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1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$∠ A=60°$，则$AB$的长是（）
A.$5\sqrt{3}$
B.$5\sqrt{2}$
C.$5$
D.$10$
A.$5\sqrt{3}$
B.$5\sqrt{2}$
C.$5$
D.$10$
答案
D
解析
【分析】
本题是解直角三角形的基础题型，已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，求斜边长度。解题有两种常见思路：一是利用直角三角形两锐角互余先求出∠B=30°，再根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”直接计算斜边；二是利用余弦的定义（邻边与斜边的比值），代入60°的特殊角三角函数值计算斜边，两种方法都可以快速得到结果，可选择自己熟悉的方法解题。
【解析】
方法1：利用直角三角形特殊性质求解
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 60° = 30°$，
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ B$对应的直角边为$AC=5$，
$\therefore AB = 2AC = 2×5 = 10$。
方法2：利用三角函数求解
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦定义可得$\cos A = \frac{AC}{AB}$，
已知$∠ A=60°$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$AC=5$，
代入得$\frac{1}{2}=\frac{5}{AB}$，解得$AB=10$。
【答案】
D
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 直角三角形的性质
3. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形边角关系的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值或30°直角三角形的特殊性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题是解直角三角形的基础题型，已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，求斜边长度。解题有两种常见思路：一是利用直角三角形两锐角互余先求出∠B=30°，再根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”直接计算斜边；二是利用余弦的定义（邻边与斜边的比值），代入60°的特殊角三角函数值计算斜边，两种方法都可以快速得到结果，可选择自己熟悉的方法解题。
【解析】
方法1：利用直角三角形特殊性质求解
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 60° = 30°$，
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ B$对应的直角边为$AC=5$，
$\therefore AB = 2AC = 2×5 = 10$。
方法2：利用三角函数求解
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦定义可得$\cos A = \frac{AC}{AB}$，
已知$∠ A=60°$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$AC=5$，
代入得$\frac{1}{2}=\frac{5}{AB}$，解得$AB=10$。
【答案】
D
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 直角三角形的性质
3. 解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形边角关系的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值或30°直角三角形的特殊性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图1，点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，$AB// x$轴，$BC⊥ x$轴，垂足为C，连接AC，若$S_{△ ABC}=5$，则k的值为（）
A.10
B.12
C.14
D.16
A.10
B.12
C.14
D.16
答案
C
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 由$AB// x$轴可知A、B两点纵坐标相等，可先设出点A的坐标，再结合反比例函数解析式表示出点B的坐标；2. 根据$BC⊥ x$轴得到点C的坐标，观察可得$△ ABC$是直角三角形，直角顶点为B，两条直角边分别为AB、BC；3. 利用三角形面积公式列方程，化简过程中设的参数会消去，即可求出k的值。也可以利用反比例函数k的几何意义快速推导：分别过A、B作y轴的垂线，得到两个矩形的面积分别为4和k，两个矩形的面积差等于$AB× BC$，即2倍的$△ ABC$面积，可更快算出k。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{4}{a})$（$a＞0$），
∵ $AB// x$轴，
∴ 点B的纵坐标与点A相同，为$\frac{4}{a}$，
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，将$y=\frac{4}{a}$代入得$x=\frac{ak}{4}$，即点B坐标为$(\frac{ak}{4},\frac{4}{a})$，
∵ $BC⊥ x$轴，垂足为C，
∴ 点C的坐标为$(\frac{ak}{4},0)$，
可得$AB=\frac{ak}{4}-a$，$BC=\frac{4}{a}$，且$∠ B=90°$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×(\frac{ak}{4}-a)×\frac{4}{a}$，
化简得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(k-4)$，
已知$S_{△ ABC}=5$，代入得$\frac{1}{2}(k-4)=5$，
解得$k=14$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，结合平行、垂直的坐标特点设参数表示点坐标，再利用面积公式列方程求解，解题过程中参数会自动消去，无需计算参数的具体值，也可结合反比例函数k的几何意义快速求解，能有效考查学生对反比例函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时可按以下思路推导：1. 由$AB// x$轴可知A、B两点纵坐标相等，可先设出点A的坐标，再结合反比例函数解析式表示出点B的坐标；2. 根据$BC⊥ x$轴得到点C的坐标，观察可得$△ ABC$是直角三角形，直角顶点为B，两条直角边分别为AB、BC；3. 利用三角形面积公式列方程，化简过程中设的参数会消去，即可求出k的值。也可以利用反比例函数k的几何意义快速推导：分别过A、B作y轴的垂线，得到两个矩形的面积分别为4和k，两个矩形的面积差等于$AB× BC$，即2倍的$△ ABC$面积，可更快算出k。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{4}{a})$（$a＞0$），
