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3. 如图5,在△ABC中,∠ACB=90°.将△ABC绕着点C顺时针旋转一定角度得到△A'B'C,点A,B的对应点分别为A',B',点A'恰好落在边AB上,连接BB'.若AA'=1,A'B=2,则线段BB'的长为 ()
A.2
B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{2}$
A.2
B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
首先回忆旋转的核心性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角大小相等。解题思路可分为三步：第一步先根据已知线段长度求出AB的总长，再利用旋转对应边相等的性质得到A'B'=AB；第二步通过旋转得到的等边、等旋转角，证明△ACA'与△BCB'相似，推导得出∠A=∠CBB'，结合直角三角形两锐角互余的性质，推出∠A'BB'为直角；第三步在直角△A'BB'中用勾股定理计算BB'的长度即可。
【解析】
解：
∵ $AA'=1$，$A'B=2$，
∴ $AB=AA'+A'B=1+2=3$，
由旋转的性质可得：$AC=A'C$，$BC=B'C$，$∠ACA'=∠BCB'$，$A'B'=AB=3$，
在$△ ACA'$和$△ BCB'$中，$\frac{AC}{BC}=\frac{A'C}{B'C}$，且夹角$∠ACA'=∠BCB'$，
∴ $△ ACA'∽△ BCB'$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠A=∠CBB'$，
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ACB=90°$，
∴ $∠A+∠ABC=90°$，
∴ $∠CBB'+∠ABC=90°$，即$∠A'BB'=90°$，
在$Rt△ A'BB'$中，由勾股定理得：
$BB'=\sqrt{A'B'^2 - A'B^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转类的典型综合题，解题的关键是灵活运用旋转的性质推导角的等量关系，构造出直角三角形后结合勾股定理求解线段长度，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先回忆旋转的核心性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角大小相等。解题思路可分为三步：第一步先根据已知线段长度求出AB的总长，再利用旋转对应边相等的性质得到A'B'=AB；第二步通过旋转得到的等边、等旋转角，证明△ACA'与△BCB'相似，推导得出∠A=∠CBB'，结合直角三角形两锐角互余的性质，推出∠A'BB'为直角；第三步在直角△A'BB'中用勾股定理计算BB'的长度即可。
【解析】
解：
∵ $AA'=1$，$A'B=2$，
∴ $AB=AA'+A'B=1+2=3$，
由旋转的性质可得：$AC=A'C$，$BC=B'C$，$∠ACA'=∠BCB'$，$A'B'=AB=3$，
在$△ ACA'$和$△ BCB'$中，$\frac{AC}{BC}=\frac{A'C}{B'C}$，且夹角$∠ACA'=∠BCB'$，
∴ $△ ACA'∽△ BCB'$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠A=∠CBB'$，
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ACB=90°$，
∴ $∠A+∠ABC=90°$，
∴ $∠CBB'+∠ABC=90°$，即$∠A'BB'=90°$，
在$Rt△ A'BB'$中，由勾股定理得：
$BB'=\sqrt{A'B'^2 - A'B^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转类的典型综合题，解题的关键是灵活运用旋转的性质推导角的等量关系，构造出直角三角形后结合勾股定理求解线段长度，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4. 如图6,在$△ AOB$中,$∠ O=90°$. 将$△ AOB$绕着点A顺时针旋转得到$△ ADC$,连接$BC$,记$∠ ABO=α$,$∠ OAD=β$,当$BC// OA$时,$α$与$β$之间的数量关系为（）
A.$α=β$
B.$α=\frac{1}{2}β$
C.$α+β=90°$
D.$2α+β=180°$
A.$α=β$
B.$α=\frac{1}{2}β$
C.$α+β=90°$
D.$2α+β=180°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得到相等的边和角，确定等腰△ABC的顶角大小，进而表示出底角∠ABC的度数；再结合BC//OA的条件，利用平行线的性质得到∠OBC为直角，最后通过角度和的关系建立α、β的等式，化简即可得到二者的数量关系。
【解析】
由旋转的性质可得：$AB=AC$，$∠ OAB=∠ CAD$
$\therefore ∠ OAB+∠ BAD=∠ CAD+∠ BAD$，即$∠ BAC=∠ OAD=β$
$\because AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形
$\therefore ∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-β}{2}$
$\because BC// OA$，$∠ O=90°$
$\therefore ∠ O+∠ OBC=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore ∠ OBC=180°-90°=90°$，即$∠ ABO+∠ ABC=90°$
