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1. 如图11,在正方形网格中,一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合,则旋转中心可能是 ()
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
B
解析
【分析】
解决本题的核心是利用旋转的性质：旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点。解题时可采用两种思路：一是找到两组不同的对应点，分别作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心；二是逐一验证四个选项中的点，判断其是否到两组对应点的距离都相等，符合要求的即为旋转中心。
【解析】
根据旋转的性质，旋转中心到旋转前后两组对应点的距离相等，我们选取两个飞机图案的两组典型对应点进行验证：
1. 验证点A：点A到两组对应点的距离均不相等，不符合旋转中心的特征，排除A选项；
2. 验证点B：点B到每一组对应点的距离都相等，将其中一个飞机图案绕点B旋转一定角度后，能与另一个飞机图案完全重合，符合要求；
3. 验证点C：点C到两组对应点的距离不相等，不符合要求，排除C选项；
4. 验证点D：点D到两组对应点的距离不相等，不符合要求，排除D选项。
综上，旋转中心是点B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；旋转中心的判定
【点评】
本题侧重考查旋转基础性质的应用，只要掌握旋转中心到对应点距离相等的核心特征，就能快速找到解题方向，属于基础类几何题，熟练掌握概念即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用旋转的性质：旋转前后，对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点。解题时可采用两种思路：一是找到两组不同的对应点，分别作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心；二是逐一验证四个选项中的点，判断其是否到两组对应点的距离都相等，符合要求的即为旋转中心。
【解析】
根据旋转的性质，旋转中心到旋转前后两组对应点的距离相等，我们选取两个飞机图案的两组典型对应点进行验证：
1. 验证点A：点A到两组对应点的距离均不相等，不符合旋转中心的特征，排除A选项；
2. 验证点B：点B到每一组对应点的距离都相等，将其中一个飞机图案绕点B旋转一定角度后，能与另一个飞机图案完全重合，符合要求；
3. 验证点C：点C到两组对应点的距离不相等，不符合要求，排除C选项；
4. 验证点D：点D到两组对应点的距离不相等，不符合要求，排除D选项。
综上，旋转中心是点B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；旋转中心的判定
【点评】
本题侧重考查旋转基础性质的应用，只要掌握旋转中心到对应点距离相等的核心特征，就能快速找到解题方向，属于基础类几何题，熟练掌握概念即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
2. 明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献,如图12所示的五角形图案绕点O至少旋转度才能与自身重合.
答案
$\boldsymbol{72}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆旋转对称图形的相关性质：若一个图形绕某定点旋转一定角度后能与自身重合，这个角度就是旋转角，其中最小的正旋转角为最小旋转角。观察本题的五角形图案，它的5个顶点均匀分布在以O为圆心的圆周上，相邻两个顶点与旋转中心O的连线的夹角相等，因此只需要用周角360°除以均匀分布的份数，就能得到最小旋转角。
【解析】
解：五角形图案的5个对应点将以O为圆心的周角平均分为5等份，
根据最小旋转角的计算方法，可得最小旋转角为：
$360° ÷ 5 = 72°$
即该五角形图案绕点O至少旋转72度才能与自身重合。
【答案】
$\boldsymbol{72}$
【知识点】
旋转对称图形，最小旋转角计算
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题型，解题核心是掌握均匀对称类图形的最小旋转角计算规律，即最小旋转角=360°÷图形的对称份数，熟悉规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要回忆旋转对称图形的相关性质：若一个图形绕某定点旋转一定角度后能与自身重合，这个角度就是旋转角，其中最小的正旋转角为最小旋转角。观察本题的五角形图案，它的5个顶点均匀分布在以O为圆心的圆周上，相邻两个顶点与旋转中心O的连线的夹角相等，因此只需要用周角360°除以均匀分布的份数，就能得到最小旋转角。
【解析】
解：五角形图案的5个对应点将以O为圆心的周角平均分为5等份，
根据最小旋转角的计算方法，可得最小旋转角为：
$360° ÷ 5 = 72°$
即该五角形图案绕点O至少旋转72度才能与自身重合。
【答案】
$\boldsymbol{72}$
【知识点】
旋转对称图形，最小旋转角计算
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题型，解题核心是掌握均匀对称类图形的最小旋转角计算规律，即最小旋转角=360°÷图形的对称份数，熟悉规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 利用图形变换可设计出美丽图案,现把一个四边形通过一系列变换完成图案设计.如图13,方格纸中每个小正方形的边长都为1,在方格纸中有一个顶点都在格点上的四边形.完成下列问题:
(1)图案设计:先画出四边形关于直线$ l $成轴对称的图形,再将所得的图形和原四边形绕点$ O $顺时针旋转$ 90° $,所得的新图形与原图形组成了一个美丽的图案.
(2)完成上述图案设计后,可知这个图案的面积等于.
(1)图案设计:先画出四边形关于直线$ l $成轴对称的图形,再将所得的图形和原四边形绕点$ O $顺时针旋转$ 90° $,所得的新图形与原图形组成了一个美丽的图案.
