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8.将从1开始的自然数按如图所示的规律排列，如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是
2 022
。答案
8. 2 022
解析
【分析】
首先观察数阵的排列特征：先看每行第一个数，发现第n行第1列的数是n²；再观察同一行的数，当列数小于等于行数时，数字从左到右依次递减1，即第n行第m列（m≤n）的数可表示为n² - m +1。本题要求第45行第4列的数，4＜45，符合上述规律，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 找第n行第1列的规律：
观察数阵可知：
第1行第1列：$1 = 1^2$
第2行第1列：$4 = 2^2$
第3行第1列：$9 = 3^2$
第4行第1列：$16 = 4^2$
……
由此总结规律：第$n$行第1列的数为$n^2$。
2. 找同一行前列数的规律：
观察同一行的数字，当列数$m$≤行数$n$时，数字从左到右依次减1，因此第$n$行第$m$列的数为：$n^2 - (m-1) = n^2 - m + 1$。
3. 代入计算：
本题所求位置为第45行第4列，其中$n=45$，$m=4$，$4＜45$，代入上述公式得：
$45^2 - 4 + 1 = 2025 - 3 = 2022$
【答案】
2022
【知识点】
数阵规律探究，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心是通过观察特殊位置的数字特征总结通用规律，再代入计算对应位置的数，解题时需要先确定行首的平方数规律，再根据行内数字的增减关系推导结果，是数字规律类的典型考题。
【难度系数】
0.65
首先观察数阵的排列特征：先看每行第一个数，发现第n行第1列的数是n²；再观察同一行的数，当列数小于等于行数时，数字从左到右依次递减1，即第n行第m列（m≤n）的数可表示为n² - m +1。本题要求第45行第4列的数，4＜45，符合上述规律，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 找第n行第1列的规律：
观察数阵可知：
第1行第1列：$1 = 1^2$
第2行第1列：$4 = 2^2$
第3行第1列：$9 = 3^2$
第4行第1列：$16 = 4^2$
……
由此总结规律：第$n$行第1列的数为$n^2$。
2. 找同一行前列数的规律：
观察同一行的数字，当列数$m$≤行数$n$时，数字从左到右依次减1，因此第$n$行第$m$列的数为：$n^2 - (m-1) = n^2 - m + 1$。
3. 代入计算：
本题所求位置为第45行第4列，其中$n=45$，$m=4$，$4＜45$，代入上述公式得：
$45^2 - 4 + 1 = 2025 - 3 = 2022$
【答案】
2022
【知识点】
数阵规律探究，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心是通过观察特殊位置的数字特征总结通用规律，再代入计算对应位置的数，解题时需要先确定行首的平方数规律，再根据行内数字的增减关系推导结果，是数字规律类的典型考题。
【难度系数】
0.65
9.如图所示的是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A₂比图A₁多出2个“树枝”，图A₃比图A₂多出4个“树枝”，图A₄比图A₃多出8个“树枝”……照此规律，图A₆比图A₂多出的“树枝”个数为（
A.32
B.56
C.60
D.64
C
）。A.32
B.56
C.60
D.64
答案
9. C
解析
【分析】
首先观察题目给出的“树形图”树枝增长规律：图A₂比A₁多2个树枝，A₃比A₂多4个，A₄比A₃多8个，可知每后一个图比前一个图新增的树枝数是前一次新增数量的2倍，即新增树枝数为2的幂次。我们可以先依次算出各图的树枝总数，再计算A₆与A₂的树枝数差值即可得到结果。
【解析】
首先计算各图的树枝总数：
A₁的树枝数：1个
A₂的树枝数：1 + 2 = 3个
A₃的树枝数：3 + 4 = 7个
A₄的树枝数：7 + 8 = 15个
按照增长规律，每次新增树枝数是前一次新增的2倍：
A₅比A₄多16个，A₅的树枝数：15 + 16 = 31个
A₆比A₅多32个，A₆的树枝数：31 + 32 = 63个
则A₆比A₂多出的树枝数为：63 - 3 = 60个
故选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，有理数运算
【点评】
本题是典型的图形变化规律题，解题核心是归纳出树枝数量的增长规律，计算过程中要注意数量的对应关系，避免因规律归纳错误或计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的“树形图”树枝增长规律：图A₂比A₁多2个树枝，A₃比A₂多4个，A₄比A₃多8个，可知每后一个图比前一个图新增的树枝数是前一次新增数量的2倍，即新增树枝数为2的幂次。我们可以先依次算出各图的树枝总数，再计算A₆与A₂的树枝数差值即可得到结果。