将$∠ ABO=α$、$∠ ABC=\frac{180°-β}{2}$代入得：
$α+\frac{180°-β}{2}=90°$
两边同乘2化简得：$2α=β$，即$α=\frac{1}{2}β$
故选B
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何性质的综合应用题，核心是通过旋转的性质搭建角度关联，再结合平行线、等腰三角形的角度规律推导关系，熟练掌握各类几何图形的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先利用旋转的性质得到相等的边和角，确定等腰△ABC的顶角大小，进而表示出底角∠ABC的度数；再结合BC//OA的条件，利用平行线的性质得到∠OBC为直角，最后通过角度和的关系建立α、β的等式，化简即可得到二者的数量关系。
【解析】
由旋转的性质可得：$AB=AC$，$∠ OAB=∠ CAD$
$\therefore ∠ OAB+∠ BAD=∠ CAD+∠ BAD$，即$∠ BAC=∠ OAD=β$
$\because AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形
$\therefore ∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-β}{2}$
$\because BC// OA$，$∠ O=90°$
$\therefore ∠ O+∠ OBC=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\therefore ∠ OBC=180°-90°=90°$，即$∠ ABO+∠ ABC=90°$
将$∠ ABO=α$、$∠ ABC=\frac{180°-β}{2}$代入得：
$α+\frac{180°-β}{2}=90°$
两边同乘2化简得：$2α=β$，即$α=\frac{1}{2}β$
故选B
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何性质的综合应用题，核心是通过旋转的性质搭建角度关联，再结合平行线、等腰三角形的角度规律推导关系，熟练掌握各类几何图形的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图7,在矩形ABCD中,AB=10,BC=6,点M是AB边的中点,点N是AD边上任意一点,将线段MN绕点M顺时针旋转90°,点N旋转到点N',则△MBN'周长的最小值为 ()
A.15
B.$5+5\sqrt{5}$
C.$10+5\sqrt{2}$
D.18
A.15
B.$5+5\sqrt{5}$
C.$10+5\sqrt{2}$
D.18
答案
B
解析
【分析】
首先拆分△MBN'的周长，可发现MB为定值，因此只需找到BN'+MN'的最小值即可求解周长最小值。我们可以通过建立平面直角坐标系，利用旋转的坐标变换规律确定点N'的运动轨迹为定直线，再将问题转化为将军饮马模型求最短路径，即可得到最终结果。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系，设$A(0,10)$，$B(0,0)$，$C(6,0)$，$D(6,10)$。
因为M是AB中点，$AB=10$，所以$M(0,5)$，$MB=5$（为定值）。
设AD上的点N坐标为$(n,10)$（$0≤ n≤6$），则向量$\overrightarrow{MN}=(n,5)$。
2. 线段MN绕点M顺时针旋转90°得到MN'，向量$(x,y)$顺时针旋转90°后变为$(y,-x)$，因此旋转后向量为$(5,-n)$，可得N'的坐标为$(0+5,5-n)=(5,5-n)$，可知N'在定直线$x=5$上运动。
3. $△ MBN'$的周长$=MB+BN'+MN'=5+BN'+MN'$，因此要使周长最小，只需使$BN'+MN'$最小，该问题可转化为：定直线$x=5$上的动点$N'$，求其到定点$B(0,0)$和定点$M(0,5)$的距离之和的最小值，属于将军饮马最值问题。
4. 作点B关于直线$x=5$的对称点$B'(10,0)$，根据对称性质可得$BN'=B'N'$，因此$BN'+MN'=B'N'+MN'≥ B'M$（两点之间线段最短）。
计算$B'M$的长度：$B'(10,0)$，$M(0,5)$，则$B'M=\sqrt{(10-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$，即$BN'+MN'$的最小值为$5\sqrt{5}$。
5. 因此$△ MBN'$周长的最小值为$5+5\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，将军饮马最值，坐标与图形变换
【点评】
本题综合考查了旋转的坐标变换、最短路径求解，解题的核心是通过坐标法确定动点轨迹，将周长最值问题转化为常见的将军饮马模型，很好地体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.6
首先拆分△MBN'的周长，可发现MB为定值，因此只需找到BN'+MN'的最小值即可求解周长最小值。我们可以通过建立平面直角坐标系，利用旋转的坐标变换规律确定点N'的运动轨迹为定直线，再将问题转化为将军饮马模型求最短路径，即可得到最终结果。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系，设$A(0,10)$，$B(0,0)$，$C(6,0)$，$D(6,10)$。
因为M是AB中点，$AB=10$，所以$M(0,5)$，$MB=5$（为定值）。
设AD上的点N坐标为$(n,10)$（$0≤ n≤6$），则向量$\overrightarrow{MN}=(n,5)$。
2. 线段MN绕点M顺时针旋转90°得到MN'，向量$(x,y)$顺时针旋转90°后变为$(y,-x)$，因此旋转后向量为$(5,-n)$，可得N'的坐标为$(0+5,5-n)=(5,5-n)$，可知N'在定直线$x=5$上运动。