∵ $AB// x$轴，
∴ 点B的纵坐标与点A相同，为$\frac{4}{a}$，
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，将$y=\frac{4}{a}$代入得$x=\frac{ak}{4}$，即点B坐标为$(\frac{ak}{4},\frac{4}{a})$，
∵ $BC⊥ x$轴，垂足为C，
∴ 点C的坐标为$(\frac{ak}{4},0)$，
可得$AB=\frac{ak}{4}-a$，$BC=\frac{4}{a}$，且$∠ B=90°$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×(\frac{ak}{4}-a)×\frac{4}{a}$，
化简得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(k-4)$，
已知$S_{△ ABC}=5$，代入得$\frac{1}{2}(k-4)=5$，
解得$k=14$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，结合平行、垂直的坐标特点设参数表示点坐标，再利用面积公式列方程求解，解题过程中参数会自动消去，无需计算参数的具体值，也可结合反比例函数k的几何意义快速求解，能有效考查学生对反比例函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
3.已知$\odot O$的半径为5,圆心$O$的坐标为$(0,0)$,点$P$的坐标为$(4,3)$,则点$P$与$\odot O$的位置关系是 ()
A.点$P$在$\odot O$内
B.点$P$在$\odot O$上
C.点$P$在$\odot O$外
D.点$P$在$\odot O$上或$\odot O$外
A.点$P$在$\odot O$内
B.点$P$在$\odot O$上
C.点$P$在$\odot O$外
D.点$P$在$\odot O$上或$\odot O$外
答案
B
解析
【分析】要判断点与圆的位置关系，需先计算点到圆心的距离，再将距离与圆的半径比较：若距离小于半径，点在圆内；等于半径，点在圆上；大于半径，点在圆外。本题可先利用勾股定理求出点P到原点O的距离，再和半径5比较即可得出结论。
【解析】首先计算点P到圆心O的距离：
已知圆心$O(0,0)$，点$P(4,3)$，根据勾股定理，$OP$的长度为：
$OP=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
∵$\odot O$的半径$r=5$，
∴$OP=r$，
∴点P在$\odot O$上。
故选B。
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；勾股定理
【点评】本题属于基础题型，解题关键是掌握点与圆位置关系的判定规则，正确计算点到圆心的距离即可快速作答。
【难度系数】0.9
【解析】首先计算点P到圆心O的距离：
已知圆心$O(0,0)$，点$P(4,3)$，根据勾股定理，$OP$的长度为：
$OP=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
∵$\odot O$的半径$r=5$，
∴$OP=r$，
∴点P在$\odot O$上。
故选B。
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；勾股定理
【点评】本题属于基础题型，解题关键是掌握点与圆位置关系的判定规则，正确计算点到圆心的距离即可快速作答。
【难度系数】0.9
4. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$均为锐角，若$\left| \sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| + ( \cos B - \dfrac{1}{2} ) = 0$，则$∠ C$的度数是（）
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
C
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，观察等式特征，绝对值具有非负性，若等式为两个非负数的和为0，根据非负数性质可得每个非负数均为0，据此可列等式求出$\sin A$和$\cos B$的值；第二步，结合$∠ A$、$∠ B$均为锐角的条件，对照特殊角的三角函数值确定$∠ A$、$∠ B$的度数；第三步，利用三角形内角和为$180°$，计算即可得到$∠ C$的度数。
【解析】
解：$\because \left|\sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|≥0$，$(\cos B - \dfrac{1}{2})^2≥0$，且二者之和为0，
$\therefore$ 可得方程组：$\begin{cases}\sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2}=0 \\ \cos B - \dfrac{1}{2}=0 \end{cases}$，
解得：$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos B=\dfrac{1}{2}$。
又$\because ∠ A$、$∠ B$均为锐角，
$\therefore ∠ A=60°$，$∠ B=60°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=180° - ∠ A - ∠ B=180° - 60° - 60°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，准确记忆常见特殊锐角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题可分三步思考：第一步，观察等式特征，绝对值具有非负性，若等式为两个非负数的和为0，根据非负数性质可得每个非负数均为0，据此可列等式求出$\sin A$和$\cos B$的值；第二步，结合$∠ A$、$∠ B$均为锐角的条件，对照特殊角的三角函数值确定$∠ A$、$∠ B$的度数；第三步，利用三角形内角和为$180°$，计算即可得到$∠ C$的度数。
【解析】
解：$\because \left|\sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right|≥0$，$(\cos B - \dfrac{1}{2})^2≥0$，且二者之和为0，
$\therefore$ 可得方程组：$\begin{cases}\sin A - \dfrac{\sqrt{3}}{2}=0 \\ \cos B - \dfrac{1}{2}=0 \end{cases}$，