【解析】
首先计算各图的树枝总数：
A₁的树枝数：1个
A₂的树枝数：1 + 2 = 3个
A₃的树枝数：3 + 4 = 7个
A₄的树枝数：7 + 8 = 15个
按照增长规律，每次新增树枝数是前一次新增的2倍：
A₅比A₄多16个，A₅的树枝数：15 + 16 = 31个
A₆比A₅多32个，A₆的树枝数：31 + 32 = 63个
则A₆比A₂多出的树枝数为：63 - 3 = 60个
故选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，有理数运算
【点评】
本题是典型的图形变化规律题，解题核心是归纳出树枝数量的增长规律，计算过程中要注意数量的对应关系，避免因规律归纳错误或计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
10.已知$3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,\dots$,则$3^{107}$的末位数字是（
A.1
B.3
C.7
D.9
C
）。A.1
B.3
C.7
D.9
答案
10. C
解析
【分析】
要解决本题，我们可以通过探究3的幂次末位数字的变化规律来推导结果。首先观察已知的3的正整数次幂的末位数字，找出其循环周期；再用所求幂次的指数107除以循环周期，根据得到的余数对应循环中的位置，就能确定$3^{107}$的末位数字。
【解析】
观察已知条件可得：
$3^1$的末位数字是3，$3^2$的末位数字是9，$3^3$的末位数字是7，$3^4$的末位数字是1，
$3^5$的末位数字回到3，$3^6$的末位数字回到9，
因此3的正整数次幂的末位数字以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现。
接下来计算107除以周期4的余数：
$107÷4=26······3$，即107次幂经过26个完整周期后，还余3次，对应周期中的第3个数字为7。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方，数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类的典型题目，解题关键是通过观察总结出末位数字的循环周期，再结合余数判断对应结果，掌握规律分析的基本方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以通过探究3的幂次末位数字的变化规律来推导结果。首先观察已知的3的正整数次幂的末位数字，找出其循环周期；再用所求幂次的指数107除以循环周期，根据得到的余数对应循环中的位置，就能确定$3^{107}$的末位数字。
【解析】
观察已知条件可得：
$3^1$的末位数字是3，$3^2$的末位数字是9，$3^3$的末位数字是7，$3^4$的末位数字是1，
$3^5$的末位数字回到3，$3^6$的末位数字回到9，
因此3的正整数次幂的末位数字以3、9、7、1这4个数字为一个周期循环出现。
接下来计算107除以周期4的余数：
$107÷4=26······3$，即107次幂经过26个完整周期后，还余3次，对应周期中的第3个数字为7。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方，数字规律探究
【点评】
本题是规律探究类的典型题目，解题关键是通过观察总结出末位数字的循环周期，再结合余数判断对应结果，掌握规律分析的基本方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
11.按下列$2×2$的方格中体现出的规律，则$x$应是（
A.10
B.$-2$
C.2
D.0
B
）。A.10
B.$-2$
C.2
D.0
答案
11. B
解析
【分析】
解决这类数字规律题，首先观察已知的完整方格中四个数字的运算关系，优先尝试对角线、同行、同列数字的和差运算找共性。我们先计算前三个方格对角线数字的和，可发现每个方格中两条对角线上的两数之和相等，验证规律成立后，即可对第四个方格列等式求解x。
【解析】
观察前三个2×2方格的数字，总结规律：每个方格中，左上数字与右下数字的和等于右上数字与左下数字的和。
验证规律：
第一个方格：$1+5=6$，$3+3=6$，二者相等，符合规律；
第二个方格：$5+10=15$，$8+7=15$，二者相等，符合规律；
第三个方格：$2+5=7$，$6+1=7$，二者相等，规律成立。
对第四个方格应用规律列等式：
$6 + 4 = x + 12$
解得：$x = 10 - 12 = -2$
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，有理数加减运算