(2)完成上述图案设计后,可知这个图案的面积等于.
答案
解：
(1) 作图：
① 分别确定原四边形的4个顶点，作出各顶点关于直线$l$的对称点，依次连接各对称点，得到原四边形关于直线$l$的轴对称图形；
② 将原四边形和上述轴对称图形的所有顶点，分别绕点$O$顺时针旋转$90°$，依次连接旋转后的对应顶点，得到两个新图形，最终四个图形共同组成所求图案。
(2) 原四边形是对角线长分别为4和2的菱形，单个四边形的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
变换后得到的完整图案由4个全等的该四边形组成，因此图案总面积为$4 × 4 = 16$。
$\boxed{16}$
(1) 作图：
① 分别确定原四边形的4个顶点，作出各顶点关于直线$l$的对称点，依次连接各对称点，得到原四边形关于直线$l$的轴对称图形；
② 将原四边形和上述轴对称图形的所有顶点，分别绕点$O$顺时针旋转$90°$，依次连接旋转后的对应顶点，得到两个新图形，最终四个图形共同组成所求图案。
(2) 原四边形是对角线长分别为4和2的菱形，单个四边形的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
变换后得到的完整图案由4个全等的该四边形组成，因此图案总面积为$4 × 4 = 16$。
$\boxed{16}$
解析
【分析】
本题分为作图和面积计算两部分：1. 作图部分：首先回忆轴对称作图的方法，要得到关于直线$l$的轴对称图形，只需先确定原四边形的4个顶点，作出每个顶点关于直线$l$的对称点，再顺次连接对称点即可；接下来要将原四边形和刚得到的轴对称图形绕点$O$顺时针旋转$90°$，根据旋转的性质，每个顶点绕$O$旋转后到$O$的距离不变，旋转角为$90°$，依次找到所有顶点旋转后的对应点，顺次连接就能得到最终图案。2. 面积计算部分：先观察原四边形的特征，它是对角线互相垂直的菱形，可利用菱形面积公式（对角线乘积的一半）算出单个四边形的面积，再数出最终图案中包含的全等四边形的个数，相乘即可得到总面积。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 先找出原四边形的4个顶点，分别作出每个顶点关于直线$l$的对称点，顺次连接各对称点，得到原四边形关于直线$l$的轴对称图形；
② 再将原四边形和上述得到的轴对称图形的所有顶点，分别绕点$O$顺时针旋转$90°$，得到各顶点的旋转对应点，顺次连接对应顶点，得到两个旋转后的图形，四个图形共同组成所求图案。
(2) 面积计算：
观察原四边形可知，它是对角线长分别为4和2的菱形，根据菱形面积公式，单个四边形的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$；
最终的图案由4个全等的该四边形组成，因此图案的总面积为$4 × 4 = 16$。
【答案】
$\boxed{16}$
【知识点】
轴对称作图，旋转作图，菱形面积计算
【点评】
本题综合考查了图形变换的作图能力和组合图形的面积计算能力，需要熟练掌握轴对称、旋转的作图规则，同时能灵活运用菱形的面积公式简化计算，是一道结合动手操作和基础计算的典型题目。
【难度系数】
0.7
本题分为作图和面积计算两部分：1. 作图部分：首先回忆轴对称作图的方法，要得到关于直线$l$的轴对称图形，只需先确定原四边形的4个顶点，作出每个顶点关于直线$l$的对称点，再顺次连接对称点即可；接下来要将原四边形和刚得到的轴对称图形绕点$O$顺时针旋转$90°$，根据旋转的性质，每个顶点绕$O$旋转后到$O$的距离不变，旋转角为$90°$，依次找到所有顶点旋转后的对应点，顺次连接就能得到最终图案。2. 面积计算部分：先观察原四边形的特征，它是对角线互相垂直的菱形，可利用菱形面积公式（对角线乘积的一半）算出单个四边形的面积，再数出最终图案中包含的全等四边形的个数，相乘即可得到总面积。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 先找出原四边形的4个顶点，分别作出每个顶点关于直线$l$的对称点，顺次连接各对称点，得到原四边形关于直线$l$的轴对称图形；
② 再将原四边形和上述得到的轴对称图形的所有顶点，分别绕点$O$顺时针旋转$90°$，得到各顶点的旋转对应点，顺次连接对应顶点，得到两个旋转后的图形，四个图形共同组成所求图案。
(2) 面积计算：
观察原四边形可知，它是对角线长分别为4和2的菱形，根据菱形面积公式，单个四边形的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$；
最终的图案由4个全等的该四边形组成，因此图案的总面积为$4 × 4 = 16$。
【答案】
$\boxed{16}$
【知识点】
轴对称作图，旋转作图，菱形面积计算
【点评】
本题综合考查了图形变换的作图能力和组合图形的面积计算能力，需要熟练掌握轴对称、旋转的作图规则，同时能灵活运用菱形的面积公式简化计算，是一道结合动手操作和基础计算的典型题目。
【难度系数】
0.7
