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7. 如图9,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点D,E分别在AB,AC上,$CE=BC$,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转$90°$后得CF,连接EF.
(1)补充完成图形;
(2)若$EF// CD$,求证:$∠ BDC=90°$.
(1)补充完成图形;
(2)若$EF// CD$,求证:$∠ BDC=90°$.
答案
解：(1) 以点C为顶点，作∠ECF=90°，且使CF=CD，连接EF，补全后的图形即为所求。
(2) 证明：
由线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，可得：
$CD=CF$，$∠ DCF=90°$。
$\because EF// CD$，
$\therefore ∠ DCF + ∠ EFC = 180°$，
$\therefore ∠ EFC = 180° - 90° = 90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$∠ DCF=90°$，
$\therefore ∠ ACB - ∠ ACD = ∠ DCF - ∠ ACD$，
即 $∠ BCD = ∠ ECF$。
在$△ BCD$和$△ ECF$中，
$\begin{cases}BC=CE \\∠ BCD=∠ ECF \\CD=CF\end{cases}$
$\therefore △ BCD ≌ △ ECF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BDC = ∠ EFC = 90°$。
(2) 证明：
由线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，可得：
$CD=CF$，$∠ DCF=90°$。
$\because EF// CD$，
$\therefore ∠ DCF + ∠ EFC = 180°$，
$\therefore ∠ EFC = 180° - 90° = 90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$∠ DCF=90°$，
$\therefore ∠ ACB - ∠ ACD = ∠ DCF - ∠ ACD$，
即 $∠ BCD = ∠ ECF$。
在$△ BCD$和$△ ECF$中，
$\begin{cases}BC=CE \\∠ BCD=∠ ECF \\CD=CF\end{cases}$
$\therefore △ BCD ≌ △ ECF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BDC = ∠ EFC = 90°$。
解析
【分析】
(1) 补全旋转图形需紧扣旋转的三要素：旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角为90°，旋转后CD对应CF，因此以C为顶点作∠ECF=90°，截取CF=CD后连接EF即可完成作图。
(2) 要证明∠BDC=90°，可通过证明其与已知直角相等推导：首先利用旋转性质得到CD=CF、∠DCF=90°，结合EF//CD，由平行线同旁内角互补推出∠EFC=90°；再根据∠ACB和∠DCF均为直角，减去公共角∠ACD可得∠BCD=∠ECF，结合已知CE=BC，可通过SAS判定△BCD≌△ECF，最后由全等三角形对应角相等即可得到∠BDC=∠EFC=90°。
【解析】
(1) 以点C为顶点，作∠ECF=90°，且使CF=CD，连接EF，补全图形即可。
(2) 证明：
由线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，可得：
$CD=CF$，$∠DCF=90°$。
$\because EF// CD$，
$\therefore ∠DCF + ∠EFC = 180°$，
$\therefore ∠EFC = 180° - 90° = 90°$。
$\because ∠ACB=90°$，$∠DCF=90°$，
$\therefore ∠ACB - ∠ACD = ∠DCF - ∠ACD$，
即 $∠BCD = ∠ECF$。
在$△BCD$和$△ECF$中，
$\begin{cases}BC=CE \\∠BCD=∠ECF \\CD=CF\end{cases}$
$\therefore △BCD ≌ △ECF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠BDC = ∠EFC = 90°$。
【答案】
(1) 以点C为顶点，作∠ECF=90°，且使CF=CD，连接EF，补全后的图形即为所求；
(2) 如上证明可得∠BDC=90°。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题结合旋转作图与几何证明考查基础几何知识的综合应用，解题关键是找准旋转带来的边、角等量关系，正确推导全等三角形的判定条件，是典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 补全旋转图形需紧扣旋转的三要素：旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角为90°，旋转后CD对应CF，因此以C为顶点作∠ECF=90°，截取CF=CD后连接EF即可完成作图。
(2) 要证明∠BDC=90°，可通过证明其与已知直角相等推导：首先利用旋转性质得到CD=CF、∠DCF=90°，结合EF//CD，由平行线同旁内角互补推出∠EFC=90°；再根据∠ACB和∠DCF均为直角，减去公共角∠ACD可得∠BCD=∠ECF，结合已知CE=BC，可通过SAS判定△BCD≌△ECF，最后由全等三角形对应角相等即可得到∠BDC=∠EFC=90°。
【解析】
(1) 以点C为顶点，作∠ECF=90°，且使CF=CD，连接EF，补全图形即可。
(2) 证明：
由线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，可得：
$CD=CF$，$∠DCF=90°$。
$\because EF// CD$，
$\therefore ∠DCF + ∠EFC = 180°$，
$\therefore ∠EFC = 180° - 90° = 90°$。
$\because ∠ACB=90°$，$∠DCF=90°$，
$\therefore ∠ACB - ∠ACD = ∠DCF - ∠ACD$，
即 $∠BCD = ∠ECF$。
在$△BCD$和$△ECF$中，
$\begin{cases}BC=CE \\∠BCD=∠ECF \\CD=CF\end{cases}$
$\therefore △BCD ≌ △ECF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠BDC = ∠EFC = 90°$。
【答案】
(1) 以点C为顶点，作∠ECF=90°，且使CF=CD，连接EF，补全后的图形即为所求；
(2) 如上证明可得∠BDC=90°。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题结合旋转作图与几何证明考查基础几何知识的综合应用，解题关键是找准旋转带来的边、角等量关系，正确推导全等三角形的判定条件，是典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.7
8. 如图10①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$D$为$△ ABC$内一点,将线段$AD$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$AE$,连接$CE$,$BD$的延长线与$CE$交于点$F$.