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，需要学生从已知数据中总结通用规律再代入求解，是规律探究类题的常见题型。
【难度系数】
0.7
解决这类数字规律题，首先观察已知的完整方格中四个数字的运算关系，优先尝试对角线、同行、同列数字的和差运算找共性。我们先计算前三个方格对角线数字的和，可发现每个方格中两条对角线上的两数之和相等，验证规律成立后，即可对第四个方格列等式求解x。
【解析】
观察前三个2×2方格的数字，总结规律：每个方格中，左上数字与右下数字的和等于右上数字与左下数字的和。
验证规律：
第一个方格：$1+5=6$，$3+3=6$，二者相等，符合规律；
第二个方格：$5+10=15$，$8+7=15$，二者相等，符合规律；
第三个方格：$2+5=7$，$6+1=7$，二者相等，规律成立。
对第四个方格应用规律列等式：
$6 + 4 = x + 12$
解得：$x = 10 - 12 = -2$
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，有理数加减运算
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，需要学生从已知数据中总结通用规律再代入求解，是规律探究类题的常见题型。
【难度系数】
0.7
12.观察下列三行数：
第一行:1,−2,3,−4,5,…；
第二行:1,4,9,16,25,…；
第三行:−1,2,7,14,23,…。
(1)第一行数按什么规律排列？
(2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
(3)取每行的第10个数，计算这3个数的和。
第一行:1,−2,3,−4,5,…；
第二行:1,4,9,16,25,…；
第三行:−1,2,7,14,23,…。
(1)第一行数按什么规律排列？
(2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
(3)取每行的第10个数，计算这3个数的和。
答案
解:(1)$(-1)^{n+1}n$
(2)第二行数是第一行对应的数的平方，
第三行数是第一行对应的数的平方减2。
(3)$-10+(-10)^2+(-10)^2-2=188$。
(2)第二行数是第一行对应的数的平方，
第三行数是第一行对应的数的平方减2。
(3)$-10+(-10)^2+(-10)^2-2=188$。
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路逐步推导：
（1）先观察第一行数字的绝对值规律：第n个数的绝对值等于序数n；再观察符号规律：奇数位为正、偶数位为负，可用负数的幂次表示符号，组合即可得到第一行的排列规律。
（2）将第二行、第三行的数和第一行相同位置的数做运算对比，即可得出两行数和第一行的对应关系。
（3）根据前面得出的规律，分别求出三行的第10个数，再相加计算总和即可。
【解析】
解：
（1）观察第一行数字：
第1个数：$1=(-1)^{1+1}×1$
第2个数：$-2=(-1)^{2+1}×2$
第3个数：$3=(-1)^{3+1}×3$
……
由此可得，第一行第n个数为$(-1)^{n+1}n$（n为正整数）。
（2）对比相同位置的数：
第一行第n个数记为aₙ，第二行第n个数$=a_n^2$，因此第二行数是第一行对应的数的平方。
第三行第n个数$=a_n^2-2$，因此第三行数是第一行对应的数的平方减2。
（3）先求每行第10个数：
第一行第10个数：当n=10时，$(-1)^{10+1}×10=-10$
第二行第10个数：$(-10)^2=100$
第三行第10个数：$(-10)^2-2=98$
三个数的和为：$-10+100+98=188$
【答案】
(1) 第n个数为$(-1)^{n+1}n$（n为正整数）；
(2) 第二行数是第一行对应的数的平方，第三行数是第一行对应的数的平方减2；
(3) $188$
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，有理数加减运算
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，重点考查观察、归纳数字变化特征的能力，解题时可分别分析数字的绝对值规律和符号规律，再对比不同行的运算关联，代入规律计算时注意幂运算的符号规则即可。
【难度系数】
0.75
解决这道题可按以下思路逐步推导：
（1）先观察第一行数字的绝对值规律：第n个数的绝对值等于序数n；再观察符号规律：奇数位为正、偶数位为负，可用负数的幂次表示符号，组合即可得到第一行的排列规律。
（2）将第二行、第三行的数和第一行相同位置的数做运算对比，即可得出两行数和第一行的对应关系。
（3）根据前面得出的规律，分别求出三行的第10个数，再相加计算总和即可。
【解析】
解：
（1）观察第一行数字：
第1个数：$1=(-1)^{1+1}×1$
第2个数：$-2=(-1)^{2+1}×2$
第3个数：$3=(-1)^{3+1}×3$
