砖数量。
【解析】
首先统计前3个图案的白色瓷砖块数：
第1个图案：白色瓷砖共5块，可写成$3×1 + 2 = 5$；
第2个图案：白色瓷砖共8块，可写成$3×2 + 2 = 8$；
第3个图案：白色瓷砖共11块，可写成$3×3 + 2 = 11$；
观察可知，第n个图案中白色瓷砖的块数为$3n+2$。
【答案】
$3n+2$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是通过统计前几个图形的对应数量，找到数量随序号变化的固定增量，进而归纳出通用的代数式表达，侧重考查观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