(1)求证:$BD=CE$,$BD⊥ CE$.
(2)如图10②,连接$AF$,$DC$.已知$∠ BDC=135°$,判断$AF$与$DC$的位置关系,并说明理由.
(1)求证:$BD=CE$,$BD⊥ CE$.
(2)如图10②,连接$AF$,$DC$.已知$∠ BDC=135°$,判断$AF$与$DC$的位置关系,并说明理由.
答案
解：(1) 证明：
由旋转的性质可得：$AD=AE$，$∠ DAE=90°$。
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE$，$∠ ABD = ∠ ACE$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 90°$，即$∠ ABD + ∠ DBC + ∠ ACB = 90°$，
代入$∠ ABD = ∠ ACE$得：$∠ ACE + ∠ DBC + ∠ ACB = 90°$，
即$∠ FBC + ∠ FCB = 90°$，
$\therefore ∠ BFC = 180° - (∠ FBC + ∠ FCB) = 90°$，
$\therefore BD ⊥ CE$。
(2) $AF // DC$，理由如下：
$\because ∠ BDC=135°$，
$\therefore ∠ FDC = 180° - ∠ BDC = 180° - 135° = 45°$。
过点$A$作$AM ⊥ BD$于点$M$，$AN ⊥ CE$于点$N$。
由$△ BAD ≌ △ CAE$，得$S_{△ BAD}=S_{△ CAE}$，且$BD=CE$，
$\therefore \frac{1}{2} BD · AM = \frac{1}{2} CE · AN$，即$AM=AN$。
$\because AM ⊥ BD$，$AN ⊥ CE$，
$\therefore$ 点$A$在$∠ BFE$的角平分线上，即$AF$平分$∠ BFE$。
由(1)知$∠ BFE=90°$，
$\therefore ∠ AFD = \frac{1}{2} ∠ BFE = 45°$，
$\therefore ∠ AFD = ∠ FDC = 45°$，
$\therefore AF // DC$（内错角相等，两直线平行）。
由旋转的性质可得：$AD=AE$，$∠ DAE=90°$。
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE$，$∠ ABD = ∠ ACE$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 90°$，即$∠ ABD + ∠ DBC + ∠ ACB = 90°$，
代入$∠ ABD = ∠ ACE$得：$∠ ACE + ∠ DBC + ∠ ACB = 90°$，
即$∠ FBC + ∠ FCB = 90°$，
$\therefore ∠ BFC = 180° - (∠ FBC + ∠ FCB) = 90°$，
$\therefore BD ⊥ CE$。
(2) $AF // DC$，理由如下：
$\because ∠ BDC=135°$，
$\therefore ∠ FDC = 180° - ∠ BDC = 180° - 135° = 45°$。
过点$A$作$AM ⊥ BD$于点$M$，$AN ⊥ CE$于点$N$。
由$△ BAD ≌ △ CAE$，得$S_{△ BAD}=S_{△ CAE}$，且$BD=CE$，
$\therefore \frac{1}{2} BD · AM = \frac{1}{2} CE · AN$，即$AM=AN$。
$\because AM ⊥ BD$，$AN ⊥ CE$，
$\therefore$ 点$A$在$∠ BFE$的角平分线上，即$AF$平分$∠ BFE$。
由(1)知$∠ BFE=90°$，
$\therefore ∠ AFD = \frac{1}{2} ∠ BFE = 45°$，
$\therefore ∠ AFD = ∠ FDC = 45°$，
$\therefore AF // DC$（内错角相等，两直线平行）。
解析
【分析】
(1) 要证$BD=CE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现：由旋转性质可得$AD=AE$、$∠ DAE=90°$，结合已知$∠ BAC=90°$可推出$∠ BAD=∠ CAE$，再搭配$AB=AC$的条件，即可用SAS证明$△ BAD≌△ CAE$，得到$BD=CE$；要证$BD⊥ CE$，可推导$∠ BFC=90°$，利用全等得到的$∠ ABD=∠ ACE$，结合直角三角形两锐角互余的性质转换角，即可得到$∠ FBC+∠ FCB=90°$，证得垂直。
(2) 判断$AF$与$DC$的位置关系时，先由$∠ BDC=135°$算出$∠ FDC=45°$，若能证明$∠ AFD=45°$，即可通过内错角相等证得两直线平行。要证$∠ AFD=45°$，需先证$AF$平分$∠ BFE$：由$△ BAD≌△ CAE$可得两个三角形面积相等，结合$BD=CE$，可推出两个三角形对应高$AM$、$AN$相等，根据角平分线的判定定理可知$AF$平分$∠ BFE$，结合(1)中$∠ BFE=90°$即可得到$∠ AFD=45°$，进而得到平行关系。
【解析】
(1) 证明：
由旋转的性质可得：$AD=AE$，$∠ DAE=90°$。
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE$，$∠ ABD = ∠ ACE$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 90°$，即$∠ ABD + ∠ DBC + ∠ ACB = 90°$，