……
由此可得，第一行第n个数为$(-1)^{n+1}n$（n为正整数）。
（2）对比相同位置的数：
第一行第n个数记为aₙ，第二行第n个数$=a_n^2$，因此第二行数是第一行对应的数的平方。
第三行第n个数$=a_n^2-2$，因此第三行数是第一行对应的数的平方减2。
（3）先求每行第10个数：
第一行第10个数：当n=10时，$(-1)^{10+1}×10=-10$
第二行第10个数：$(-10)^2=100$
第三行第10个数：$(-10)^2-2=98$
三个数的和为：$-10+100+98=188$
【答案】
(1) 第n个数为$(-1)^{n+1}n$（n为正整数）；
(2) 第二行数是第一行对应的数的平方，第三行数是第一行对应的数的平方减2；
(3) $188$
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，有理数加减运算
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，重点考查观察、归纳数字变化特征的能力，解题时可分别分析数字的绝对值规律和符号规律，再对比不同行的运算关联，代入规律计算时注意幂运算的符号规则即可。
【难度系数】
0.75
13.【数学文化】希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”。从中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式，符合这一规律的是(
A.$13=3+10$
B.$25=9+16$
C.$36=15+21$
D.$49=18+31$
C
)。A.$13=3+10$
B.$25=9+16$
C.$36=15+21$
D.$49=18+31$
答案
13. C
解析
【分析】
拿到这道题首先要先读懂题目中两种数的定义，第一步先归纳正方形数的特征：给出的例子1、4、9、16都是正整数的平方，所以先排查选项中等号左边的数是不是完全平方数，先排除不符合的选项；第二步再归纳三角形数的特征：给出的例子1、3、6、10是从1开始连续正整数的和，再依次列举出三角形数，最后验证剩余选项中右边的两个数是不是相邻的三角形数，且和等于左边的正方形数即可。
【解析】
1. 归纳两种数的规律
① 正方形数：观察例子可得第n个正方形数为n²，因此等号左边必须是完全平方数。A选项中13不是完全平方数，直接排除A。
② 三角形数：观察例子可得第m个三角形数是从1加到m的和，依次列举为：1、1+2=3、1+2+3=6、1+2+3+4=10、1+2+3+4+5=15、1+2+3+4+5+6=21、1+2+…+7=28……
2. 验证剩余选项
B选项：左边25是正方形数，右边9、16都不是三角形数，不符合规律，排除；
C选项：左边36是正方形数，右边15是第5个三角形数，21是第6个三角形数，二者是相邻的三角形数，且15+21=36，符合规律；
D选项：左边49是正方形数，右边18、31都不是三角形数，不符合规律，排除。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，完全平方数，有理数加法
【点评】
本题结合经典数学文化考查规律探究能力，解题核心是先准确总结两种数的特征，再逐一验证选项即可，能有效锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先要先读懂题目中两种数的定义，第一步先归纳正方形数的特征：给出的例子1、4、9、16都是正整数的平方，所以先排查选项中等号左边的数是不是完全平方数，先排除不符合的选项；第二步再归纳三角形数的特征：给出的例子1、3、6、10是从1开始连续正整数的和，再依次列举出三角形数，最后验证剩余选项中右边的两个数是不是相邻的三角形数，且和等于左边的正方形数即可。
【解析】
1. 归纳两种数的规律
① 正方形数：观察例子可得第n个正方形数为n²，因此等号左边必须是完全平方数。A选项中13不是完全平方数，直接排除A。
② 三角形数：观察例子可得第m个三角形数是从1加到m的和，依次列举为：1、1+2=3、1+2+3=6、1+2+3+4=10、1+2+3+4+5=15、1+2+3+4+5+6=21、1+2+…+7=28……
2. 验证剩余选项
B选项：左边25是正方形数，右边9、16都不是三角形数，不符合规律，排除；
C选项：左边36是正方形数，右边15是第5个三角形数，21是第6个三角形数，二者是相邻的三角形数，且15+21=36，符合规律；
D选项：左边49是正方形数，右边18、31都不是三角形数，不符合规律，排除。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，完全平方数，有理数加法
【点评】
本题结合经典数学文化考查规律探究能力，解题核心是先准确总结两种数的特征，再逐一验证选项即可，能有效锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