3. $△ MBN'$的周长$=MB+BN'+MN'=5+BN'+MN'$，因此要使周长最小，只需使$BN'+MN'$最小，该问题可转化为：定直线$x=5$上的动点$N'$，求其到定点$B(0,0)$和定点$M(0,5)$的距离之和的最小值，属于将军饮马最值问题。
4. 作点B关于直线$x=5$的对称点$B'(10,0)$，根据对称性质可得$BN'=B'N'$，因此$BN'+MN'=B'N'+MN'≥ B'M$（两点之间线段最短）。
计算$B'M$的长度：$B'(10,0)$，$M(0,5)$，则$B'M=\sqrt{(10-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$，即$BN'+MN'$的最小值为$5\sqrt{5}$。
5. 因此$△ MBN'$周长的最小值为$5+5\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，将军饮马最值，坐标与图形变换
【点评】
本题综合考查了旋转的坐标变换、最短路径求解，解题的核心是通过坐标法确定动点轨迹，将周长最值问题转化为常见的将军饮马模型，很好地体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.6
6. (2026·广东)如图8,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6$,$BC=8$,将$△ ABC$绕点A逆时针旋转$90°$,得$△ AB'C'$,连接$B'C$,则$△ AB'C$的周长为 ()
A.$16+2\sqrt{10}$
B.$18$
C.$18+2\sqrt{10}$
D.$24$
A.$16+2\sqrt{10}$
B.$18$
C.$18+2\sqrt{10}$
D.$24$
答案
A
解析
【分析】
遇到旋转类几何计算问题，首先考虑旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等。本题要求△AB'C的周长，需先确定其三边的长度：1.先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度；2.由旋转性质直接得AB'=AB；3.结合旋转角为90°的条件，通过构造直角三角形求出B'C的长度；4.将三边相加即可得到周长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
根据旋转的性质，$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$△ AB'C'$，可得：
$AB'=AB=6$，$∠ B'AB=90°$
$\because ∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$，$\therefore AB'// BC$
过点$C$作$CE⊥ AB'$，交$AB'$的延长线于点$E$，则四边形$ABCE$是矩形，因此：
$CE=AB=6$，$AE=BC=8$
$\therefore B'E=AE-AB'=8-6=2$
在$Rt△ B'EC$中，由勾股定理得：
$B'C=\sqrt{CE^2+B'E^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$
则$△ AB'C$的周长为：
$AB'+AC+B'C=6+10+2\sqrt{10}=16+2\sqrt{10}$
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质、勾股定理
【点评】
本题是旋转与勾股定理结合的典型题型，解题的核心是抓住旋转前后边和角的不变性，通过构造直角三角形将未知边转化为直角三角形的斜边求解，熟练掌握旋转性质和勾股定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7
遇到旋转类几何计算问题，首先考虑旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等。本题要求△AB'C的周长，需先确定其三边的长度：1.先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC的长度；2.由旋转性质直接得AB'=AB；3.结合旋转角为90°的条件，通过构造直角三角形求出B'C的长度；4.将三边相加即可得到周长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
根据旋转的性质，$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$△ AB'C'$，可得：
$AB'=AB=6$，$∠ B'AB=90°$
$\because ∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$，$\therefore AB'// BC$
过点$C$作$CE⊥ AB'$，交$AB'$的延长线于点$E$，则四边形$ABCE$是矩形，因此：
$CE=AB=6$，$AE=BC=8$
$\therefore B'E=AE-AB'=8-6=2$
在$Rt△ B'EC$中，由勾股定理得：
$B'C=\sqrt{CE^2+B'E^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$
则$△ AB'C$的周长为：
$AB'+AC+B'C=6+10+2\sqrt{10}=16+2\sqrt{10}$
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质、勾股定理
【点评】
本题是旋转与勾股定理结合的典型题型，解题的核心是抓住旋转前后边和角的不变性，通过构造直角三角形将未知边转化为直角三角形的斜边求解，熟练掌握旋转性质和勾股定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7