将$∠ ABD = ∠ ACE$代入得：$∠ ACE + ∠ DBC + ∠ ACB = 90°$，
即$∠ FBC + ∠ FCB = 90°$，
$\therefore ∠ BFC = 180° - (∠ FBC + ∠ FCB) = 90°$，
$\therefore BD ⊥ CE$。
(2) $AF // DC$，理由如下：
$\because ∠ BDC=135°$，
$\therefore ∠ FDC = 180° - ∠ BDC = 180° - 135° = 45°$。
过点$A$作$AM ⊥ BD$于点$M$，$AN ⊥ CE$于点$N$。
由$△ BAD ≌ △ CAE$，得$S_{△ BAD}=S_{△ CAE}$，且$BD=CE$，
$\therefore \frac{1}{2} BD · AM = \frac{1}{2} CE · AN$，即$AM=AN$。
$\because AM ⊥ BD$，$AN ⊥ CE$，
$\therefore$ 点$A$在$∠ BFE$的角平分线上，即$AF$平分$∠ BFE$。
由(1)知$∠ BFE=90°$，
$\therefore ∠ AFD = \frac{1}{2} ∠ BFE = 45°$，
$\therefore ∠ AFD = ∠ FDC = 45°$，
$\therefore AF // DC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $BD=CE$且$BD⊥ CE$，证明见解析；
(2) $AF// DC$，理由见解析。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是几何变换类的典型综合题，融合了旋转、全等三角形、角平分线判定、平行线判定等多个知识点，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形，通过边、角的数量关系推导图形的位置关系，对逻辑推理能力有一定训练作用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$BD=CE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现：由旋转性质可得$AD=AE$、$∠ DAE=90°$，结合已知$∠ BAC=90°$可推出$∠ BAD=∠ CAE$，再搭配$AB=AC$的条件，即可用SAS证明$△ BAD≌△ CAE$，得到$BD=CE$；要证$BD⊥ CE$，可推导$∠ BFC=90°$，利用全等得到的$∠ ABD=∠ ACE$，结合直角三角形两锐角互余的性质转换角，即可得到$∠ FBC+∠ FCB=90°$，证得垂直。
(2) 判断$AF$与$DC$的位置关系时，先由$∠ BDC=135°$算出$∠ FDC=45°$，若能证明$∠ AFD=45°$，即可通过内错角相等证得两直线平行。要证$∠ AFD=45°$，需先证$AF$平分$∠ BFE$：由$△ BAD≌△ CAE$可得两个三角形面积相等，结合$BD=CE$，可推出两个三角形对应高$AM$、$AN$相等，根据角平分线的判定定理可知$AF$平分$∠ BFE$，结合(1)中$∠ BFE=90°$即可得到$∠ AFD=45°$，进而得到平行关系。
【解析】
(1) 证明：
由旋转的性质可得：$AD=AE$，$∠ DAE=90°$。
$\because ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CE$，$∠ ABD = ∠ ACE$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 90°$，即$∠ ABD + ∠ DBC + ∠ ACB = 90°$，
将$∠ ABD = ∠ ACE$代入得：$∠ ACE + ∠ DBC + ∠ ACB = 90°$，
即$∠ FBC + ∠ FCB = 90°$，
$\therefore ∠ BFC = 180° - (∠ FBC + ∠ FCB) = 90°$，
$\therefore BD ⊥ CE$。
(2) $AF // DC$，理由如下：
$\because ∠ BDC=135°$，
$\therefore ∠ FDC = 180° - ∠ BDC = 180° - 135° = 45°$。
过点$A$作$AM ⊥ BD$于点$M$，$AN ⊥ CE$于点$N$。
由$△ BAD ≌ △ CAE$，得$S_{△ BAD}=S_{△ CAE}$，且$BD=CE$，
$\therefore \frac{1}{2} BD · AM = \frac{1}{2} CE · AN$，即$AM=AN$。
$\because AM ⊥ BD$，$AN ⊥ CE$，
$\therefore$ 点$A$在$∠ BFE$的角平分线上，即$AF$平分$∠ BFE$。
由(1)知$∠ BFE=90°$，
$\therefore ∠ AFD = \frac{1}{2} ∠ BFE = 45°$，
$\therefore ∠ AFD = ∠ FDC = 45°$，
$\therefore AF // DC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $BD=CE$且$BD⊥ CE$，证明见解析；
(2) $AF// DC$，理由见解析。
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是几何变换类的典型综合题，融合了旋转、全等三角形、角平分线判定、平行线判定等多个知识点，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形，通过边、角的数量关系推导图形的位置关系，对逻辑推理能力有一定训练作用。
【难度系数】
0.6