解得：$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos B=\dfrac{1}{2}$。
又$\because ∠ A$、$∠ B$均为锐角，
$\therefore ∠ A=60°$，$∠ B=60°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=180° - ∠ A - ∠ B=180° - 60° - 60°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，准确记忆常见特殊锐角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. (2024·泰安)如图2,AB是$\odot O$的直径,C,D是$\odot O$上的两点,BA平分$∠CBD$。若$∠AOD=50°$,则$∠A$的度数为 ()
A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据圆心角∠AOD的度数，利用圆周角定理求出它所对的圆周角∠ABD的度数；再结合角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后利用直径所对的圆周角为直角，得到△ACB为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
已知∠AOD=50°，它是弧AD所对的圆心角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，因此：
$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$
2. 因为BA平分$∠ CBD$，根据角平分线的定义可得：
$∠ CBA=∠ ABD=25°$
3. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径的性质，直径所对的圆周角为直角，因此：
$∠ ACB=90°$
4. 在$Rt△ ACB$中，两个锐角互余，因此：
$∠ CAB=90°-∠ CBA=90°-25°=65°$
即$∠ A=65°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，角平分线的定义，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质的综合基础题，解题的核心是理清各角之间的对应关系，熟练掌握圆的基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先根据圆心角∠AOD的度数，利用圆周角定理求出它所对的圆周角∠ABD的度数；再结合角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后利用直径所对的圆周角为直角，得到△ACB为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
1. 由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
已知∠AOD=50°，它是弧AD所对的圆心角，∠ABD是弧AD所对的圆周角，因此：
$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$
2. 因为BA平分$∠ CBD$，根据角平分线的定义可得：
$∠ CBA=∠ ABD=25°$
3. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径的性质，直径所对的圆周角为直角，因此：
$∠ ACB=90°$
4. 在$Rt△ ACB$中，两个锐角互余，因此：
$∠ CAB=90°-∠ CBA=90°-25°=65°$
即$∠ A=65°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，角平分线的定义，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质的综合基础题，解题的核心是理清各角之间的对应关系，熟练掌握圆的基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形。如图3，分别以等边$△ ABC$的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”。若等边$△ ABC$的边长为3，则阴影部分的周长等于（）
A.$π+9$
B.$3π+9$
C.$2π+9$
D.$2π-\sqrt{3}+9$
A.$π+9$
B.$3π+9$
C.$2π+9$
D.$2π-\sqrt{3}+9$
答案
B
解析
【分析】
要计算阴影部分的周长，首先需明确周长的构成：阴影的周长由3段等长的圆弧长度，加上等边△ABC的三条边的长度两部分组成。首先回忆弧长计算公式，结合等边三角形内角为60°、边长为3的条件，先算出单段圆弧的长度，再乘以3得到三段圆弧总长度，最后加上等边三角形三边的总长度，即可得到最终结果。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，边长为3
∴ ∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3
根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中n为圆心角度数，r为半径），每段圆弧的圆心角为60°，半径r=3，因此单段弧长为：
$ l=\frac{60π × 3}{180}=π $
三段圆弧的总长度为：$ 3× π=3π $
等边三角形三边的总长度为：$ 3× 3=9 $
因此阴影部分的周长为：$ 3π +9 $
【答案】
B
【知识点】
弧长计算；等边三角形的性质；周长的定义
【点评】
本题结合新定义“莱洛三角形”考查基础几何运算，解题的核心是准确拆分阴影部分周长的组成，避免漏算边界长度，属于对基础知识点的灵活应用类题目。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分的周长，首先需明确周长的构成：阴影的周长由3段等长的圆弧长度，加上等边△ABC的三条边的长度两部分组成。首先回忆弧长计算公式，结合等边三角形内角为60°、边长为3的条件，先算出单段圆弧的长度，再乘以3得到三段圆弧总长度，最后加上等边三角形三边的总长度，即可得到最终结果。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，边长为3
∴ ∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3
根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中n为圆心角度数，r为半径），每段圆弧的圆心角为60°，半径r=3，因此单段弧长为：
$ l=\frac{60π × 3}{180}=π $
三段圆弧的总长度为：$ 3× π=3π $
等边三角形三边的总长度为：$ 3× 3=9 $
因此阴影部分的周长为：$ 3π +9 $
【答案】
B
【知识点】
弧长计算；等边三角形的性质；周长的定义
【点评】
本题结合新定义“莱洛三角形”考查基础几何运算，解题的核心是准确拆分阴影部分周长的组成，避免漏算边界长度，属于对基础知识点的灵活应用类题目。
【难度系数】
0.7
